ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
Әдістемелік көмекші құрал
Алғы сөз
Əдістемелік көмекші құрал кредиттік технология бойынша жоғарғы оқу орнының математика, физика, информатика мамандықтары үшін, сондай-ақ экономикалық жəне техникалық мамандықтағы ішкі жəне сыртқы, сондай – ақ өздік оқу формасына даярланған.
Дифференциалдық теңдеулер тарауын жақсы игерту, оларды шешу əдістерін жетік білдіру мақсатында теориялық бөлімінен анықтамалар, теоремалар, формулалар енгізіліп, типтік тапсырмалардың шешу үлгілері талқыланады. Соңында өздік орындау жұмыстарына арналған жеке тапсырмалар нұсқалары ұсынылады. Олардың жеткілікті сан мөлшері осы əдістемелік құралды практикалық сабақтарда жаттығулар жинағы ретінде қолдануға мүмкіндік береді. Аталған мамандықтарда оқитын əрбір студент белгілі бір процестерді тану, оны игеру барысында айнымалылар арасындағы функционалдық тəуелділіктің аналитикалық мəнімен жиі кездеседі. Сондай-ақ, айнымалылар арасындағы байланысты іздеуге арналған көпшілік есептер белгісіз функциялардың туындысы немесе дифференциалы қатыстырылған теңдеулерді шешуге əкеледі.
Дифференциалдық теңдеулер тарауы туынды жəне интегралдар тарауымен тығыз байланысты болғандықтан осы тараулардың əрбір элементін жетік білу қажеттілігі туындайтынын ескерте кеткен жөн.
1. Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік.
y’ туындысы интегралдық қисыққа жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады.
Интегралдық қисықтың кез келген А(х, у) нүктесіндегі жанаманың бұрыштық коэффициентін дифференциалдық теңдеуді шешпей-ақ табуға болады.
Жанама интегралдық қисықтың бағытын көрсететін болғандықтан, f(x, y) функциясы үзіліссіз болса А нүктесін үзіліссіз жылжыта отырып, дифференциалдық теңдеуді интегралдау нәтижесінде алынатын қисықтардың бағыттар өрісін көрсетуге болады. Олар теңдеудің жалпы шешімі болады.
Анықтама. Қарастырылып отырған облыстың әрбір нүктесіндегі жанамалар жиынтығы бағыттар өрісі деп аталады.
Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, дифференциалдық теңдеуді геометриялық тұрғыдан талқылайық:
1) Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу берілді деген сөз - бағыттар өрісі берілген
2) Дифференциалдық теңдеу шешу не интегралдау дегеніміз - әрбір нүктесіндегі жанамалардың бағыты бағыттар өрісімен беттесетін барлық қисықтарды табу.
Анықтама. Бағыттар өрісінде көлбеулері бірдей қисықтар изоклиндер деп аталады.
Анықтама. Бір немесе бірнеше айнымалы функцияны, тәуелсіз айнымалыларды жəне функцияның туындыларын байланыстыратын теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Анықтама. Егер ізделінді функция тек бір ғана айнымалыдан тəуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым деп аталады.
Анықтама. Егер теңдеу бірнеше айнымалыдан тəуелді болып жəне оның осы айнымалылары бойынша алынған дербес туындылардан тұрса, онда дербес туындылы дифференциалдық теңдеу делінеді.
Біз тек қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.
Анықтама. Теңдеудің құрамындағы ең жоғарғы туындының реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.
G(x,y,y ′,y′′..., y(п)) = 0 - n-ші ретті дифференциалдық теңдеу десек,
y(п) = F(x,y,y′, y′′,y′′′,...) - бас туындыға қатысты шешілген теңдеу.
Мысалы. у′′+5xу′-x2y3= 0 – екінші ретті,
d3y/dx3–xy2 dy/dx =7 - үшінші ретті,
y′+5xy = cosx – бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
Анықтама. Дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы деп теңдеуге қойғанда оны тура теңдікке айналдыратын кез келген функциясын айтады.
Мысал 1. y=sinx функциясы y′′+y=0 теңдеуінің шешімі.
Шынында, берілген теңдеудегі у белгілі, демек у′′-ті анықтайық:
у′ =cosx , у′′= - sinx
Егер y′′, y-ті теңдікке қойсақ: -sinx + sinx =0, яғни 0=0 теңдігіне келдік, демек у= sinx берілген теңдеудің шешімі болады.
Мысал 2. y= x2(1+Ce 1/х) функциясы берілсін, мұндағы С – кез келген тұрақты сан. y функциясы х2у′+(1-2х)у= х2 - бірінші ретті дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын тексерелік.
Ол үшін берілген функцияның бірінші ретті туындысын табайық:
y′= 2x (1+С e 1/x) +x2 (0+С e 1/х(- 1/x2))=2x(1+С e 1/х)-Ce 1/х
у пен у′-ті берілген теңдіктің сол жақ бөлігіне қойсақ:
x2=x2 тепе-теңдігіне келеміз, яғни берілген функция дифференциалдық теңдеудің шешімі.
Анықтама. Дифференциалдық теңдеудің шешімін анықтау дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебі деп аталады.
Анықтама. Егер дифференциалдық теңдеудің шешімі, саны теңдеудің ретіне сəйкес келетін тəуелсіз кез келген тұрақтылардан тұрса, онда ол берілген теңдеудің жалпы шешімі деп аталады.
Мысалы, y= φ (х,С1, С2,..., Сn) n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі.
Жалпы интегралдағы С1, С2,..., Сn тұрақтыларының орнына мəндер қойып дара шешімдер алуға болады.
Мысалы, функциясы xy'' +2y' =0- екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі болатынын тексерелік.
Шешуі: y ' , y '' - терді тауып теңдікке қоялық:
, яғни теңдеуді қанағаттандырады.
Жалпы шешімдегі С1, С2 тұрақтыларға мәндер беріп, дара шешімдер алуға болады: С1=1, С2=0 болғанда ,
С1= -3, С2 =5 болғанда ,
С1=0, С2=-1 болғанда .
Анықтама. n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің - бастапқы деп аталатын шарттарды қанағаттандыратын дара шешімін табу Коши есебі (Огюстен Луи Коши (1789-1857) - француз математигі) деп аталады.
Берілген бастапқы n шартта аргументтің берілген мәніне сәйкес функциясының және оның y ' , y '' ,..., y n−1 туындыларының мәні беріледі. Сол шарттардың көмегімен тұрақтылардың сәйкес мәндері анықталады.
Достарыңызбен бөлісу: |
