Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз



жүктеу 1,16 Mb.
бет3/11
Дата09.06.2023
өлшемі1,16 Mb.
#42937
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

Аудиториялық жұмыстар
Теңдеудің түрін анықтап, жалпы шешімін (интегралын) жəне дара шешімін тап:
1) жауабы:
2) (y2 − 3x2 )dy + 2xydx = 0 ; ух=0=1 жауабы: y 2x 2 = y 3
3) y 2 + x 2 y ' = xy y ' жауабы: y = C1 e у/х
4) xdy-ydx=ydy , y(-1)=1 жауабы: x = − y(1 + lny)
5) y ' = y/х + жауабы: x= C1
6) 2 x 2 y ' = x 2 + y 2 ; ух=1=0 жауабы:
7) жауабы: х22=Су
8) xy ' − у = , ух=0=1 жауабы: х2=0 жəне х2=4-4у
9) хy ' = уln жауабы:у=хе1+Сх
10) (3у2+3ху+х2)dx=(x2+2xy)dy; ух=1=0 жауабы: (x+y)2=x3e1-x/(x+y)


Үй жұмыстары
Теңдеудің түрін анықтап, жалпы шешімін (интегралын) дара шешімін тап:

11) (x2 + y2 )dx − 2xydy = 0


12) у' = , ух=1=0
13) y xy ' = y ln x

14) 3у ' = ух=1=0


15) xydx − (x 2 + y 2)dy = 0
16) (x + 7 y)dx xdy = 0, ух=1=0
17) y 2 + x 2 y ' = xyy '
18) 8 xdy = (x + y)dx , ух=1=0
19) 2 x 3 y ' = y (2 x 2y 2 )
20) xy'= 3 , ух=1=1
21) xy '− y = xtg( y/х)





2.4 Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.

Анықтама. түріндегі дифференциалдық теңдеу у жəне оның у' туындысына қатысты сызықтық деп аталады, ал егер оң жағы Q(x) нөлге тең болса, онда сызықтық біртекті, нөлге тең болмаса, онда сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу делінеді, мұндағы - х-тан тəуелді берілген үзіліссіз функциялар.


І. Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді шешуді қарастырайық :
.




- сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.
ІІ. Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шешудің тұрақтыны вариациялау (Лагранж) әдісін қарастырайық. Ол үшін біртекті теңдеудің жалпы шешімін табамыз:



.

Енді жалпы шешімдегі тұрақты С-ны х-тің функциясы деп қарастырамыз. Сонда:



Алынған өрнекті берілген теңдеуге қоямыз:






С1(х)-ді табамыз:


Берілген теңдеуге қоя отырып: 
.
сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
Мысал 1: - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шеш.
Шешуі:

Мұндағы, - деп ұйғарамыз.




болғандықтан

- жалпы шешім.


Мысал 2: сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді шеш.
біртекті дифференциалдық теңдеуді шешейік.






Мысал 3: - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін тап.
Шешуі:

мұндағы делік.


, - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

Кейде біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеуді шешу үшін алмастыруын (Бернулли әдісін) қолданамыз, яғни шешімді белгісіз екі функцияның көбейтіндісі түрінде іздейміз. Мұнда, туындыны өрнегімен алмастырамыз.


Мысал: А(а;а) нүктесі арқылы өтетін у=у(х) қисығы үшін келесі қасиет орындалсын: егер қисықтың кез келген М(х;у) нүктесінде Оу осін С нүктесінде қиятындай жанама жүргізсе, онда ОСМВ трапециясының ауданы тұрақты және а2-қа тең. Аталған қисықтың теңдеуін жаз.



Шешуі: Sтрап= екені белгілі, мұндағы MB=y; OB=x;


OC=BM-DM=BM-CDtgDCM=y-xy/ болғандықтан, трапеция ауданының формуласынан:
а2= х(у+у-ху/) немесе
- сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу аламыз.
Оның шешімін Бернулли әдісімен табайық, яғни алмастыруын жасайық. Теңдеуге апарып қойсақ:
1)
2)
3) - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, у(а)=а болғандықтан:
- ізделінді қисықтың теңдеуі.



жүктеу 1,16 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау