Пререквизиты: предшествующие

( ) ^b

p^m + b

p^m-1 + ... + b

W p = ^{0 1 m} . (2.16)


0

1

n
a pⁿ + a p^n-1 + ... + a

вида

Путем подстановки в (2.16) p = jω

формально можно получить комплексную функцию

( ) ^b

⁽ jω^)m + b ⁽ jω^)m-1 + ... + b

W jω =

0

( )ⁿ

1

_{( )}n-1

^m , (2.17)

a₀ jω

+ a₁ jω

+ ... + a_n

которая называется частотной передаточной функцией (ЧПФ).

Функцию W ⁽jω⁾ можно представить в виде

W ⁽jω⁾ = U ⁽ω⁾ + jV ⁽ω⁾ ,

где U () – вещественная часть, V () – мнимая часть ЧПФ.

Частотную передаточную функцию можно представить в полярных координатах

W ⁽ jω⁾ = A⁽ω⁾e ^jφ(ω)

(2.18)

где
A⁽ω⁾ = (2.19)

tgφ⁽ω⁾ = ^{V (ω)} ; φ⁽ω⁾ = arctg ^{V (ω)}

(2.20)

_U (_ω) _U (_ω)

A⁽ω⁾ – называется модулем частотной передаточной функции.

φ⁽ω⁾– аргументом частотной передаточной функции.

Физический смысл частотной передаточной функции заключается в следующем. Если подать на вход звена или системы (рис. 2.4) гармоническое возмущение, то после окончания переходного процесса, т.е. в установившемся режиме, на выходе звена или системы установятся также гармонические колебания с той же частотой, но с другой амплитудой и фазой (рис. 2.5).

x



W(p)


x(t) y(t)
Рисунок 2.4

y

Рисунок 2.5

x = X cosωt
y = Y cos⁽ωt + φ⁾

Отношение амплитуд выходной Y и входной X величин равно модулю

– аргументу частотной передаточной функции

A⁽ω⁾ , а сдвиг фазы

^Y = A⁽ω⁾ X

φ = φ⁽ω⁾

(2.21)

Указанные соотношения справедливы после окончания переходного процесса, т.е. частотная передаточная функция, характеризует связь между входными и выходными величинами звена или системы в установившемся периодическом режиме.

В дальнейшем для получения выражения для частотной передаточной функции такие

выкладки делать не будем, а используем подстановку p  j .

Как видно из (2.29), (2.30) соотношение между входными и выходными величинами, т.е. частотная передаточная функция, является функцией частоты ^ , при изменении частоты входного сигнала изменяется амплитуда выходного сигнала системы и его фаза.

Рисунок 2.6

По оси абсцисс откладывается вещественная часть U    Re
W ( j ) , а по оси ординат

^{мнимая часть} V   Im

W ( j) ^{. Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка.}

Полученные точки соединяются затем плавной кривой.

Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующей какой- то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и вещественной осью равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, АФЧХ дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия отношение амплитуд выходных и входных величин и сдвиг фаз между ними.

АФЧХ может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции + на - получится сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот может быть построена как зеркальное отображение относительно вещественной оси АФЧХ, построенной для положительных частот.

Положительные и отрицательные частоты имеют определенный смысл, так как функция

времени x(t) является вещественной и каждому элементарному вектору X  j e ^jt d ,

вращающемуся против часовой стрелки (>0), должен соответствовать элементарный

сопряженный вектор X  j e^{ jt} d , вращающийся по часовой стрелке (<0). В этом случае

сумма таких векторов в любой момент времени будет всегда вещественной.

Примером представления функции времени в виде суммы сопряженных векторов, вращающихся в разные стороны, может служить изображение гармонических функций по формулам Эйлера (13 а), б)).

В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот.

Вместо АФЧХ можно построить отдельно АЧХ и ФЧХ (рис. 2.7).

АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.