Пререквизиты: предшествующие

Y  a

n1

 a_n3

 a_n5

...^_

называется соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.

При изменении частоты ^ вектор Dj, изменяясь по величине и направлению, будет

описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.

^{В соответствии с (4.7) угол поворота} Dj ^{вокруг начала координат при изменении частоты}

 от ⁰ до +  равен

^{  }  ArgDj ^{  }  ^ n  2m.

(4.11)

  0   0 2

Так как для устойчивых САУ m=0, то

^{  }  ^ n.

(4.12)

  0 2

Условие (4.12) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n корней характеристического уравнения были левыми, т.е. среди них не было нулевых.

Последнее условие можно записать так:

Dj  0, при любом ^ (4.13)

Формулы (4.12) и (4.13) представляют математическое выражение критерия устойчивости Михайлова:

^{Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор} Dj ^при

изменении  от ⁰ до  повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против

часовой стрелки на угол

n ^ , где

2

n  степень характеристического уравнения.

Так как комплексная плоскость разделяется на 4 квадранта осями расположенными под углом

^ , то удобнее использовать такую формулировку критерия:

2

Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова

^{при изменении частоты  от 0 до  , начинаясь при}   0

на вещественной положительной

полуоси, обходил только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной

плоскости, где

n  степень характеристического уравнения.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.

сравнения коэффициенты

a_n во всех случаях приняты одинаковыми.

САУ – неустойчива (рис.4.3)

САУ – на границе устойчивости (рис.4.4) Достоинства критерия Михайлова:

а) пригодность для анализа устойчивости систем любого порядка;

б) наглядность, т.к. по виду годографа можно судить не только об устойчивости системы, но и наметить пути для обеспечения устойчивости.

^{По данным таблицы на комплексную плоскость наносят координаты} X^и Y^точек,

соответствующих значениям частот ^{  0,  1 ,  2} и т.д. Полученные точки соединяют плавной кривой, по виду которой и судят об устойчивости САР.


dx




Пример. Провести анализ устойчивости САР с помощью критерия Михайлова.

d⁴Y ⁴ dt ⁴

d³Y ³ dt³

d²Y ⁵ dt ²

• 
  ₂ dY
  

dt

• 
  y  b_{0 dt}
  
• 
  b₁x
  

^{Решение: Характеристическое уравнение} 4p⁴  3p³  5p²  2p 1  0.

Подставляем

^{p  j} , тогда

4⁴  j3³  5²  j2 1  0.

^{Группируем} X( )  4⁴  5²  1; Y^^  2  3³.

^{Задаваясь значениями   0;0,25;0,5;0,75;1,0;1,5, подсчитываем значения} X ^{и Y ( ) .}

	0	0,25	0,5	0,75	1,0	1,5	
X	1	0,7	0	-0,55	0	9	
Y ( )	0	0,45	0,63	0,23	-1	-7,1	 

По данным таблицы строим годограф Михайлова

Wp 

Qp ^

0 1 m


n
n1

C₀ P  C₁P …  C_n

, m  n

(4.14)



 A ω e



 U
Подставляя в (4.14) p  j , получаем частотную передаточную функция разомкнутой системы

jω



_ 0 1 m

W
_{ } R jω

в  jω^m  в  jω^{m  1} …  в

     

j^ ω^

Q jω

с  jωⁿ  с  jω^{n  1} …  с

0 1 n

ω

jV

ω

_.
(4.15)

При изменении частоты ^ от

• 
  до
  

• 
  ^ вектор
  

Wj
меняясь по величине и

направлению будет описывать в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую АФЧХ разомкнутой системы (рис.4.6).

U(ω)

Рисунок 4.6

Передаточная функция замкнутой системы

_{W p } W_пр p

³ 1  Wp

Рассмотрим вспомогательную функцию

B   1  W    1  ^{R }

_ Q  R  _ D  _,

(4.16)

Q 

Q 

Q 

0
^где D  Q R  a

ⁿ  a ^n1 ...  a ^{характеристический полином замкнутой}

1

1

n

n
системы; системы.

Q  c₀

ⁿ  c ^n1  ...  c  характеристический полином разомкнутой

Подставляя в (4.16) ^{  j} , получим


 
Bj  ^{Dj .}

Q j

^{Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы} D  0 ^{имеет т правых корней и}

n  m

левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы

Q  0

имеет ^l

правых и n  l левых корней.

