Пререквизиты: предшествующие

t

а) б)

t

в) Рисунок 3.8

Из приведенного анализа можно сделать вывод:

САУ будет устойчива, если все корни характеристического уравнения (3.7) будут иметь отрицательную вещественную часть.

Этот вывод справедлив только для линейных систем. В действительности же большинство систем нелинейно, поэтому необходимо знать, насколько заключение об устойчивости системы, сделанное по линеаризованным уравнениям будет справедливо для реальных систем.

На этот вопрос дал ответ А.М.Ляпунов (1892).

Теорема 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то действительная система будет устойчива. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены второй и выше порядков малости не могут изменить устойчивости системы.

Теорема 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то действительная система будет неустойчива. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены второй и выше порядков малости не могут придать системе устойчивость.

Вычисления корней просто лишь для характеристических уравнений первой и второй степени. Общие выражения для корней третьей и выше степеней очень громоздки и практически малопригодны. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Они разделяются на алгебраические и частотные.