Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз

ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

жүктеу 1,16 Mb.

бет	6/11
Дата	09.06.2023
өлшемі	1,16 Mb.
	#42937

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

Аудиториялық жұмыстар
Үй жұмыстары
3.2 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
3.3 Жоғарғы ретті тұрақты коэффицентті біртекті сызықтық теңдеулер

3 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

3.1 Кейбір реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер

Анықтама. F(x, y, y' , y" ,...y(n) = 0 n-ші ретті дифференциалдық теңдеу немесе
y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y' , y" ,..., y⁽ⁿ⁻¹⁾ )
бас туындыға қатысты шешілген теңдеу деп аталады.
n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімдерін тек кейбір жағдайларда ғана анықтауға болады. Бұл теңдеуді мынадай үш жағдайда қарастырайық:
I. y⁽ⁿ⁾ = f (x), яғни y, y' , у" ,..., у⁽ⁿ⁻¹⁾ − қатыспаған жағдай.
Жалпы шешімі бұл теңдеуді n рет интегралдау арқылы алынады:
у⁽ⁿ^-¹⁾ = ∫ f (x)dx = f₁ (х) + C₁ ,
у⁽ⁿ^-²⁾= ∫( f₁ (х) + C₁ )dx = f ₂(х) + C₁ х + C₂ ,
у ^n-3 = ∫( f₂ (х) + C₁ х + C₂ )dx = f₃ (х) + C₁ + C₂х + C₃ ,
…………………………………………………...
у =f _n( х)
Мысалы: у ^IV = cos2 x теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Теңдеудің екі бөлігін dx-ке көбейтіп интегралдайық:
у = ∫cos ²хdx = ∫ (1+ сos2 x) dx = (х + ) + C₁
Cол əрекетті қайталап:
Жауабы: ізделінді жалпы шешім.

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімдерін табыңдар:
1) у''' = е²^х Жауабы: у=
2) у'' = хsin х Жауабы: у=
3) y'' = 3х² ; y(0) = 2, у' (0) = 1 Жауабы: 4y = x⁴ + 4х + 8
4) у'' = х + sin x Жауабы: у=
5) у'' = ln x Жауабы: у=
6) у'''= 1/x Жауабы: y=
7) у''' = cos 2x Жауабы: у=
8) у'' = 2/x³ Жауабы: у=
9) у '' = arctgx Жауабы: у= 2
10) у ''=3e ^x/2+ cos3 x Жауабы: у=
II. F(x, y⁽^к⁾, у⁽^к⁺¹⁾ ,...,у⁽ⁿ⁾ ) =0, яғни у-қатыспаған жағдай
у⁽^к⁾= z - ауыстыруы арқылы теңдеудің ретін төмендетуге болады.
у⁽^к⁺¹⁾= z'
у⁽^к⁺²⁾ = z"
.................
у⁽ⁿ⁾ = z⁽ⁿ⁻^к⁾
Мысалы: у" = у' + х теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі : у ' = z(х), y " = z ′ ауыстыруын енгізсек: z' − z = x - сызықтық теңдеу аламыз. Бұл теңдеуді шешу үшін z= uv , z'=u'v+uv' белгіленуін пайдаланатынбыз, яғни осы берілгенді сызықтық теңдеуге қоямыз:
u^/ v+ u v^/ -u v= x
u^/ v+ u(v^/ -v)= x
1) v^/ -v= 0 v^/ =v

Демек, z= uv болғандықтан, əрі z = y' екенін ескерсек:

у^/=(- хе^{- х} –е^{- х}+C₁)е^х=((- х-1) е^{- х}+C₁)е^х= - х-1+C₁ е^х

у-ті табу үшін екі бөлігін де интегралдау қажет:

у = ∫(−х −1+C₁ е^х )dx = − х²/2 − х + C₁ е^х+ C₂

Жауабы: у = − х²/2 − х + C₁ е^х+ C₂

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімдерін табыңдар:
1) xy″=y′ Жауабы: y=С₁x²+С₂
2) y″= y′/х+x Жауабы: y= +С₁х²+С₂
3) (1+x²) y″+( y′)²+1=0 Жауабы: y=(1+C₁²)ln
4) xy″= y′ln(y′/x) Жауабы: y=(C₁x-C₁²) +C₂

Үй жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы немесе дара шешімдерін табыңдар:

5)
6)
7)

9)
10)

III. f(y,y′,y′′,...,y⁽ⁿ⁾)=0 , яғни x- қатыспаған жағдай
у′=z алмастыруын енгіземіз, мұндағы z=z(y). Kелесі туындылардың табылу реті:
у′′=
, т.с.с. жалғасады.

Мысалы: ( у' )² + 2уу'' = 0 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: у' = z, y'' = z'z алмастыруын берілген теңдікке қойсақ:

ізделінді жалпы шешім.

3.2 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Анықтама: у функциясы және оның туындыларына қатысты сызықты түріндегі теңдеу біртекті емес n-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталынады.

