Мысал. F өрісіндегі m n -өлшемді матрицалардың Fmn кеңістігін қарайық. Әрбір А матрицасына оған сәйкес аударылған АT матрицасын сәйкес қояйық: f(A) = AT. Бұл сәйкестік кеңістіктің өзіне изоморфизм болады, өйткені (А + В)T = АT + ВT және (kA)T = k(AT).
§ 9. Скаляр көбейтіндісі бар векторлық кеңістік
Мысалдар. 1. Геометриялық векторлардың V3 кеңістігін қарайық. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі олардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш арқылы анықталады: (a, b) = | a | | b | cos(a, b). Геометрия курсында (а) – (в) қасиеттернің бәрі орындалатыны дәлелденеді.
2. Нақты сандар өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық Rn кеңістігінде кез келген екі a = (1, 2,..., n) және b = (1, 2,..., n) векторға скаляр көбейтіндісі (a, b) = 11 + 22 +...+ nn деп анықталады.
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі симметриялы болатыны скаляр көбейтіндінің формуласынан көруге болады.
Екі a = (1, 2,..., n) және b = (1, 2,..., n) вектор және скаляры берілсін. Бір жағынан, (a, b) = 11 + 22 +...+ nn және (a, b) = (11) + (22) + ... + (nn). Екінші жағынан, a = (1, 2,..., n). Сондықтан (a, b) = (1)1 + (2)2 +...+ (n)n. Ал скалярларға ассоциатив заң орындалады, сондықтан (a, b) = (a, b). Сөйтіп, анықталған формулаға скаляр көбейтіндісінің (б) қасиеті орындалады.
Енді үш a = (1, 2,..., n), b = (1, 2,..., n), c = (1, 2,..., n) вектор берілсін. Онда a + b = (1, 2,..., n) + (1, 2,..., n) = (1 + 1, 2 + 2,..., n + n) және (a + b, c) = (1 + 1)1 + (2 + 2)2 +… + (n + n)n = 11 + 11 + 22 + 22 +… + nn + nn = (11 + 22 +… + nn) + (11 + 22 +… + nn) = (a, b) + (a, c). Сөйтіп, берілген формулаға скаляр көбейтіндісінің (ә) қасиеті орындалады.
Енді (a, a) = 0 болсын. Онда (a, a) = 11 + 22 +...+ nn = 12 + 22 +...+ n2 = 0. Ал нақты сандардың квадраттарының қосындысы нөлге тең болса, онда берілген барлық сандар нөлге тең болады: 1 = 0, 2 = 0, ..., n = 0. Сондықтан берілген формулаға скаляр көбейтіндісінің (в) қасиеті де орындалады.
Сөйтіп, (a, b) = 11 + 22 +...+ nn формуласы нақты сандар өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық Rn кеңістігінде өзгеше емес скаляр көбейтіндісін береді. Осы кеңістік n-өлшемді стандарт Евклид кеңістігі деп аталады.
3. R2 кеңістігінде a = (1, 2) және b = (1, 2) скаляр көбейтіндісін (a, b) = 11 – 22 деп берейік. Осы формулаға скаляр көбейтіндісінің (а) – (б) қасиеттері орындалатынын көрсетуге болады. Бірақ, a = (1, 1) векторына (a, a) скаляр квадраты нөлге тең болатынын көруге болады. Сондықтан осы формула R2 кеңістігінде ерекше скаляр көбейтіндісін береді.
4. [a, b] кесіндісіндегі үзіліссіз функциялардың C[a, b] кеңістігінде екі f және g функцияның скаляр көбейтіндісі (f, g) = деп анықталады. Скаляр көбейтіндінің (а) – (в) қасиеттері анықталған интегралдың қасиеттерінен шығады:
а) (f, g) = = = (g, f).
ә) (f + h, g) = = = + = (f , g ) + (h, g).
б) (f, g) = = = (g, f).
в) Егер (f, f) = 0, болса онда = = 0. Сондықтан кез келген x мәніне f(x) = 0, яғни f(x) нөлдік функция.
Осы кеңістік және оған ұқсас кеңістіктер функционалдық анализде толық зерттеледі. Оған қоса, мысалдың мынадай жалпылауы бар: [a, b] кесіндісіндегі үзіліссіз w(x) функциясы берілсін және 0 болсын. Онда C[a, b] кеңістігінде скаляр көбейтіндісі екі f және g функцияға (f, g) = деп беріледі. Мұндағы w(x) функциясы зілдеме функция деп аталады.
5. Алдыңғы мысалдағы сияқты нақты сандар өрісіндегі көпмүшелердің R[x] кеңістігінде скаляр көбейтіндісі екі f және g көпмүшеге 4-мысалдағыдай (f, g) = формуласымен беріледі.
Достарыңызбен бөлісу: |