Мысалдар. 1. Бір a = (α1, α2, …, αn) векторынан құралған жүйе сызықты тәуелді болса, онда нөлден өзгеше скаляры үшін a = . Осы теңдікті –1 скалярына көбейтсе, (–1)a = –1. Осыдан 1a = және, 1.1-теореманың 8-қасиеті бойынша, a = . Сөйтіп жалғыз вектор сызықты тәуелді болса, онда ол нөлдік вектор болады.
Егер a ≠ болса, онда оның кейбір координатасы нөлге тең емес, айталық, αi, 1 ≤ i ≤ n. Онда a = теңдігінен αi = 0 теңдігі шығады. Ал αi ≠ 0, сондықтан = 0. Сөйтіп, нөлден өзгеше вектор сызықты тәуелсіз болады.
Сонымен, бір вектор нөлге тең болғанда ғана, сонда ғана одан құралған жүйе сызықты тәуелді болады.
2. Екі a және b вектор сызықты тәуелді болғанда, тек сонда ғана олар пропорционал болады, яғни кейбір скаляры үшін a = b немесе b = a.
Шынында, a және b пропорционал болса, онда кейбір скаляры үшін a = b немесе b = a, айталық a = b. Онда 1 = 1, 2 = – үшін λ1a + λ2b = 1a – b = 1(b) – b = . Сондықтан a және b векторлары сызықты тәуелді болады.
Енді a және b векторлары сызықты тәуелді болсын. Онда кейбіреуі нөлден өзгеше 1, 2 скалярлары үшін λ1a + λ2b = , айталық 1 ≠ 0. Осыдан 1–1(λ1a + λ2b) = немесе a + (1–1λ2)b = немесе a = – (1–1λ2)b, яғни a және b векторлары пропорционал.
§ 4. Векторлардың эквивалент жүйелері
Мысалы, …, ai,…, aj,… векторлар жүйесі берілсе, онда ai, aj векторларын орындарымен алмастыру үшін келесі түрлендірулерді орындау керек:
1. Жүйедегі ai векторын (–1)-ге көбейтіп, aj векторына қосу. Нәтижесінде жаңа жүйе шығады: …, ai,…, aj – ai,…
2. Жаңа жүйедегі aj – ai векторын 1-ге көбейтіп, ai векторына қосу. Нәтижесі: …, aj,…, aj – ai,…
3. Соңғы жүйенің aj векторын (–1)-ге көбейтіп, aj – ai векторына қосу. Нәтижесі: …, aj,…, – ai,…
4. Соңғы жүйенің –ai векторын (–1)-ге көбейту. Нәтижесі: …, aj,…, ai,…
§ 5. Векторлардың ақырлы жүйесінің базисі және рангі
Мысал 1. Векторлардың а1 = (0, –1, 2, 1), а2 = (3, 1, –1, 0), а3 = (–6, –2, 2, 0) жүйесінің базисін табайық.
а1 және а2 векторлары пропорционал емес, сондықтан олар сызықты тәуелсіз. Ал а3 = 0а1 + (–2)а2. Сондықтан а1, а2, а3 сызықты тәуелді. Сондықтан олар үшеуі базис құрмайды. Базисті екі вектор құрайды: {а1, а2} немесе {а1, а3}.
Ал а2 және а3 векторлары пропорционал, сондықтан олар бір базиске кіре алмайды.
§ 6. Сызықтық теңдеулер жүйесі
Мысалы, (1, 2) векторы
x1 + 2x2 = 5
2x1 + 4x2 = 10
жүйесінің шешімі болады, сондықтан ол үйлесімді болады, өйткені белгісіздердің орнына (1, 2) векторының координаталарын сәйкесінше қойса, онда теңдеулер теңдіктерге айналады:
1 + 22 = 5
21 + 42 = 10.
Ал
x1 + 2x2 = 5
2x1 + 4x2 = 11,
жүйесі үйлесімсіз болады, өйткені (, ) бірінші теңдеудің шешімі болса, онда + 2 = 5, ал екінші теңдеуге осы вектордың координаталарын қойса, онда 2 + 4 = 2( + 2) = 25 11. Сондықтан осы вектор екінші теңдеуді қанағаттандырмайды.
Екі жүйе берілсін:
αi1x1 +…+ αinxn = βi (i = 1,…, m) (1)
және
γi1x1 +…+ γinxn = δi (i = 1,…, s). (2)
§ 7. Матрицаның жолдық және бағандық рангтері
Мысалдар. 1. Жоғарыда A = матрицасы сатылы B = түріне келтірілген. Ал сатылы матрицаның нөлден өзгеше жолдарының саны 4. Сондықтан r(A) = r(B) = 4.
§ 8. Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериі
Мысалдар. 1. жүйесі берілсін.
Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Негізгі матрицаның рангі 1, кеңейтілген матрицаның рангі 2. Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша, жүйе үйлесімсіз, яғни оның шешімі жоқ.
2. Сызықтық теңдеудер жүйесі берілсін:
x1 + x2 + x3 = 6
x1 – x2 + x3 = 4
x1 + x2 – x3 = 0
Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Кеңейтілген матрицаның рангі 3-ке, негізгі матрицаның рангі де 3-ке тең және олар белгісіздердің n = 3 санына тең, сондықтан жүйе үйлесімді және оның жалғыз шешімі болады.
Шешімді табу үшін сатылы матрицаға сәйкес жүйені жазайық:
x1 + x2 + x3 = 6
– 2x2 = –2
–2x3 = –6
Үшінші теңдеуді шешіп, оның x3 = 3 шешімін табамыз. Екінші теңдеудің шешімі x2 = 1 болады. Осы мәндерді бірінші теңдеуге қойып, x1 белгісізінің мәнін табамыз: x1 – 2 + 3 = 4, x1 = 2. Сондықтан жүйенің жалғыз шешімі (2, 1, 3) векторы болады.
3. Енді тағы бір жүйені қарайық:
–x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 2
–3x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 2
–3x1 + x2 – 5x3 – 7x5 = –2
–5x1 + 7x2 + x3 + 16x4 + x5 = 10
Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Кеңейтілген матрицаның рангі негізгі матрицаның рангіне тең: r = 3. Сондықтан жүйе үйлесімді болады. Ал r < n = 5 болғандықтан жүйе анықталмаған болады, яғни жүйенің шешімдер саны ақырсыз.
Берілген жүйе келесі жүйеге эквивалент болады:
Достарыңызбен бөлісу: |