Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

2. R⁴ кеңістігінің a = (3, 4, 5, 6) векторының стандарт базистегі координаталық жолын табайық.

Стандарт базисті e₁ = (1, 0, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0, 0), e₃ = (0, 0, 1, 0), e₄ = (0, 0, 0, 1) векторлары құрайды. Егер a = ₁e₁ + ₂e₂ + ₃e₃ + ₄e₄ болса, онда a = ₁(1, 0, 0, 0) + ₂(0, 1, 0, 0) + ₃(0, 0, 1, 0) + ₄(0, 0, 0, 1) = (₁, ₂, ₃, ₄). Сондықтан (₁, ₂, ₃, ₄) = (3, 4, 5, 6). Сөйтіп, a = (3, 4, 5, 6) векторының стандарт базистегі координаталық жолы дәл берілген (3, 4, 5, 6) жолы болады.

3. R³ кеңістігінің а₁ = (1, 1, 0), а₂ = (3, –3, 4), а₃ = (–2, 2, 3) векторлары барлық кеңістігінің базисін құрайтынын тексеріп, b = (7, 2, 3) векторын осы базис арқылы жіктейік.

Әуелі а₁, а₂, а₃ векторларының координаталық бағандарынан құралған матрицаның рангін іздеуге болар еді. Одан кейін b = x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ жіктеуінің белгісіз x₁, x₂, x₃ координаталарын табу керек. Бірақ, рангті іздемей коэффициенттерді тікелей іздейміз, өйткені ранг есеп шығарудың барысында табылады.

Ол үшін x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ = b теңдеуін векторлық түрде жазайық:

4. Дәрежесі n-нен аспайтын көпмүшелердің F[x]_n кеңістігінің 1, x, x²,…, xⁿ базисіндегі f = a₀ + a₁x + a₂x² +…+ a_nxⁿ көпмүшесінің координаталық жолы оның коэффициенттерінен құралады: (a₀, a₁, a₂,…, a_n).

5. R[x]₃ кеңістігінің (x – 2)³ көпмүшесінің стандарт 1, x, x², x³ базисіндегі координаталық жолын табайық.

(x – 2)³ = (–8)·1 + 12·x + (–6)·x² + 1·x³, сондықтан (x – 2)³ көпмүшесінің стандарт базисіндегі координаталық жолы (–8, 12, –6, 1) болады.

6. R[x]₃ кеңістігінің f₁ = 1, f₂ = x – 1, f₃ = (x – 1)², f₄ = (x – 1)³ көпмүшелері базис құрайтынын тексеріп, f = 1 + 2x + 4x² + 3x³ көпмүшесінің сол базистегі координаталық жолын табайық.

Әуелі f₁ = 1, f₂ = – 1 + x, f₃ = (x – 1)² = 1 – 2x + x², f₄ = (x – 1)³ = –1 + 3x – 3x² + x³ көпмүшелері сызықты тәуелсіз екенін тексерейік.

1

2

3

4

Жүйенің шешімі (10, 19, 13, 3) болады, сондықтан 1 + 2x + 4x² + 3x³ = 10·1 + 19·( x – 1) + 13·(x – 1)² + 3·(x – 1)³.

2 x ₁ + x ₂ + 7x ₃ + x ₄ = 0

–2x₁ + 2x₂ – 4x₃ + 2x₄ = 0

x₁ – 3x₂ + 0x₃ + 3x₄ = 0

жүйесіне келеміз. Ол Гаусс әдісімен шешіледі:

Осы жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін табайық. x₃ = 1 деп алса, онда x₁ = –3, x₂ = –1, x₄ = 0. Осыдан фундаментальды жүйені жалғыз a = (–3, –1, 0, 1) векторы құрайды. Жүйенің жалпы шешімі a = (–3, –, 1, 0) векторы болады, мұндағы  – кез келген скаляр.