Пререквизиты: предшествующие

тогда

L()  20lg A()  20lg k₀ .

ЛАЧХ представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (прямая 1, рис. 2.10) с наклоном ноль дб/декаду.

2) A()  ^k1 ,



L()  20lg k₁  20lg

а) при   1 ордината L()_1  L(1)

L(1)  20lgk₁  20lg1  20lgk₁ ;

б) при   10

L(10)  20lgk₁  20lg10  20lgk₁  20 .

Тогда приращение ординаты при изменении частоты ^ на 1 декаду

L() ^10  L(10)  L(1)  (20 lg k  20)  20 lg k

 20дб / дек,

т.е. наклон ЛАЧХ равен

1 1 1

минус 20дб/дек (прямая 2).

Точку пересечения ЛАЧХ с осью частот можно найти, положив L( )  0 , или A( )  1 .

3) A()  ^k2

_ 2

L()  20lg k₂  20lg²  20lg k₂  40lg

1
L() ^10 20 lg k₂

 40  20 lg k₂

 40дб / дек;

_ср 

(прямая 3).

Вообще для

A()  ^kn

_n
ЛАЧХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном

n 20

дб/дек. Частота среза _ср  .

4) A()  k₃

L()  20lg k₃  20lg

(прямая 4)

 1

1
L() ^10  20дб / дек; _ср 

k

для
A()  k

m
^m ;

3

1
L() ^10  m  20дб / дек ;   ¹

Удобство использования логарифмических частотных характеристик при исследовании САУ, связано с двумя обстоятельствами. Во первых, благодаря тому, что в логарифмических координатах кривизна характеристик изменяется, возникает возможность в подавляющем большинстве практических случаев упрощенно изображать ЛАЧХ ломаными линиями.

Второе удобство связано с построением ЛАЧХ цепочки последовательно соединенных звеньев.


A   n

i1

A_i  

. (2.31)


n

Если прологарифмировать выражение (2.31), получим

lg A   _lg A_i  ,

i1

т.е. в логарифмическом масштабе АЧХ цепочки звеньев равна сумме АЧХ отдельных звеньев.

ЛФЧХ обычно строится в полулогарифмических координатах, в виде зависимости  от

lg , так как фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается просто в виде суммы фазовых сдвигов на отдельных ее звеньях.
Типовые звенья САР

При изучении динамических свойств САР можно заметить, что большое число различных по конструкции и назначению элементов систем, оказываются сходными по характеру возникающих в них переходных процессов, т. е. одинаковыми по своим динамическим свойствам. Такие элементы системы называются типовыми динамическими звеньями САР. Они описываются простыми алгебраическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями, обычно не выше второго порядка. Следовательно, любую сложную САР можно разбить на небольшое число таких динамических звеньев и изобразить ее в виде структурной схемы, что значительно упрощает изучение динамики САР.

Динамические звенья характеризуются передаточными функциями, временными и частотными характеристиками.

Пропорциональное звено

Уравнение пропорционального звена: Y  kx, где x,y – входные и выходные величины;

^k – коэффициент передачи (усиления).

Передаточная функция звена: W p  k

При подаче на вход пропорционального звена скачкообразной функции величина y также мгновенно, скачком возрастает до величины kx_ск (рис. 2.11).

^xск

выходная

x

^хск^1(t)

^xск

⁰ t

Y

а)

L(ω)

20lgk

⁰ б)

lgω

Рисунок 2.11 Рисунок 2.12

АФЧХ звена:

W  j   k  j0. АФЧХ звена вырождается в точку (рис. 2.12а). ЛАЧХ

представлена на рис.2.12б.

Примерами конструктивного исполнения пропорционального звена могут служить рычаг, шестеренчатый редуктор, электронная лампа и др.

Иногда пропорциональное звено называют безинерционным, усилительным, безъемкостным звеном.
Апериодическое звено первого порядка

Дифференциальное уравнение этого звена

T ^dy  y  kx . (2.32)

dt

где Т – постоянная времени; ^k – коэффициент передачи звена.

