Анықтама. Векторлық V кеңістігінің керіленетін операторлардың жиыны Аut V деп белгіленеді
Теорема 2. F өрісіндегі V векторлық кеңістігі берілсін. Онда Aut V жиыны операторлардың композициясына қатысты топ құрайды.
Анықтама. F өрісіндегі n-өлшемді керіленетін квадрат матрицалардың тобы F өрісіндегі n-дәрежелі сызықтық толық топ деп аталады және GL(n, F) деп белгіленеді.
Теорема 3. F өрісіндегі n-өлшемді векторлық V кеңістігі берілсін. Онда Aut V және GL(n, F) топтары изоморф.
§ 7. Инвариант ішкеңістіктер
F өрісіндегі V векторлық кеңістігінің сызықтық φ операторы берілсін. V кеіңістігінің U ішкеңістігінің бейнесі Im(U) = {φ(a) | a Î U} деп анықталады.
U ішкеңістігінің бейнесі V кеңістігінің ішкеңістігі болатыны көрсетуге болады.
Анықтама. Егер векторлық V кеңістігінің U ішкеңістігіне φ(U) U болса, онда U ішкеңістігі φ операторының инвариант ішкеңістігі деп аталады.
Теорема 1. Векторлық кеңістігінің сызықтық операторы берілсін. Берілген оператордың инвариант ішкеңістіктерінің қосындысы және қиылысуы инвариант ішкеңістіктер болады.
Теорема 2. n-өлшемді V векторлық кеңістігінің сызықтық операторы берілсін. Егер оператордың нөлден өзгеше инвариант ішкеңістігі табылса, онда лайықты базисте оператордың A матрицасы төрт тікбұрышқа бөлінеді: диагональ төртбұрыштар – квадраттар, сол жақтағы төменгі төртбұрыш нөлдермен толтырған:
A =  =  (1)
Анықтама. (1) түрдегі матрица жартылай ыдыраған матрица деп аталады.
Егер векторлық V кеңістігінің сызықтық операторының инвариант U ішкеңістігі берілсе, онда V кеңістігі V = U W тура қосындысы болатындай W ішкеңістігі табылады. Бірақ W ішкеңістігі операторының инвариант ішкеңістігі болмау мүмкін. Оған қоса, операторының инвариант ішкеңістігі болатындай W ішкеңістігі табылмау да мүмкін.
Теорема 3. n-өлшемді V векторлық кеңістігі сызықтық операторының екі нөлден өзгеше инвариант ішкеңістігінің тура қосындысы болса, онда кейбір базисте оператордың матрицасы төрт тікбұрышқа бөлінеді, диагональ тікбұрыштары – квадраттар, диагональдан тыс тікбұрыштар нөлдермен толтырған:
A =  =  (2)
(2) түрдегі матрица ыдыраған матрица деп аталады. Ыдыраған матрицалардың жалпы түрі
 (3)
болады, мұндағы диагональдағы Ai – квадрат матрицалар. Осындай матрицалар шаршылы-диагональ матрицалар деп аталады.
Анықтама. Егер кейбір нөлден өзгеше векторына φ(a) = λa теңдігі орындалса, онда λ скаляры оператордың өзіндік мәні, a векторы φ операторының өзіндік λ мәніне тиісті (λ мәніне сәйкес) өзіндік вектор деп аталады.
Мысалы, үш өлшемді кеңістіктің кейбір а1, а2, а3 базисінде φ бейнелеуі a = 1а1 + 2а2 + 3а3 векторына φ(a) = 1а1 векторын сәйкес қойса, онда φ бейнелеуі а1 векторына параллель проекциялау деп аталады.
Онда кез келген 1а1 түріндегі вектор 1 мәніне сәйкес өзіндік вектор болады: φ(1а1) = 1а1.
Теорема 4. n-өлшемді V векторлық кеңістігі сызықтық операторының өзіндік мәніне тиісті векторлар жиыны оператордың инвариант ішкеңістігі болады.
§ 8. Өзіндік векторлар және өзіндік мәндер
Анықтама. n-өлшемді квадрат A матрицасының сипаттауыш көпмүшесі деп | A – lE | анықтауышы, сипаттауыш теңдеуі деп | A – lE | = 0 теңдеуі аталады, мұндағы E – бірлік матрица және белгісіз ретінде алынған. Сипаттауыш теңдеудің түбірі матрицаның сипаттауыш саны деп аталады.
Теорема 1. Ұқсас матрицалардың сипаттауыш көпмүшелері тең болады.
Анықтама. Векторлық кеңістіктің φ операторының e1, e2,…, en базисіндегі матрицасы A болсын. φ операторының сипаттауыш теңдеуі деп A матрицасының сипаттауыш теңдеуі аталады.
Бұл анықтама қисынды, өйткені φ операторының әртүрлі базистердегі матрицалары, 3.1-теорема бойынша, ұқсас. Ал 1-теорема бойынша, ұқсас матрицалардың сиптаттауыш көпмүшелері тең.
Теорема 2. n-өлшемді векторлық кеңістіктің φ операторы берілсін. 0 скаляры оператордың сипаттауыш теңдеудің түбірі болғанда, сонда ғана 0 оператордың өзіндік мәні болады.
