Дифференциалдық теңдеулер әдістемелік көмекші құрал Алғы сөз

жүктеу 1,16 Mb.

бет	4/11
Дата	09.06.2023
өлшемі	1,16 Mb.
	#42937

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

2.6 Толық дифференциалды теңдеулер

2.5 Бернулли теңдеуі

Aнықтама. түріндегі дифференциалдық теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады, мұндағы - берілген үзіліссіз функциялар, n≠0, n≠1
Бернулли теңдеуінің сызықтық теңдеуден айырмашылығы оң жақ бөлігінде у-тің белгілі бір дəрежесі бар, шешілуі сызықтық теңдеулердегідей жүргізіледі. Шешімін табу үшін теңдеудің екі жағында -ге бөлеміз:

(1).
Алмастыру жасаймыз:

Шыққан мәнді (1) теңдікке қоямыз:
- бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу.
Шыққан теңдеуді шеше отырып z-ті табамыз, z-тің табылған мәнін жасаған алмастыруымызға қойып, Бернулли теңдеуінің шешімін табамыз.
Мысал 1: - Бернулли теңдеуін шеш.
Шешуі:

Алынған сызықтық дифференциалдық теңдеуді шешу үшін тұрақтыны вариациялау әдісін қолданамыз.

немесе
-біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу

(4)

Енді тұрақты с-ны қандайда бір х-қа тәуелді функция деп аламыз, яғни

- Бернулли теңдеуінің жалпы шешімі.

2.6 Толық дифференциалды теңдеулер
Aнықтама. Егер теңдеуі шартын қанағаттандырса, яғни теңдеудің сол жағы қайсыбір функциясының дифференциалы болса, онда ол толық дифференциалды теңдеу деп аталады.
Мысалы: Дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын тап:
Шешуі:
яғни толық дифференциалды теңдеу 
Толық дифференциал екені белгілі. Сондықтан
Олай болса немесе
- жалпы интеграл.
Егер теңдеудің сол жағы қайсыбір функциясының толық дифференциалы емес болса, яғни
онда теңдеудің барлық мүшесін оған көбейткенде толық дифференциалды теңдеуге айналатындай, функциясынын табуға болады. Сондағы алынған теңдеудің шешімі бастапқы берілген теңдеудің шешімімен бірдей болады. Бұл функциясы интегралдық көбейткіш деп аталады.

1) функциясы тек х-тен тəуелді болса, оны М(х) деп белгілесек, онда интегралдаушы көбейткіш функциясы болады.

2) функциясы тек у-тен тəуелді болса, оны М(у) деп белгілесек, онда интегралдаушы көбейткіш функциясы түрінде алынады.

Мысалы: ydx − xdy + ln хdx = 0 теңдеуінің жалпы интегралын тап.
Шешуі: (у + lnx)dx − xdy = 0 , мұндағы Р(х, y)= у + lnx , Q(х, y)= − х

, яғни
тек х-тен тəуелді, демек интегралдаушы көбейткішті өрнегімен табамыз:

(у + lnx)dx − xdy = 0

Сонымен (у + lnx)dx − dy = 0 теңдеуін алдық, мұндағы Р(х, y)= (у + lnx) , Q(х, y)= − . Енді дербес туындыларын тексерейік:

ал
, яғни

у+lnx+1=Сx - ізделінді жалпы шешім.

жүктеу 1,16 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11