Tp 1y  kx

Передаточная функция W p 

k Tp  1

Решение уравнения (2.32) имеет вид:



_ t _

Y  kx_ск ^1  e




^{T } . (2.33)




Формула (2.33) является уравнением экспоненты. Здесь при t=0 выходная величина y=0, а

при t→∞ выходная величина y стремиться к своему установившемуся значению

y  kx_ck (рис.2.13).

0,632х

^kxск

U(ω)

0 Т 2Т 3Т 4Т 5Т t

Рисунок 2.13 Рисунок 2.14

ЛАЧХ строится по выражению:

L   20lg A   20lg ^k

. (2.34)

Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемая асимптотическая ЛАЧХ (рис.2.15).

-1

Рисунок 2.15

На стандартной сетке проводится вертикальная прямая через точку с частотой, называемой

сопрягающей частотой

  ¹ . Для частот меньше, чем сопрягающая, т.е. при

c _T

  ¹ , можно

T

пренебречь вторым слагаемым под корнем в выражении (2.34). Тогда параллельная оси частот является первой асимптотой).

L( )  20lg k

(прямая об

L( ¹

T

)  20lg ^k

 20lg k  3,03дб.

На этом же рисунке показана ЛФЧХ. Она симметрична относительно сопрягающей частоты

(сдвиг по фазе   45 при _c

 ¹ , так как arctgT  arctg1  45 ).

T

Примерами конструктивного исполнения апериодического звена первого порядка могут служить: RC и LR-цепи, термопара, резервуар, нагревательная печь и т.п. (рис.2.16).

R


E=Y

^uвх<sup>=x

C u</sup>вых^=y

θ=x

Рисунок 2.16

Колебательное звено, консервативное, апериодическое звено второго порядка

Колебательное звено
₂ d ²Y dY

T

² dt ²

• 
  T₁
  

 Y  kx . (2.35)

dt

При этом корни ₁ и ₂ характеристического уравнения комплексные, т.е. T₁  2T₂
T ²²  T   1  0  

2
2 1 1,2

2T ²

Для колебательного звена часто используют другую форму записи уравнения (2.35):

2
d ²Y

T

dt ²

 2T

^dY  Y  kx , (2.36)

dt

где T  T₂

,   ^T1

2T

• 
  называют коэффициентом демпфирования (характеризует затухание):
  

если   1 – апериодическое звено;

Характеристическое уравнение:

W ( p) 

k _.

T ² p²  2Tp 1

^1,2

  ^ 

T
   j

T ²²  2T  1  0 ,

при 0    1.

Мнимая часть  корня представляет собой частоту свободных (затухающих) колебаний звена, а вещественная часть  – коэффициент затухания этих колебаний.

Сопряженные комплексные корни

_1,2    j

дают в решении уравнений (2.35) или (2.36)

гармоническую составляющую, т.е. решение этих уравнений при x  x_ck 1(t) и нулевых начальных

условиях Y ^0^   ^{ }  0 имеет следующий вид:

Y 0

t

Y  kx_ck (1 ce sint  ) ^{, (2.37)}

 ²   ²  

где c  _ ; tg  _ ;   arctg _ .
Уравнение (2.37) показывает, что при подаче на вход колебательного звена скачкообразной

функции

x_ск1(t) его выходная величина будет стремится к установившемуся значению

kx_ck

(при

t   ), совершая относительно его затухающие синусоидальные колебания с переменной

амплитудой ce ^t

(рис.2.17).

ЧПФ звена ( p 

j )

t
Рисунок 2.17

W  j  ^k  _ ^k 

T ²  j²  2T  j1

k 1 T ² ² 

1 T ² ²  j2T

2kT

 1 T ² ² 2  (2T)²  j 1 T ² ² 2  (2T)² .

ЛАЧХ:
L   20lg k  20lg

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид:


L   ^

20lg k

при

  _c

где _c

 ¹ .

T

^20lg k  40lgT

при

  _c

  0,5

φ

-1

Рисунок 2.20
Следует иметь в виду, что асимптотическая ЛАЧХ при малых значениях коэффициента демпифрования довольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических.