Теорема 3. n-өлшемді векторлық кеңістіктің φ операторының берілген базистегі матрицасы A = (ij) болсын. 0 скаляры оператордың өзіндік мәні болсын. Нөлден өзгеше c векторының e1, e2,…, en базисіндегі координаталық жолы матрицасы A – l0E болғанда ғана, сонда ғана c векторы 0 мәніне тиісті өзіндік вектор болады.
§ 9. Жай спектрлі сызықтық операторлар
Теорема 1. Егер сызықтық оператордың өзіндік a1,…, am векторлары әртүрлі өзіндік мәндерге тиісті болса, онда олар сызықты тәуелсіз болады.
Анықтама. Сызықтық оператордың барлық өзіндік мәндерінің жиынтығы оператордың спектрі деп аталады. Егер n-өлшемді векторлық кеңістіктің операторының n әртүрлі өзіндік мәні болса, онда ол жай спектрлі оператор деп аталады.
Теорема 2. n-өлшемді векторлық кеңістіктің жай спектрлі φ сызықтық операторы берілсін. Оператордың өзіндік l1,…, ln мәндеріне тиісті өзіндік векторлар кеңістіктің базисін құрайды.
Теорема 3. n-өлшемді векторлық кеңістіктің φ сызықтық операторының {l1,…, ln} спектрі жай болсын және оператордың l1,…, ln өзіндік мәндеріне тиісті өзіндік векторлары a1,…, an болсын. Онда диагональ A =  матрицасы φ операторының a1,…, an базисіндегі матрицасы болады және кез келген a = 1a1 + 2a2 +…+ nan векторына φ(a) = l11a1 + l22a2 + …+ lnnan.
§ 10. Матрицаның диагональ матрицаға ұқсас болу шарттары
Сызықтық операторды бірнеше әдіспен беруге болады, айталық, берілген e1, e2,…, en базисіндегі матрицасымен. Сондықтан оператор туралы барлық мәліметті матрицадан алуға болады. Оператордың матрицасының түрі қарапайым болса, онда оператордың қасиеттерін зерттеу жеңілдейді.
Қарапайым матрицалардың бір түрі диагональ матрицалар, яғни түріндегі матрицалар.
Теорема 1. Ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктің сызықтық операторы берілсін. Оператордың өзіндік векторлары кеңістіктің базисін құрағанда, сонда ғана оператордың матрицасы осы базистегі матрицасы диагональ матрица болады.
Теорема 2. Егер матрица жай спектрлі болса, онда ол диагональ матрицаға ұқсас.
Теорема 9.2-теоремадан шығады.
Бұл жеткілікті шарт, бірақ қажетті емес. Мысалы, скаляр матрица диагональ матрица болады, бірақ ол жай спектрлі болмайды.
Теорема 3. Квадрат n-өлшемді А матрицасының n сызықты тәуелсіз өзіндік векторы табылғанда, сонда ғана А матрицасы диагональ матрицаға ұқсас.
§ 11. Ортогонал матрицалар
Анықтама. Егер квадрат A матрицасының кері матрицасы аударылған AT матрицасы болса, онда A матрицасы ортогонал матрица деп аталады, яғни A×AT = AT×A = E.
Теорема 1. A матрицасының жолдары (бағандары) ортонормал жүйе құрағанда, сонда ғана ол ортогонал матрица болады.
Теорема 2. Ақырлы өлшемді Евклид кеңістігінің бір ортонормал базисінен екінші ортонормал базисіне көшу матрицасы ортогонал матрица болады.
§ 12. Өзіне түйіндес операторлар
Анықтама. Егер Евклид кеңістігінің сызықтық операторына кез келген x, y векторларына ((x), y) = (x, (y)) болса, онда өзіне түйіндес оператор деп аталады.
Теорема 1. Евклид кеңістігінің сызықтық операторының ортонормал базистегі матрицасы симметриялы болғанда, сонда ғана өзіне түйіндес болады.
Теорема 2. Евклид кеңістігінің өзіне түйіндес операторының өзіндік мәні нақты сан болады.
Теорема 3. n-өлшемді Евклид кеңістігінің өзіне түйіндес оператордың өзіндік векторлардан құралған ортонормал базисі табылады.
Теорема 4. Кез келген нөлден өзгеше нақты симметриялы квадрат A матрицасы диагональ D матрицасына ұқсас. Оған қоса, кейбір ортогонал U матрицасына D = UT·A·U.
Сейтенов Сапарғали Мизамович
5В010900 Математика мамандығының студенттеріне арналған
Алгебра және сандар теориясы пәні бойынша
Оқу-әдістемелік кешен
Редакционно-полиграфический отдел
Кокшетауского государственного университета им. Ш. Уалиханова
Подписано в печать 23.06.15 г. Объем 7 п.л. Тираж 20 экз.
Заказ №103
Ш. Уәлиханов атындағы Көкшетау мемлекеттік университетінің баспаханасында басылған
Отпечатано в типографии
Кокшетауского государственного университета им. Ш. Уалиханова
Наш адрес: Казахстан, Акмолинская обл., г. Кокшетау,
ул. Ақан-сері, 24 РПО КГУ им. Ш. Уалиханова
e-mail: www.kgu.kz
Достарыңызбен бөлісу: |
