Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік



жүктеу 28,2 Mb.
бет19/47
Дата08.03.2018
өлшемі28,2 Mb.
#11922
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   47
    Навигация по данной странице:
  • Мысал 1

Мысалдар. 1. Бір a = (α1, α2, …, αn) векторынан құралған жүйе сызықты тәуелді болса, онда нөлден өзгеше скаляры үшін a = . Осы теңдікті –1 скалярына көбейтсе, (–1)a = –1. Осыдан 1a = және, 1.1-теореманың 8-қасиеті бойынша, a = . Сөйтіп жалғыз вектор сызықты тәуелді болса, онда ол нөлдік вектор болады.

Егер a болса, онда оның кейбір координатасы нөлге тең емес, айталық, αi, 1 ≤ in. Онда a = теңдігінен αi = 0 теңдігі шығады. Ал αi ≠ 0, сондықтан = 0. Сөйтіп, нөлден өзгеше вектор сызықты тәуелсіз болады.

Сонымен, бір вектор нөлге тең болғанда ғана, сонда ғана одан құралған жүйе сызықты тәуелді болады.



2. Екі a және b вектор сызықты тәуелді болғанда, тек сонда ғана олар пропорционал болады, яғни кейбір скаляры үшін a = b немесе b = a.

Шынында, a және b пропорционал болса, онда кейбір скаляры үшін a = b немесе b = a, айталық a = b. Онда 1 = 1, 2 = – үшін λ1a + λ2b = 1ab = 1(b) – b = . Сондықтан a және b векторлары сызықты тәуелді болады.

Енді a және b векторлары сызықты тәуелді болсын. Онда кейбіреуі нөлден өзгеше 1, 2 скалярлары үшін λ1a + λ2b = , айталық 1 ≠ 0. Осыдан 1–1(λ1a + λ2b) = немесе a + (1–1λ2)b = немесе a = – (1–1λ2)b, яғни a және b векторлары пропорционал.

§ 4. Векторлардың эквивалент жүйелері

Мысалы, …, ai,…, aj,… векторлар жүйесі берілсе, онда ai, aj векторларын орындарымен алмастыру үшін келесі түрлендірулерді орындау керек:

1. Жүйедегі ai векторын (–1)-ге көбейтіп, aj векторына қосу. Нәтижесінде жаңа жүйе шығады: …, ai,…, ajai,…

2. Жаңа жүйедегі ajai векторын 1-ге көбейтіп, ai векторына қосу. Нәтижесі: …, aj,…, ajai,…

3. Соңғы жүйенің aj векторын (–1)-ге көбейтіп, ajai векторына қосу. Нәтижесі: …, aj,…, – ai,…

4. Соңғы жүйенің –ai векторын (–1)-ге көбейту. Нәтижесі: …, aj,…, ai,…

§ 5. Векторлардың ақырлы жүйесінің базисі және рангі



Мысал 1. Векторлардың а1 = (0, –1, 2, 1), а2 = (3, 1, –1, 0), а3 = (–6, –2, 2, 0) жүйесінің базисін табайық.

а1 және а2 векторлары пропорционал емес, сондықтан олар сызықты тәуелсіз. Ал а3 = 0а1 + (–2)а2. Сондықтан а1, а2, а3 сызықты тәуелді. Сондықтан олар үшеуі базис құрмайды. Базисті екі вектор құрайды: {а1, а2} немесе {а1, а3}.

Ал а2 және а3 векторлары пропорционал, сондықтан олар бір базиске кіре алмайды.

§ 6. Сызықтық теңдеулер жүйесі

Мысалы, (1, 2) векторы



x1 + 2x2 = 5

2x1 + 4x2 = 10

жүйесінің шешімі болады, сондықтан ол үйлесімді болады, өйткені белгісіздердің орнына (1, 2) векторының координаталарын сәйкесінше қойса, онда теңдеулер теңдіктерге айналады:

1 + 22 = 5

21 + 42 = 10.

Ал


x1 + 2x2 = 5

2x1 + 4x2 = 11,

жүйесі үйлесімсіз болады, өйткені (, ) бірінші теңдеудің шешімі болса, онда + 2 = 5, ал екінші теңдеуге осы вектордың координаталарын қойса, онда 2 + 4 = 2( + 2) = 25  11. Сондықтан осы вектор екінші теңдеуді қанағаттандырмайды.

Екі жүйе берілсін:



αi1x1 +…+ αinxn = βi (i = 1,…, m) (1)

және


γi1x1 +…+ γinxn = δi (i = 1,…, s). (2)

§ 7. Матрицаның жолдық және бағандық рангтері



Мысалдар. 1. Жоғарыда A = матрицасы сатылы B = түріне келтірілген. Ал сатылы матрицаның нөлден өзгеше жолдарының саны 4. Сондықтан r(A) = r(B) = 4.

§ 8. Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериі



Мысалдар. 1. жүйесі берілсін.

Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Негізгі матрицаның рангі 1, кеңейтілген матрицаның рангі 2. Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша, жүйе үйлесімсіз, яғни оның шешімі жоқ.

2. Сызықтық теңдеудер жүйесі берілсін:



x1 + x2 + x3 = 6

x1x2 + x3 = 4

x1 + x2x3 = 0

Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Кеңейтілген матрицаның рангі 3-ке, негізгі матрицаның рангі де 3-ке тең және олар белгісіздердің n = 3 санына тең, сондықтан жүйе үйлесімді және оның жалғыз шешімі болады.

Шешімді табу үшін сатылы матрицаға сәйкес жүйені жазайық:



x1 + x2 + x3 = 6

– 2x2 = –2

–2x3 = –6

Үшінші теңдеуді шешіп, оның x3 = 3 шешімін табамыз. Екінші теңдеудің шешімі x2 = 1 болады. Осы мәндерді бірінші теңдеуге қойып, x1 белгісізінің мәнін табамыз: x1 – 2 + 3 = 4, x1 = 2. Сондықтан жүйенің жалғыз шешімі (2, 1, 3) векторы болады.

3. Енді тағы бір жүйені қарайық:

x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 2

–3x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 2

–3x1 + x2 – 5x3 – 7x5 = –2



–5x1 + 7x2 + x3 + 16x4 + x5 = 10

Жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Кеңейтілген матрицаның рангі негізгі матрицаның рангіне тең: r = 3. Сондықтан жүйе үйлесімді болады. Ал r < n = 5 болғандықтан жүйе анықталмаған болады, яғни жүйенің шешімдер саны ақырсыз.

Берілген жүйе келесі жүйеге эквивалент болады:


жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   47




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау