Мысалдар. 1. R3 кеңістігінің a1 = (1, –2, 2), a2 = (–1, 4, 0), a3 = (6, –5, 1) векторларына керілген L ішкеңістігінің ортогональ базисін табайық.
r(a1, a2, a3) = 3 екенін көруге болады. Сондықтан L = R3.
b1 = a1 деп алайық. (1) және (2) формулалар бойынша b2 = 1b2 + a2, 1 = – , (b1, b1) = 9, (a2, b1) = –9. Сондықтан 1 = 1, b2 = b1 + a2 = (0, 2, 2).
Енді b3 = 1b1 + 2b2 + a3, i = – , i = 1, 2. (a3, b1) = 18, 1 = –2, (b2, b2) = 8, (a3, b2) = –8, 2 = 1. Осыдан b3 = (–2)b1 + 1 b2 + a3 = (–2)(1, –2, 2) + (0, 2, 2) + (6, –5, 1) = (4, 1, –1).
Сөйтіп, L ішкеңістігінің ортогональ базисін b1 = (1, –2, 2), b2 = (0, 2, 2), b3 = (4, 1, –1) векторлары құрайды.
2. Көпмүшелердің C[–1, 1] кеңістігінеің f0 = 1, f1 = x, f2 = x2, f3 = x3 векторларына тартылған L = L(1, x, x2, x3) ішкеңістігінің ортогональ базисін табайық.
g0 = f0 = 1 деп аламыз.
g1 = 0 g0 + f1 = 11 + x =, (f0, f0) = = 2, (f1, f0) = (x, 1) = = 0, 1 = 0. Сондықтан g1 = f1 = x.
g2 = 0g0 + 1g1 + f2 = 01 + 1x + x2, (f2, g0) = = , 0 = –, (g1, g1) = = , (f2, g1) = = 0, 1 = 0. Осыдан g2 = g0 + 0 g1 + f2 = + x2.
g3 = 0 g0 + 1 g1 + 2 g2 + f3, (f3, g0) = = 0, 0 = 0, (f3, g1) = = , 1 = , (f3, g2) = = 0, 2 = 0. Осыдан g3 = 01 – x + 0 x2 + x3 = x + x3. Сөйтіп L = L(1, x, x2, x3) ішкеңістігінің ортогональ базисін g0 = 1, g1 = x, g2 = x2 – , g3 = x3 – x векторлары құрайды.
3. n-өлшемді арифметикалық векторлық Rn кеңістігінде ортогональ базисін басқа әдіспен табуға болады. Оны R3 кеңістігінің мысалдағы b1 = (1, –2, 2) векторынан бастайық.
Егер x = (x1, x2, x3) векторы b1 векторына ортогональ болса, онда (b1, x) = 0 немесе 1 x1 –2 x2 + 2 x3 = 0. Сондықтан x векторы x1 – 2x2 + 2x3 = 0 жүйесінің шешімі табылады. Осы жүйенің бір шешімі b2 = (2, 1, 0) векторы болады.
Енді b1, b2 векторларына ортогональ x = (x1, x2, x2) векторы ізделінеді. Онда (b1, x) = 0, (b1, x) = 0 шарттары орындалу тиісті. Шарттарды координаталық түрде жазайық: 1 x1 + (–2) x2 + 2 x3 = 0, 2 x1 + 1 x2 + 0 x3 = 0. Сондықтан x векторы x1 – 2x2 + 2x3 = 0, 2x1 + x2 = 0 жүйесінің нөлден өзгеше шешімі болады. Оның бір шешімі b3= (–4, –1, 1) болады. Сондықтан R3 кеңістігінің ортогональ базисін b1 = (1, –2, 2), b2 = (2, 1, 0), b3 = (–4, –1, 1) векторлары құрайды.
§ 10. Ішкеңістіктің ортогональ толықтауышы
§ 11. Евклид кеңістіктері
Достарыңызбен бөлісу: |