Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

Б. Сызықтық көбейткіштерді анықтауыштың сыртына шығару

жүктеу 28,2 Mb.

бет	24/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 20 21 22 23 24 25 26 27 ... 47

В. Анықтауышты басқа анықтауыштардың қосындысы түрінде келтіру

Б. Сызықтық көбейткіштерді анықтауыштың сыртына шығару. Анықтауыш бір немесе бірнеше айнымалдың көпмүшесі ретінде қаралады. Анықтауыштың кейбір элементтерін салыстырғанда, ол x – x_i екімүшелеріне бөлінетіні табылады. Осы екімүшелер өзара жай болғандықтан, анықтауыш осындай көпмүшелердің көбейтіндісіне бөлінетіні табылады. Осыны пайдаланып, анықтауыштың мәні табылады.

4°.  =

анықтауышының диагоналында x, әрбір жолда, диагональдан тыс орындар a₁, a₂, …, a_n_–1, a_n элементтерімен толтырылады. Осы анықтауышты анықтама бойынша тікелей есептесе, ол x айнымалына қатысты n-дәрежелі f(x) көпмүшесі болады. Егер x = a_i деп алса, онда анықтауыштың екі жолы тең болады. Анықтауыштың 1-қасиеті бойынша, анықтауыш нөлге тең болады: f(x) = 0. Безу теоремасы бойынша, f(x) көпмүшесі x – a_i екімүшесіне бөлінеді. Әртүрлі a_i мәндеріне x – a_i екімүшелері өзара жай болады. Сондықтан f(x) көпмүшесі (x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n) көбейтіндісіне де бөлінеді. Көпмүшенің дәрежесі n болғандықтан, f(x) = b(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n), мұндағы b көпмүшенің бас коэффициенті. Ал көпмүшенің xⁿ дәрежесінің коэффициенті 1 болатынын көруге болады. Сондықтан b = 1 және f(x) = (x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n).

5°. Осы тәсілмен 2-мысалдағы анықтауышты да есептеуге болады. Берілген анықтауыш x айнымалына қатысты f(x) көпмүше ретінде қаралады. Егер x = x_i мәндерін берсе, анықтауыштың екі жолы тең болады, i = 1, 2, n. Сондықтан f(x_i) = 0. Безу теоремасы бойынша, f(x) көпмүшесі x – x_i екімүшесіне бөлінеді. Ал әртүрлі x_i мәндері үшін x – x_i екі мүшелері өзара жай болады. Сондықтан f(x) көпмүшесі (x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n) көбейтіндісіне де бөлінеді. Көпмүшенің дәрежесі n болғандықтан, f(x) = b(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n), мұндағы b көпмүшенің бас коэффициенті. Ал көпмүшенің xⁿ дәрежесінің коэффициенті 1 болатынын көруге болады. Сондықтан b = 1 және f(x) = (x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n).

6°. n-ретті Вандермонд анықтауышы W_n =

деп анықталады. W_n анықтауышын x_n айнымалына қатысты көпмүше ретінде қаралады. Егер x_n = x_i мәндерін берсе, анықтауыштың екі жолы тең болады, i = 1, 2, n. Сондықтан f(x_i) = 0. Безу теоремасы бойынша, f(x_n) көпмүшесі x_n – x_i екімүшесіне бөлінеді. Әртүрлі x_i мәндері үшін x_n – x_i екімүшелері өзара жай болады. Сондықтан f(x) көпмүшесі (x_n – x₁)(x_n – x₂)…(x_n – x_n_–1) көбейтіндісіне де бөлінеді. Көпмүшенің дәрежесі n – 1 болғандықтан, f(x_n) = b(x_n – x₁)(x_n – x₂)…(x_n – x_n_–1), мұндағы b = b(x₁, …, x_n_–1) көпмүшенің бас коэффициенті. Екінші жағынан, анықтауышты соңғы баған бойынша жіктесе, x_nⁿ^–1 дәрежесінің коэффициенті W_n_–1 екенін көруге болады. Сондықтан b = W_n_–1 және осыдан W_n = W_n_–1(x_n – x₁)(x_n – x₂)…(x_n – x_n_–1) = W_n_–1

(x_n – x₁)(x_n – x₂)…(x_n – x_n_–1). Осыған ұқсас W_n_–1 = W_n_–2

. Ал W₂ =

= (x₂ – x₁). Сондықтан W_n = (x₂ – x₁) (x₂ – x₁) (x₂ – x₁)… (x_n – x₁)(x_n – x₂)…(x_n – x_n_–1) =

.

В. Анықтауышты басқа анықтауыштардың қосындысы түрінде келтіру. Кейбір жағдайларда анықтауышты бір жолға (немесе бір бағанға) қатысты екі анықтауыштың қосындысы түрде келтірсе, анықтауыш жеңіл есептеледі.

7°.  =

анықтауышының бірінші бағандағы элементтерді қосынды түрінде келтірейік:

. Онда анықтауыштың 5-қасиеті бойынша,  =

. Енді бірінші қосылғыштың бірінші бағанын қосынды түрге келтіріп, 5-қасиетті қолданамыз: ₁ =

+ x

Мұнда екінші анықтауыштың екінші бағанынан x көбейткішін анықтауыштың сыртына шығардық, шығарғаннан кейін екінші анықтауышта екі баған тең, сондықтан екінші анықтауыш нөлге тең.

Енді осы тәсілді ₂ =

анықтауышына қолданамыз. ₂ =

= x

+ x²

= –x²

. Мұнда бағандардан x және x² көбейткіштерін анықтауыштың сыртына шығардық, бірінші анықтауышта екі баған тең, сондықтан ол нөлге тең. Сөйтіп,  = ₁ + ₂ =

– x²

= (1 – x²)

§ 11. Кері матрица

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 20 21 22 23 24 25 26 27 ... 47