^uвх^{=x C
u}вых^=Y

Рисунок 2.21

Дифференциальное уравнение:

Интегрирующее звено
T ^dy  kx . (2.38)

dt

Tpy  kx

W ( p)  ^k

Tp

Проинтегрировав уравнение (2.38), получим

при

Y  ^k xdt T



x  x_ск 1(t) решение уравнения (2.39) имеет вид

(2.39)

Y  ^k x t

_T ск
x

• 
  уравнение прямой
  

_T t

W ( j) 

k Tj

  j ^k T

Примером конструктивного исполнения интегрирующего звена является маломощный электродвигатель, у которого угловая скорость строго пропорциональна напряжению, приложенному к якорю (рис.2.22).

ЛАЧХ

A   ^k

T

L   20lg A   20lg ^k  20lg

T

L ^{  10}  20дб / дек

  1

k
A   1  _ср 

T

ЛФЧХ

    arctg ^{V  }  arctg    ^

U   2

-1

Дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение звена:

Y  k ^dx

dt

Как видно из этого уравнения, в случае подачи на вход звена

x_ск 1(t)

на выходе его

возникает импульс бесконечно большой величины, соответствующий бесконечно большой скорости нарастания входной величины. Это звено называется идеальным дифференцирующим звеном.

В САР применяются звенья, которые выполняют дифференцирующее действие приближенно. Они называются реальными дифференцирующими звеньями.

Уравнение

T ^dy  y  kT ^dx

(2.40)

dt dt

(Tp 1) y  kTpx

W ( p) 

• 
  t
  

kTp Tp 1

Решение уравнения (2.40)

y  kx_ск e ^T

При подаче на вход реального дифференцирующего звена затухающий импульс (рис.2.23).

х

x_ск 1(t) на выходе звена возникает

t

y
^кхск

U(ω)

t

ЛАЧХ

Рисунок 2.23 Рисунок 2.24
A   ^kT

L   20lgTk  20lg

при   ¹  

_T с

L   20lg kT

(прямая с наклоном +20 дб/дек)

^при   ¹  

_T с

L   20 lg k
(прямая с наклоном 0 дб/дек)

^uвх^=x
uвых^=y

R
^uвх^{=x u}вых^=y

L

Рисунок 2.26

Рисунок 2.27

Звено запаздывания


Основное звено

Звено запаздывания
_х ^хзап _У

Рисунок 2.28 Структурная схема объекта с запаздыванием

Если на вход звена подать гармоническое возмущение

x  Xe ^jt , то на его выходе

возникнут также гармонические колебания с той же частотой и амплитудой, но с другой фазой

_xзап _{ Xe} j(t  ₀ ) _.

ЧПФ звена
W  j  

_Xe j t ₀ 

_Xe jt
_{ e} j₀

(2.41)

Как видно из формулы (2.41), модуль АФЧХ звена запаздывания равен единице и, следовательно, не зависит от частоты ω.

Передаточная функция ^{W p  e p0} ( p  j ).
х


Y

0

t

^хзап
t
Рисунок 2.29

Литература 1осн [44-91]; 3осн [40-64]

Контрольные вопросы

1. 
   Что называют собственным оператором, а что – оператором воздействия?
   
2. 
   Дайте определение передаточной функции в операторной форме.
   
3. 
   Дайте определение передаточной функции в форме изображений Лапласа.
   
4. 
   Какие виды временных характеристик Вы знаете и, что они показывают?
   
5. 
   Физический смысл частотной передаточной функции.
   
6. 
   Какое преимущество дает использование логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) по сравнению с обычными частотными характеристиками?
   
7. 
   В чем проявляется удобства использования типовых звеньев при изучении динамики САР?
   

Лекция 3. Структурные схемы САУ и их преобразования. Условия устойчивости линейных систем. Критерий устойчивости Гурвица. Критерий устойчивости Льенара- Шипара

Структурные схемы САУ и их преобразования

Структурной схемой в ТАУ называется графическое изображение математической модели САУ в виде соединений звеньев.

Звено в структурной схеме условно изображается в виде прямоугольника с указанием входной и выходной величин, а также передаточной функции внутри него. Иногда вместо передаточной функции указывают уравнение, описывающее звено.

Элементы

жүктеу 0,51 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: