§21. Тұрақты коэффициенттері бар n-ретті СБД

162
шешімдері 
k
k
k
1
2
3
1,
1,
2.
= −
=
=
 Демек берілген теңдеудің жал-
пы шешімі 
x
x
x
у С e
С e
С e
2
1
2
3
−
=
+
+
.
2
-
жағдай
. Характеристикалық теңдеу
 
түбірлерінің барлығы 
нақты болғанымен, арасында қарапайым еместері де бар (
т 
> 1 
еселігі бар түбірлер кездеседі). Онда əрбір қарапайым 
k
 түбіріне 
kx
e
 түріндегі дербес шешім сəйкес келсе, əрбір 
т 
> 1 еселігі бар 
k
 түбіріне
kx
kx
kx
т
kx
e
хe
х e
х
e
2
1
,
,
, ... ,
−
түріндегі, жалпы саны 
т 
болатын дербес шешім сəйкес келеді.
2-мысал
. 
IV
у
у
у
y
у
3
5
2
0
− ′′′ −
′′ +
′ −
=
 
теңдеуінің жалпы 
шешімін табу талап етіледі.
Шешімі
.
 
(
)(
)
k
k
k
k
k
k
3
4
3
2
3
5
2
2
1
0
−
−
+
− =
+
−
=
 харак-
терис тикалық теңдеуінің түбірлері 
k
k
k
k
1
2
3
4
2,
1,
1,
1.
= −
=
=
=
 
Демек берілген теңдеудің жалпы шешімі 
x
x
x
x
у С e
С e
С xe
С x e
2
2
1
2
3
4
−
=
+
+
+
.
3-жағдай
. (4.111) теңдеуінің түбірлері арасында комплекс-
түйіндестері бар. Онда қарапайым комплекс-түйіндес 
i
α β
±
 
түбірлері жұбына 
x
e
x
cos
α
β
 жəне 
x
e
x
sin
α
β
 дербес шешімдер 
жұбы сəйкес келіп, əрбір 
т 
> 1 еселігі бар 
i
α β
±
 түбірлер жұбына 
x
e
x
cos
α
β
,
x
хe
x
cos
α
β
, ... , 
т
x
х
e
x
1
cos
α
β
−
,
x
e
x
sin
α
β
,
x
хe
x
sin
α
β
, ... , 
т
x
х
e
x
1
sin
α
β
−
түріндегі, жалпы саны 2
т 
болатын дербес шешімдер сəйкес 
келеді. Осы шешімдер іргелі шешімдер жүйесін құрайтыны 
белгілі.
3-мысал
. 
V
IV
у
у
у
у
y
у
2
2
0
+
+
′′′ +
′′ + ′ + =
 
теңдеуін шешу та-
лап етіледі.
Шешімі
. 
Характеристикалық теңдеу 
(
)
(
)
k
k
k
k
k
k
k
k
5
4
3
2
4
2
2
2
1
1
2
1
0
+
+
+
+ + =
+
+
+ =

163
түрінде жазылып, 
k
k
i k
i k
i k
i
1
2
3
4
5
1,
,
,
,
= −
=
= −
=
= −
 түбір-
леріне ие болады. 
Демек теңдеудің жалпы шешімі
x
у С e
С
x С
x С х
x С х
x
1
2
3
4
5
cos
sin
cos
sin
−
=
+
+
+
+
түрінде жазылады. 
§22. Сызықтық біртектес емес дифференциалдық 
теңдеулер (СБЕДТ)
22.1. Екінші ретті сызықтық біртектес емес 
дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы
Екінші ретті сызықтық біртектес емес 
( )
( )
( )
у
а х у
а х y
f х
1
2
′′ +
′ +
=
                    (4.112)
дифференциалдық теңдеуін қарастырайық. Мұндағы 
( ) ( ) ( )
а х а х
f х
1
2
,
,
 
-
 (
a, b
) интервалында берілген үзіліссіз функ-
циялар. Сол жағы сызықтық біртектес емес (4.112) теңдеуінің сол 
жағымен беттесетін 
( )
( )
у
а х у
а х y
1
2
0
′′ +
′ +
=
                       (4.113)
теңдеуін оған сəйкес 
біртектес теңдеу
 дейді.
Теорема 4.6.
 (
СБЕД теңдеуі жалпы шешімінің құрылымы
). 
(4.112) теңдеуінің 
у
 жалпы шешімі оның кез келген 
у
*
 дербес шешімі 
мен оған сəйкес біртектес (4.113) теңдеуінің 
у С у
С у
1 1
2 2
=
+
ɶ
 жал-
пы шешімінің қосындысына тең, атап айтқанда 
у
у
у
*
=
+
ɶ
.                                 (4.114)
(4.114) функциясы (4.112) теңдеуінің шешімі болатынына көз 
жеткізейік. (4.112) теңдеуінің шешімі 
у
*
 
болып, (4.113) теңдеуінің 
шешімі 
у
ɶ
 болғандықтан, онда 
( )
( )
( )
( )
( )
у
а x у
а x у
f x
*
*
*
1
2
″
′
+
+
=
 
жəне
( )
( )( )
( )
у
а x у
а x у
1
2
0
″
′
+
+
=
ɶ
ɶ
ɶ
 
болады. Мұндай жағдайда 

164
(
)
( )
(
)
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
у
у
а x у
у
а x у
у
у
а x у
а x у
*
*
*
*
*
*
1
2
1
2
″
′
″
′
+
+
+
+
+
=
+
+
+






ɶ
ɶ
ɶ
( )
( )( )
( )
( )
( )
у
а x у
а x у
f x
f x
1
2
0
,
″
′
+
+
+
=
+ =






ɶ
ɶ
ɶ
ал мұның өзі 
у
у
*
+
ɶ
 функциясы (4.112) теңдеуінің шешімі 
екендігін білдіреді. Ал енді 
у
у
С у
С у
*
1 1
2 2
=
+
+
                         (4.115)
функциясы (4.112) теңдеуінің жалпы шешімін кескіндейтінін 
көрсетейік. Ол үшін (4.115) шешімінен 
( )
( )
у
у х
у
у х
0
0
0
0
,
=
′ = ′
                       (4.116)
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын жалғыз дербес шешімді 
айырып алуға болатынын дəлелдеген жөн. (4.115) функциясын 
дифференциалдап, (4.116) бастапқы шарттарын (4.115) функция-
сы мен оның туындысына енгізген күнде 
С С
1
2
,
 белгісізі бар
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
С у х
С у х
у
у х
С у х
С у х
у
у
х
*
1 1
0
2 2
0
0
0
*
1 1
0
2 2
0
0
0
,
+
=
−
′
′
+
′
= ′ −




теңдеулер жүйесіне келеміз, мұнда 
( )
( )
у
у х
у
у х
0
0
0
0
,
=
′ = ′
. Осы 
жүйенің анықтауышы 
х
х
0
=
 нүктесінде 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 функ-
циялары үшін алынған 
( )
W х
0
 Вронский анықтауышы болып 
табылады. 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 функциялары сызықтық тəуелсіз 
(іргелі шешімдер жүйесін түзейді), атап айтқанда 
( )
W х
0
0.
≠
 Де-
мек жүйе жалғыз шешімге ие болады: 
С
С
0
1
1
=
 жəне 
С
С
0
2
2
=
. 
( )
( )
у
у
С у х
С у х
*
0
0
1
1
2
2
=
+
+
 шешімі (4.116) бастапқы шартта-
рын қанағаттандыратын (4.112) теңдеуінің дербес шешімі болып 
табылады. Теорема дəлелденді.
22.2. Еркін тұрақтыларды вариациялау əдісі
Сызықтық біртектес емес (4.112) дифференциалдық теңдеуін 
қарастырайық. Оның жалпы шешімі (4.114) функциясы болып та-
былады, атап айтқанда 

165
у
у
у
*
=
+
ɶ
.
(4.112) теңдеуінің 
у
*
 
дербес шешімін, сəйкес біртектес (4.113) 
теңдеуінің 
у
ɶ
 жалпы шешімі белгілі болған жағдайда, еркін 
тұрақтыларды вариациялау əдісі (Лагранж əдісі) бойынша 
төмендегідей табуға болады. 
( )
( )
у С у х
С у х
1 1
2 2
=
+
ɶ
 - (4.113) тең-
деуінің жалпы шешімі болсын. Жалпы теңдеудегі 
С
1
 жəне 
С
2 
тұрақтыларын 
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у х
*
1
1
2
2
=
+
                   (4.117)
функциясы (4.112) теңдеуінің шешімі болатындай 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функцияларына алмастырамыз. Осы функцияның 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у х
С х у х
С х у х
*
1
1
1
1
2
2
2
2
′
= ′
+
′
+ ′
+
′
туындысын табамыз. 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функцияларын 
( ) ( )
( ) ( )
С х у х
С х у х
1
1
2
2
0
′
+ ′
=
                    (4.118)
болатындай аламыз. Сонда 
( )
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у х
*
1
1
2
2
,
′
=
+
′
′
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
у
С х у х
С х у
х
С х у х
С х у х
*
1
1
1
2
2
2
2
1
.
″
=
+
+
+
′
′
′′
′
′
′′
у
*
,
( )
у
*
′
 жəне 
( )
у
*
″
 өрнектерін (4.112)-ге енгізген шақта 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
С х у х
С х у
х
С х у х
С х у х
1
1
1
2
2
2
2
1
+
+
+
′
′
′′
′
′
′′
+
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
а х С х у х
С х у х
а х С х у х
С х у х
f x
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
,
′
+
′
+
+
=








немесе 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
С х у х
а х у х
а х у х
С х у х
а х у х
а х у х
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2




+
+
+
+
+
+
′′
′
′′
′




( ) ( )
( ) ( )
( )
С х у х
С х у х
f x
1
1
2
2
.
+ ′
′
+ ′
′
=
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 - (4.113) теңдеуінің шешімдері болатындық-
тан, квадрат жақшалардағы өрнектер нөлге тең, олай болса 

166
( ) ( )
( ) ( )
( )
С х у х
С х у х
f x
1
1
2
2
′
′
+ ′
′
=
                
 (4.119) 
Сонымен, 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функциялары (4.118) мен (4.119) 
теңдеулерін қамтитын 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
С х у х
С х у х
С х у х
С х у х
f x
1
1
2
2
1
1
2
2
0,
′
+ ′
=
′
′
+ ′
′
=



              (4.120)
теңдеулер жүйесін қанағаттандырғанда, (4.117) функциясы 
(4.112) теңдеуінің 
у
*
 
дербес шешімі  болады.  Жүйе  анықтауышы 
( )
( )
( )
( )
у x
у x
у x
у x
1
2
2
1
0,
≠
′
′
 өйткені  бұл  -  (4.113)  теңдеуінің  
( )
у x
1
  жəне
( )
у x
2
 дербес шешімдер іргелі жүйесіне құрылған Вронский 
анықтауышы. Сондықтан (4.120) жүйесі жалғыз 
( )
( )
С х
х
1
1
ϕ
=
′
 
жəне 
( )
( )
С х
х
2
2
ϕ
=
′
 шешіміне ие болады, мұнда 
( )
х
1
ϕ
 пен 
( )
х
2
ϕ
 - 
кейбір 
х-
ке тəуелді функциялар. Осы функцияларды интегралдап, 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
 функцияларын табамыз, ал одан соң (4.117) 
формуласы бойынша (4.112) теңдеуінің дербес шешімін құрамыз.
Мысал
. 
у
у
x
1
cos
′′ + =
 теңдеуінің жалпы шешімін табу талап 
етіледі.
Шешімі.
 
Сəйкес 
у
у
0
′′ + =
 біртектес теңдеуінің 
у
ɶ
 жал-
пы шешімін табамыз. 
0
1
2
=
+
k
 теңдеуінен 
k
i k
i
1
2
,
.
=
= −
 
Демек 
у С
x С
x
1
2
cos
sin .
=
+
ɶ
 Енді бастапқы теңдеудің 
у
*
 
дер-
бес шешімін табамыз. Ол (4.117) түрінде іздестіріледі: 
( )
( )
у
С х
x С х
x
*
1
2
cos
sin .
=
+
 
( )
С х
1
 жəне 
( )
С х
2
-ті табу үшін 
(4.120) түріндегідей 
( )
( )
( )
C
x
x C
x
x
C
x
x
C
x
x
x
1
2
1
2
cos
sin
0
1
( sin )
( )cos
cos

+
=
′
′


−
+
=
′
′

жүйесін құрамыз жəне оны шешеміз:
x
x
x
x
x
tgx
x
x
x
x
2
2
1
0
sin
cos
sin
cos
sin
1,
,
1
sin
cos
cos
cos
∆ =
=
+
=
∆ =
= −
−

167
x
x
tgx
x
x
x
x
2
1
cos
0
0
sin
1,
,
1
1
sin
cos
cos
cos
∆ =
=
∆ =
= −
−
( )
( ) (
)
С х
tgx
С х
tgx dx
x
1
1
1
ln cos ;
∆
=
= −
⇒
= −
=
′
∆
∫
( )
( )
С х
С х
dx
x
2
2
2
1
1
.
∆
′
=
= ⇒
=
⋅ =
∆
∫
Берілген теңдеудің дербес шешімі 
y
x
x x
x
*
ln cos cos
sin
=
+
түрінде жазылады. Демек берілген теңдеудін жалпы шешімі 
(
)
у
у y
С
x С
x
x
x x
x
*
1
2
cos
sin
ln cos cos
sin
=
+
=
+
+
+
ɶ
түріне келеді. СБЕД теңдеулерінің дербес шешімдерін іздеп табу-
да келесі теорема пайдалы болуы мүмкін.
Теорема 4.7.
 (шешімдердің қабаттасуы жөнінде). Егер 
(4.112) теңдеуінің оң жағы екі функцияның қосындысы түрінде 
кескінделсе, атап айтқанда 
( )
( )
( )
f x
f x
f x
1
2
=
+
 болса, ал 
y
*
1
 жəне 
y
*
2
 функциялары сəйкесінше 
( )
( )
( )
у
а х у
а х y
f х
1
2
1
′′ +
′ +
=
 жəне 
( )
( )
( )
у
а х у
а х y
f х
1
2
2
′′ +
′ +
=
 теңдеулерінің дербес шешімдері 
болса, онда 
y
y
y
*
*
*
1
2
=
+
 функциясы берілген теңдеудің шешімі 
болып табылады. Расында, 
(
)
( )
(
)
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
y
y
а х y
y
а х y
y
y
а х y
а х y
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
″
′
″
′
+
+
+
+
+
=
+
+
+






( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
y
а х y
а х y
f х
f х
f х
*
*
*
2
1
2
2
2
1
2
″
′
+
+
+
=
+
=






.

168

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: