§ 4. Алгебра және сандар теориясы пәні бойынша сұрақтар

§ 4. Алгебра және сандар теориясы пәні бойынша сұрақтар

2. Матрицаны сатылы түрге келтіру

3. Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі

4. Векторлардың эквивалент жүйелері

5. Векторлардың ақырлы жүйесінің базисі және ранг

6. Сызықтық теңдеулер жүйесі

7. Матрицаның жолдық және бағандық рангтері

8. Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериі

9. Біртекті теңдеулер жүйесі және оның қасиеттері

10. Матрицаларға қолданылатын операциялар және олардың қасиеттері

11. Матрицаларды көбейту

12. Керіленетін матрицалар

13. Кері матрицаны элементар түрлендірулерді қолданып есептеу

14. Сызықтық теңдеулер жүйесінің матрицалық түрі

15. Квадрат матрицаның анықтауышы

16. Анықтауыштардың қасиеттері

17. Минорлар және алгебралық толықтауыштар

18. Матрицалар көбейтіндісінің анықтауышы

19. Анықтауыштарды есептеу тәсілдері

20. Кері матрица

21. Крамер ережесі

22. Векторлық кеңістіктің анықтамасы және мысалдары

23. Векторлардың сызықты тәуелділігі және тәуелсіздігі

24. Ішкеңістік. Векторлар жүйесінің сызықтық қабықшасы

25. Сызықтық көпбейнеліктер

26. Векторлық кеңістіктің базисі және өлшемдігі

27. Вектордың берілген базистегі координаталық жолы

28. Векторлық кеңістіктердің қосындысы және тура қосындысы

29. Векторлық кеңістіктердің изоморфизмі

30. Скаляр көбейтіндісі бар векторлық кеңістік

31. Ішкеңістіктің ортогональ толықтауышы

32. Евклид кеңістіктері

33. Евклид кеңістіктерінің изоморфизмі

34 Векторлық кеңістіктердің сызықтық бейнелеулері

35. Сызықтық оператордың матрицасы

36. Сызықтық оператордың әртүрлі базистердегі матрицаларының арасындағы байланыс

37. Сызықтық оператордың ядросы және бейнесі

38. Сызықтық алгебралар

39. Керіленетін операторлар

40. Инвариант ішкеңістіктер

41. Өзіндік векторлар және өзіндік мәндер

42. Жай спектрлі сызықтық операторлар

43. Матрицаның диагональ матрицаға ұқсас болу шарттары

44. Ортогонал матрицалар

45. Өзіне түйіндес операторлар

Әдістемелік нұсқаулар

§ 1. Арифметикалық векторлық кеңістік

Мысалы, a = (1, –3, 5, 2), b = (4, 6, –3, 1)  R⁴ векторларына a + b = (1 + 4, –3 + 6, 5 – 3, 2 + 1) = (5, 3, 2, 3).

Берілген a = (α₁, α₂, …, α_n) векторын  скалярына көбейту:

деп анықталады (вектордың әрбір координатасы -ға көбейтіледі).

Мысалы, a = (1, –4, 5, 3)  R⁴ векторына 5a = (5, –20, 25, 15).

§ 2. Матрицаны сатылы түрге келтіру

Берілген матрицаның бірінші жолының жетекші элементі –1 болады. Бірақ оның алдында басқа жолдардың жетекші элементтері тұр. Сондықтан 1-жолды басқа бір жолмен орнымен ауыстыру керек, айталық 3-жолмен (1-адым).

Сондықтан екінші матрицада бірінші және екінші жолдарды орынымен ауыстырамыз (2- адым).

Енді үшінші матрицада бірінші жол 4-ке көбейтіліп, екінші жолға қосылады (нәтиже қосылған орынға жазылады, 2-жолға, ал 1-жол өзгермейді) (3- адым).

Одан кейін 4-жолдағы 4-ті “жоямыз”, ол үшін, 1-жол 4-ке көбейтіліп, 4-жолға қосылады. Сөйтіп, бірінші жолдың жетекші элементінің алдында нөлден өзгеше элемент жоқ "4-адым).

Енді сатылы түрге матрицаның бірінші жолдан төменгі бөлігін келтіру керек. Ол үшін екінші мен үшінші жолды ауыстырамыз (5- адым).

Одан кейін 2-жолдағы 1-дің астындағы элементтер жойылды: 2-жол (–13)-ке көбейтіліп, 3-жолға қосылды (6- адым).

§ 3. Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі

Мысалы, а₁ = (1, 0, 3, –2), a₂ = (–1, 1, 4, 3), a₃ = (–5, 3, 5, 3)  R⁴ векторларының 2a₁ – 3a₂ + a₃ сызықтық комбинациясы былай есептелінеді: 2a₁ = (2, 0, 6, –4), 3a₂ = (–3, 3, 12, 9), 2a₁ – 3a₂ = (2, 0, 6, –4) – (–3, 3, 12, 9) = (5, –3, –6, –13), (2a₁ – 3a₂) + a₃ = (5, –3, –6, –13) + (–5, 3, 5, 3) = (0, 0, –1, –10).

Мысалы, n-өлшемді арифметикалық векторлық Fⁿ кеністігінің кез келген векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болады, сондықтан Fⁿ кеністігі бірлік векторлардан құралған e₁, e₂,…, e_n жүйесінің сызықтық қабықшасы болады: Fⁿ = L(e₁, e₂,…, e_n).