Анықтама. Егер f(x) = 0 болса, онда

L_n(y) =

теңдеуі сызықтық біртекті дифференциалды теңдеу деп, ал егер f(x) ≠ 0 болса, онда L_n(y) = f(x) теңдеуі сызықтық біртекті емес деп, егер барлық p₀, p₁, p₂, … p_n коэффициенттері – тұрақты сандар болса, онда L_n(y) = f(x) теңдеуі жоғарғы ретті тұрақты кооэффициентті сызықтық дифференциалды теңдеу деп аталады

n-ші ретті сызықтық диффренциалдық оператордың қасиеттері.
1) L[су]=cL[y]
Мысалы: L[y]= у′′−2у′+4у берілсе,
L[сy ] = ( су ) ′′ − 2 ( су ) ′ + 4 ( су ) = с ( у ′′ − 2 у ′ + 4 у ) = с L[y ]
2) у=y₁+y₂
L[y]=L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂]- аддитивтік қасиеті.
3) С₁, С₂,...С_n- тұрақтысы берілсе, онда
Мұнда функцияның тəуелді жəне тəуелсіздігі ұғымдарына тоқтала кеткен жөн.
y₁,y₂,y₃,…,y_nфункциялар тізбегін α₁,α ₂,α₃,…, α_n сандар тізбегіне қоссақ
функциялар тізбегінің сызықтық комбинациясы алынады.

Анықтама. y₁,y₂,y₃,…,y_nфункциялары өзара сызықты тәуелді делінеді, егер олардың сызықтық комбинациясы нөлге тең: болатындай бәрі бір мезгілде 0-ге тең болмайтын α₁,α ₂,α₃,…, α_n сандары табылатын болса, керісінше жағдайда сызықты тәуелсіз делінеді.
Басқаша айтқанда, тізбектің функциясын басқалары арқылы сызықты өрнектеуге болады.
Мысалы: у₁ =Sin²x , у₂=Cos²x, у₃=а² - сызықты тәуелді функциялар.
α ₁=1, α₂ =1, α₃= -
Функцияның сызықты тəуелді, тəуелсіздігін анықтауда Вронскиан деп аталатын анықтауыш қарастырылады.

-Вронский анықтауышы (вронскиан).
(а,в) аралығында (n-1)-ші туындыларымен бірге үзіліссіз n функцияның сызықты тəуелсіздігі үшін сол функциялардың Вронский анықтауышы (Вронскиан) (а,в) –ның кез келген нүктесінде нөлден өзге болуы жеткілікті, яғни

Анықтама: Егер n-ретті сызықты біртекті теңдеудің n шешімдер жинағы (а,в) аралығында анықталған жəне сызықты тəуелсіз болса, онда олар теңдеудің фундаментальді шешімдер жүйесі деп аталады.
Мысалы: y=С₁e^3x+С₂e^-3x функциясы у′′−2у = 0 теңдеуінің жалпы шешімі болатынын көрсетіңіз.
Шешуі: y₁=С₁e^3x, y=С₂e^-3x  y₁=3С₁e^3x, y₂=-3С₂e^-3x
W( y₁, у₂) = ,
ендеше берілген функция теңдеудің жалпы шешімі.
Сызықтық біртекті дифференциалды теңдеудің шешімі:
1)Егер у₁ функциясы теңдеудің шешімі болса, онда Су₁ функциясы да шешімі болады, мұндағы С – кез келген тұрақты сан.
2) Егер у₁ және у₂ функциялары теңдеудің шешімі болса, онда у₁+у₂ функциясы да шешімі болады.
3.3 Жоғарғы ретті тұрақты коэффицентті біртекті сызықтық теңдеулер

Коэффиценттері тұрақты сан болатын теңдеулерді қарастырайық:

түрінде берілген теңдеудің шешімін (қысқаша ) түрінде іздейміз ( k - тұрақты).
болғандықтан
көпмүшесі дифференциалдық теңдеудің сипаттамалық (характеристикалық) көпмүшесі деп аталады.
функциясы берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болу үшін қажетті және жеткілікті шарттар: яғни
e^kx ≠ 0 болғандықтан - бұл теңдеу сипаттамалық (характеристикалық) теңдеу деп аталады.
сипаттамалық теңдеудің n түбірі бар. Оның әрбір k_i-ші түбіріне дифференциалдық теңдеудің шешімі сәйкес табылады.
Сипаттамалық теңдеудің шешімдеріне қатысты дифференциалдық теңдеудің келесі шешімдері алынады:

Егер k₁,k₂,...k_n– сипаттамалық теңдеу түбірлері нақты, әртүрлі сандар болса, онда біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

(*)

Егер k₁,k₂,...k_n– сипаттамалық теңдеу түбірлері нақты, әрі k₁түбірі m-еселі болса: k₁= k₂=…= k_m=k, онда (*) біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

Егер сипаттамалық теңдеу түбірлері ішінде k_1,2= комплекс (кешенді) түбірлер жұбы бар болса, онда (*) формуласының екі мүшесі келесі қосылғыштармен алмастырылады:

Егер k_1,2= комплекс түбірлер жұбы m-еселі болса, онда (*) формуласының m-мүшелер жұбы келесі қосылғыштармен алмастырылады:

Мысалы: y^IV+10y′+9y=0, y(0)=1, y′(0)=3, у′′(0)= -9, y′′(0)= -27 Коши есебін шешу керек.
Шешуі: k⁴+10k²+9=0 Егер k²=a деп белгілесек, онда k⁴=a² а²+10a+9=0
D=100-4*9=64, а_1,2=  k²= a =
 k²= -9  k_1,2= 3i=03i   =0, =3
 k²= -1  k_1,2= i=0i   =0, =1

- берілген төртінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Енді бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дара шешімін табайық.

Бастапқы шарттарды қолданамыз:
1=C₁+C₃ C₄=0
3=3C₂+C₄ C₃=0
-9=-9C₁-C₃ C₁=1
-27=-27C₂-C₄ C₂=1
Жауабы: y=cos3x+sin3x- дара шешімі.

жүктеу 1,16 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11