Критерий устойчивости Гурвица (1895г)

0
Здесь    ^a1 . Если оба коэффициента a

a₂

а система устойчива.

• 
  0;
  

a₁  0, то единственный корень  отрицательный,

2) а ²  а   а  0 , (3.12)

0 1 2

здесь <sub>1,2

</sub> 1

2а₀

   j

Необходимым и достаточным условием устойчивости является

а₀  0; a₁  0; a₂

• 
  0.
  

3. 
   Для систем 3-го порядка с характеристическим уравнением
   

а ³  а ²  а   a  0 ^{. (3.13)}

0 1 2 3

Необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид:

^а) а₀

 0; a₁  0; a₂

 0; a₃  0

^б) a₁a₂  a₀ a₃

• 
  0.
  

3. 
   Для систем 4-го порядка с характеристическим уравнением
   

а ⁴  а ³  а ²  a   a  0

(3.14)

0 1 2 3 4

Необходимые и достаточные условия устойчивости имеют вид:

^а) а₀

 0; a₁  0; a₂

• 
  0; a₃
  
• 
  0; a₄
  
• 
  0 ^;
  

б) a₁a₂  a₀a₃  0 ;

^в) a a a  a a  a²a

• 
  0.
  

3 1 2 0 3 1 4

Критерий Гурвица позволяет получать условия устойчивости для систем любого порядка и формулируется следующим образом:

Для того чтобы корни характеристического уравнения линейной системы имели отрицательные вещественные части, а система была устойчивой, необходимо и достаточно при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица были положительны.

Определитель Гурвица строится следующим образом: по главной диагонали определителя

^{слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от} а₁ ^{до аn в}

порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n (n – степень характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули.

_n 

a₃ a₂ a₁ a₀

a1

a0

0 0 ... 0

... 0

a₅ a₄ a₃ a₂

... 0

a₇ a₆ a₅ a₄

... 0

...

...

...

...

...

...

0

0

0

0

...

a_n


(3.15)

Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные


2
миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

  a  0;

  ^{a1 a3}  a a

• 
  a a
  

• 
  0;
  

1 1
a₁ a₃ a₅

a₀ a₂

1 2 0 3

₃  a₀

0

a₂ a₄

a₁ a₃

 0;

^…; _n  a_n _n1  0.

Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель.

Пример.

2_⏟ ³  6_⏟ ²  1_⏟0  1_⏟5  0 ^.

a₀ a₁ a₂ a ₃

  a 

 a ^{a1 a3}  a

(a a  a a

)  450  0;

3
3 3 2

a₀ a₂

3 1 2 0 3

а₃  15  0; ₂  а₁a₂  a₀a₃  6 10  2 15  30  0 ^{. Следовательно, система устойчива.}

При

n  5

процесс раскрытия определителей становиться довольно трудоемким и

громоздким. Поэтому критерий устойчивости Гурвица обычно применяют при

n  4 ^{. При}

n  5

целесообразно применять формулируемый ниже критерий устойчивости Льенара-Шипара, либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с использованием ЭВМ.

Критерий устойчивости Льенара-Шипара (1914г)

(модификация критерия Гурвица)

Доказано, что в том случае, когда все коэффициенты характеристического уравнения

положительны

(a₀  0; а₁  0;...; a_n  0),

из того факта, что положительны все определители

₁ , ₃ , ₅ ... ^{с нечетными индексами, следует и положительность определителей} четными индексами, и наоборот.

₂ , ₄ , ₆ ... ^с

Таким образом, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы

выполнялись следующие неравенства:


^{a0  0, a1  0,..., an  0} 

или

a₀  0, a₁  0,..., a_n

• ⁰ 

₁  0, ₃  0, ₅  0,.._

 ₂  0,  ₄  0, ₆




0,.._

Последняя формулировка называется критерием устойчивости Льенара-Шипара, который требует раскрытия меньшего числа определителей, чем обычный критерий Гурвица.

Литература 1осн [91-96]; [115-128]; 3осн [64-77]; [114-137]

Контрольные вопросы

1. 
   Что называется структурной схемой САУ?
   
2. 
   Какие Вы знаете основные правила преобразования структурных схем?
   
3. 
   Дайте определение устойчивости системы.
   
4. 
   Условия устойчивости линейных автоматических систем.
   
5. 
   Чем вызвана необходимость использования косвенных правил или признаков, получивших название критериев устойчивости исследовании работоспособности САУ?
   
6. 
   Какой недостаток имеет критерий устойчивости Гурвица?
   

Лекция 4. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова и Найквиста

Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости - позволяют судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик.

Принцип аргумента

Частотные критерии устойчивости основаны на следствии из принципа аргумента, который состоит в следующем:

Пусть характеристический полином имеет следующий вид:

D  a ⁿ а ^n1 ...  a

(4.1)

0 1 n

Согласно теореме Безу этот полином можно предоставить в следующем виде:

D  а₀   ₁   ₂ ...  _n ,
(4.2)

^{где }_i ^{– корни характеристического уравнения} _i  _i  j_i 

D  0.

^{На комплексной плоскости}  ^{каждый корень геометрически может быть изображен}

_i
вектором, проведенным из начала координат к точке ^_i

(рис.а). Длина этого вектора равна модулю

комплексного числа

^_i , т.е.

, а угол, образованный вектором с положительным направлением

действительной оси, - аргументу или фазе комплексного числа ^_i , т.е. Arg_i .

Dj  а₀ j  ₁ j  ₂ ...j  _n .

(4.3)

Концы элементарных векторов <sup>j  i 

  j</sup> (рис. в).

будут находиться на мнимой оси в точке

В выражении (4.3) ^Dj представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов ^{j  i } и действительного числа ^a0 .

D j  а₀

j  ₁

j  ₂ ... j  _n ,

(4.4)

а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:

ArgD j  Arg j  ₁ Arg j  ₂ ...  Arg j  _n .
(4.5)

Условимся считать вращение вектора против часовой стрелки положительным. Тогда при

изменении ^ от -  до +  каждый элементарный вектор повернется на угол  , если его

начало, т.е. корень ^i , расположен слева от мнимой оси, и на угол справа от мнимой оси (рис. 4.1).

• 
  ^ , если корень расположен
  

α

^{Предположим, что полином} D

Рисунок 4.1

имеет m правых корней и n-m левых (n-общее число

корней). Тогда при изменении ^ от  до ^{ } изменение (приращение) аргумента вектора

Dj, равное сумме углов поворота элементарных векторов j  _i , равно

ArgD( j)

  

  

  (n  m)  m   (n  2m).

(4.6)

Очевидно, что при изменении частоты  от ⁰ до +  изменение аргумента вектора

Djбудет вдвое меньше:

D  a

ⁿ  a ^n1 ...  a  0

(4.8)

1

0

n
Если подставить в полином ^Dчисто мнимое значение ^{  j} , то получим комплексный полином

D^j^  а ₀ ^j^  a ^j^  ...  a  X^^ jY^^  D^j^e , (4.9)


1


n

^{n n1} j(  )

где

X  а_n

• 
  ^an2