Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

3x₁ + 5x₂ + 6x₃ – 4x₄ = 0

4x₁ + 5x₂ – 2x₃ + 3x₄ = 0

2x₁ + 8x₂ + 32x₃ – 26x₄ = 0.

–x₂ – 6x₃ + 5x₄ = 0.

Негізгі белгісіздер x₁, x₂, еркін белгісіз x₃, x₄ деп алынады. Еркін белгісіздер теңдеулердің оң жағына шығарылады:

x₁ + 2x₂ = – 4x₃ + 3x₄ = 0

–x₂ = –6x₃ – 5x₄ = 0.

Осы жүйенің шешімі табылады:

x₁ = 8x₃ – 7x₄ (3)

x₂ = –6x₃ + 5x₄.

Енді (2)-жүйедегідей бір еркін белгісізге 1 мәнін, қалғандарына 0 мәнін беріп, фундаментальды жүйенің екі шешімін табамыз.

Әуелі x₃ = 1, x₄ = 0 болсын. Онда (3)-жүйе

x₁ = 8

x₂ = –6

жүйесіне айналады. Сондықтан фундаментальды жүйенің бір шешімі a₁ = (8, –6, 1, 0) болады.

Енді x₃ = 0, x₄ = 1 болсын. Онда (3)-жүйе

x₁ = –7

x₂ = 5 жүйесіне айналады. Осыдан фундаментальды жүйенің екінші шешімі табылады: a₂ = (–7, 5, 0, 1).

Сөйтіп, берілген біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін a₁ = (8, –6, 1, 0), a₂ = (–7, 5, 0, 1) векторлары құрайды.

Ал жүйенің жалпы шешімі осы шешімдердің сызықтық комбинациясы болады:

₁a₁ + ₂a₂ = ₁(8, –6, 1, 0) + ₂(–7, 5, 0, 1) = ₁a₁ + ₂a₂ = (8₁, –6₁, ₁, 0) + (–7₂, 5₂, 0, ₂) = (8₁ – 7₂, –6₁ + 5₂, ₁ + 0, 0 + ₂) = (8₁ – 7₂, –6₁ + 5₂, ₁, ₂), мұндағы ₁, ₂ кез келген скалярлар.

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ – 3x₅ = 0

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x₄ – x₅ = 0

сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің фундаментальды жүйесін құрайтынын, не құрамайтынын анықтайық.

A матрицасының жолдары жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін құрастыру үшін:

1) оның жолдары жүйенің шешімі болу керек;

2) оның жолдары сызықты тәуелсіз болу керек;

3) матрицаның рангі s = n – r санына тең болу керек, мұндағы n = 5 белгісіздердің саны, r жүйенің негізгі матрицасының рангі.

Әуелі A матрицасының жолдары жүйенің шешімі болатыны тексеріледі. Бірінші жолды тексерейік: (1, –2, 1, 0, 0).

1 + (–2) + 1 + 0 + 0 = 0

31 + 2(–2) + 1 + 0 – 0 = 0

(–2) + 21 + 0 + 0 = 0

51 + 4(–2) + 31 + 30 – 0 = 0.

Сондықтан матрицаның бірінші жолы жүйенің шешімі болады. Осыған ұқсас матрицаның қалған жолдары да шешім болатыны тексеріледі.

II-Тарау. Матрицалар және анықтауыштар

§ 2. Матрицаларды көбейту

§ 3. Керіленетін матрицалар