Основные правила преобразования структурных схем

Откуда W 

2. 
   Параллельное соединение звеньев
   

X  p ^{ Wi}

W
x Y


Рисунок 3.2

При параллельном соединении на вход всех звеньев подаётся один и тот же сигнал, а выходные величине складываются.

Цепь из параллельно соединенных звеньев можно заменить одним звеном (рис 3.2). Для каждого звена схемы можно записать

Y₁  W₁ x

Y₂  W₂ x

…

Y_n  W_n x .

Сложив эти равенства, получим

Y  Y₁  Y₂  ...  Y_n  W₁  W₂  ...  W_n x

Из этого выражения определим общую передаточную функцию

Отсюда следует правило:

W  W₁  W₂  ...  W_n

Общая передаточная функция параллельно соединенных звеньев направленного действия равна сумме передаточных функций этих звеньев.

3. 
   Звено, охваченное обратной связью (рис 3.3)
   

Y
а) б) в) Рисунок 3.3

Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на вход. При этом если сигнал обратной связи вычитается из

входного воздействия e  x  y₁ , то обратную связь называют отрицательной. Если сигнал

обратной связи складывается с входным воздействием e  x  y₁ , то обратную связь называют

положительной.

Разомкнем обратную связь перед сравнивающим звеном (рис 3.3а). Тогда получим цепь из ^{двух последовательно соединенных звеньев. Поэтому передаточная функция} W_p ^{разомкнутой цепи}

равна произведению передаточной функции

обратной связи

^Wnp

прямой цепи и передаточной функцииW_о.е.

Передаточная функция W₃

^Wp ^{ W}пр^Wо.е.

замкнутой цепи с отрицательной обратной связью равна

передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи

W₃ 

^Wnp

1  W_p

Для вывода этой формулы выпишем уравнения для каждого звена

^{Y  W}_np^e ; Y₁  W_o.e.Y ; e  x  Y₁
(3.1)

Последнее уравнение- уравнение сравнительного звена - называют уравнением замыкания.

Исключив переменные ^e и Y₁ из системы (3.1), получим уравнение

Y  W x W

Y  ^или 1W W

Y  W x

Отсюда W

 ^Y 

np

^Wnp

o.c.



^Wnp _.

np o.c. np

³ X 1  W W 1  W

np o.c. p

Если обратная связь положительна, то аналогично получим W<sub>3

</sub> ^Wnp _.

1  W_p

Если передаточная функция

W_o.c.  1, то обратная связь называется единичной.

Передаточная функция W₃ при этом примет вид:

W₃ 
W₃ 

^Wnp 1  W_np ^Wnp

1  W_np

• 
  при отрицательной обратной связи;
  

• 
  при положительной обратной связи.
  

Вычисление передаточной функции системы.

Рисунок 3.4

Найдем передаточную функцию по каналу х→у Схема (рис. 3.4) эквивалентна схеме (рис. 3.5).

W

^W0
x Y



W₁W₂

Рисунок 3.5

где

W 

1  W₁W₂W₃

^Wxy

W
x Y

xy

_ W₀W₁W₂

1  W W W

Рисунок 3.6

1 2 3

Для вычисления передаточной функции многоконтурной системы необходимо, прежде всего, преобразовать ее в одноконтурную систему, используя правила преобразования структурных схем, и затем, как показано выше, вычислить общую передаточную функцию замкнутой системы.
Условия устойчивости линейных систем

Устойчивость – это свойство системы возвращаться к исходному установившемуся режиму или близкому к нему после всякого выхода из него в результате какого-нибудь воздействия.

Для того, чтобы САУ выполняла свое назначение она прежде всего должна быть устойчивой. Поэтому анализ устойчивости является одной из основных задач ТАУ. Найдем условия

устойчивости линейных САУ. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение САУ, имеет следующий вид:

a₀ Pⁿ  a₁P^n1 ...  a_n Y t   b₀ P^m  b₁P^m1 ...  b_m xt

(3.2)

где

a₀ , a₁ ,..., a_n

и b₀ , b₁,..., b_m – постоянные коэффициенты.

Изменение регулируемой величины Y t  при произвольном внешнем воздействии представляет собой решение уравнения (3.2):

Y t   Y_в (t)  Y_св (t)

x(t)
(3.3)

Здесь

Y_в t  – вынужденная составляющая переходного процесса. Она определяется как

частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.2). Имеет характер правой части уравнения (3.2).

Y_св t  - свободная или переходная составляющая, которая определяется общим решением


Y
однородного дифференциального уравнения (3.2) без правой части:

0

1

n
a Pⁿ  a P^n1 ...  a t  0

св

(3.4)

Обычно в ТАУ интересуется устойчивостью вынужденной составляющей

Y_в t 

переходного процесса. Поэтому она принимается за невозмущенное движение системы. Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины

Y t , а отклонением или вариацией – свободная составляющая:

Y_св t   Y (t)  Y_в (t)

^{Начальные значения} Y_св t₀ ^{, которые возникли в момент времени t  t0}

(3.5)

под действием

внезапно подействовавших дополнительных внешних сил, называются возмущениями. Теперь согласно А.М.Ляпунову можно сформулировать следующее:

Невозмущенное движение Y_в t  называется устойчивым, если любое возмущенное

движение Y t  при достаточно малых начальных возмущениях

^Yсв

t₀ 

стремиться к

невозмущенному движению, т.е. при t  

Y_св t   0 ^.

Решение уравнения (3.4) можно записать так:

^Yсв

t   Сe^t , (3.6)

где C - вектор C  C₁, С₂ ,...C_n – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий;

  ₁ , ₂ ,..., _n  – вектор корней характеристического уравнения:

a₀ⁿ  a₁^n1  ...  a_n  0

Как видно из уравнения (3.6) характер, изменяя,

характеристического уравнения (3.7).
Y_св (t )

(3.7)

зависит от вида корней

І. Все корни характеристического уравнения вещественные. Тогда уравнение (3.6) запишется:

1

2

n
Y_св (t)  С₁е^{ t}  С₂е^{ t} …  С_ne^{ t}

(3.8)

1. 
   Очевидно, что если все корни отрицательные, то каждая составляющая
   

С e^it  0

при

i
t  ,

т.е. Y_св (t)  0

при t   . В этом случае система устойчива (кривая 1).

2. 
   Если хотя бы один корень _i
   

- положительный, то система неустойчива (кривая 2).

3. 
   Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, а остальные корни вещественные и отрицательные. Система находится на границе устойчивости (кривая 3).
   

Рисунок 3.7

II. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней, а остальные- вещественные и отрицательные

_к    j;_к1    j

Корни (3.9) дают в решении уравнения (3.4) колебательную составляющую

1

2

k

n
Y_св (t)  C₁e^{ t}  C₂e^{ t} … Ae^{ t} sin(t  ) … C_ne^{ t} .

(3.9)
(3.10)

1. 
   Если вещественная часть ^ комплексно – сопряженных корней будет отрицательна, то очевидно, что в переходной составляющей будет иметь место колебания с затухающей амплитудой
   

Ае^t  0

при

^{t  } (рис 3.8) (система устойчива).

2. 
   Если _{к  0,} то имеют место расходящиеся колебания (система неустойчива).
   

3. 
   Если
   

_к  0, ^{то – незатухающие колебания (система находится на границе устойчивости).}