При изменении частоты  от ⁰ до  изменение угла поворота вектора принципа аргумента будет

Bj^{на основе}

ArgB j ^{  }  ArgD j  ^{  } ArgQ j  ^{  }  ^ n  2m ^ n  2l    l  m. ^(4.17)

  0

  0

  0 _{2 2}

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее

^{характеристического уравнения были левыми, т.е.} m  0 ^{. Отсюда суммарный поворот вектора}

Bj устойчивой системы вокруг начала координат должен равняться

ArgB j ^{  }  l  2 ^l ,

(4.18)

  0 2

где ^l -число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Таким образом, если разомкнутая система является неустойчивой и имеет ^l правых корней,

то замкнутая система будет устойчива, если АФЧХ вспомогательной функции

B( j) при

изменении частоты от ⁰ до  охватывает начало координат в положительном направлении ^l

2

раз.

Легко заметить, что число оборотов вектора ^{оборотов вектора} Wj ^{вокруг точки 1, j0.}

Bj

вокруг начала координат равно числу

На основании сказанного вытекает следующая формулировка критерия устойчивости Найквиста:

Если разомкнутая САР неустойчива, то для того, чтобы замкнутая САР была устойчива,

необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы Wj при изменении частоты 

^{от 0 до  охватывала точку} 1, j0 ^{в положительном направлении} корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

^l раз, где ^l - число правых

2

а) б)

Рисунок 4.7

На рис.4.7а показана АФЧХ

Bj^{, а на рис.4.7б - АФЧХ}

Wj^{, соответствующие}

устойчивой замкнутой системе, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела число

правых корней
B( j) _{  }  1 ^.

l  2 ^{. Обычно в реальных системах}

W ( j) _{  }  0

и поэтому

^{Если САР в разомкнутом состоянии устойчива, т.е.} l  0 ^{, то приращение аргумента вектора}

Bj^{равно нулю:}

ArgB( j) ^{  }  l  0.

  0

(4.19)

Это означает, что для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ^АФЧХ B^j^{ не охватывала начало координат (рис. 4.8а), а АФЧХ} Wj ^{не охватывала точку с координатами} 1, j0 ^{(рис. 4.8б).}

1. 
   б)
   

Рисунок 4.8

Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста:

Если разомкнутая САР устойчива, то замкнутая САР будет устойчива, если АФЧХ ^{разомкнутой системы Wj не охватывает точку} 1, j0^.

Рассмотренные выше рис. (а, б), показывают, что АФЧХ разомкнутых статических САУ при

изменении частоты ^ от   до ^{ } образуют замкнутый контур.

У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, АФЧХ ^{претерпевает разрыв и непонятно охватывает ли она критическую точку} 1, j0 ^{или нет.}

m
Передаточная функция разомкнутой астатической системы, содержащей интегрирующие звенья, имеет вид

  

в p^m  в p^m1 …  в

_ Rp

с p


W p ⁰

p ₀

1

• 
  
  n
  с₁p
  

n1

…  с_n 

p^Q p ^,

(4.20)

1
где ^ - степень астатизма-количество интегрирующих звеньев, включенных последовательно;

Q₁p ^{- полином, не имеющий корней, равных нулю.}

Очевидно, что характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет ^ нулевых

корней

^Q   0

(4.21)

1
^{Элементарные векторы} j 0^{, соответствующие нулевым корням, при изменении} частоты ^ от   до ^{ } изменяют при переходе через начало координат фазовый угол скачком

с ^{ }

2

^до  ^

2

, но в каком направлении («+» или «-») происходит их поворот в момент перехода

через начало координат, сказать невозможно.

, мы приняли корень:

  re ^j

( r  0,

 ^ ₂    ^ ₂ ^).


Таким образом, идя по мнимой оси при изменении частоты  от ^{ } до ^{ } ,

обходят начало координат в плоскости корней справа по полуокружности бесконечно малого радиуса r . Тогда все нулевые корни дадут такой же угол поворота, как левые корни, т.е.

• 
  , и формулы (4.18) и (4.19) сохраняют свою
  

силу.

Рассмотрим как поворот элементарного вектора в плоскости корней отобразится на

комплексной плоскости Wj

Рисунок 4.9

W( p )  ^Rp  W  ^R

_ R0 _

1
p^Q p


1

1

m
_ R0 1 _ b_m

^Q    0

1
¹ _e j _{ Re}  j _,

re^j  Q 0
(4.22)

Q 0 _re^j _^ c r^

где b_m и

c_m - свободные члены полиномов R и Q₁ .

Из выражения (4.22) видно, что при

r  0 модуль

R 

, а аргумент  меняется от

 _{до } ^

при изменении ^ от ^{ }



до . Таким образом, при движении по полуокружности

жүктеу 0,51 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: