Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет41/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   ...   37   38   39   40   41   42   43   44   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

§19. 
п-
ретті сызықтық біртектес дифференциалдық 
теңдеулер
Табылған нəтижелерді
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
n
n
n
n
n
у
а х у
а х у
а
х y
а х y
1
2
1
2
1
...
0



+
+
+ +
′ +
=
  (4.104)
түрінде кескінделген 
п-
ретті сызықтық біртектес дифферен циал-
дық теңдеулерге пайдалануға болады.
1. Егер 
( )
у
у x
1
1
=

( )
у
у x
2
2
=
, ... ,
( )
п
п
у
у x
=
 функция-
лары (4.104) теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда 
п п
у С у
С у
С у
1 1
2 2
...
=
+
+ +
 функциясы да оның шешімі болады.
2. 
п п
у
у
у
1 1
2 2
...
0
α
α
α
+
+ +
=
 теңдігі тек барлық 
(
)
i
i
n
0
1,2,...,
α
=
=
 болғанда ғана орындалса, 
y
1

y
2
, ..., 
y
n
 функ-
циялары (
a, b
) интервалында 
сызықтық тəуелсіз
, ал қарсы 
жағдайда (егер 
α
i
 сандарының, ең болмағанда, біреуі нөлден 
өзгеше болғанда) 
y
1

y
2
, ..., 
y
n
 
функциялары 
сызықтық тəуелді
 
деп аталады.
3. Вронский анықтауышының түрі
( )
( )
( )
( )
п
п
п
п
п
п
у
у
у
у
у
у
W x
у
у
у
1
2
1
2
1
1
1
1
2
...
...
...
...
...
...
...






=
4. Егер (
a, b
) интервалының барлық нүктелері үшін 
( )
W х
0

 
болса, онда (4.104) теңдеуінің 
y
1

y
2
, ..., 
y
n
 дербес шешімдері (
a, b

де іргелі шешімдер жүйесін құрайды.
5. (4.104) СБД теңдеуінің  жалпы шешімі 
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+...+ C
n
y
n
 
түрінде кескінделеді, мұнда 
(
)
i
С
i
n
1,2,...,
=
 еркін тұрақтылар, 
y
i
 - 
(4.104) теңдеуінің іргелі шешімдер жүйесін (ІШЖ) құрайтын дер-
бес шешімдері.


157
Мысал

x
x
x
у
e у
х e у
х e
2
1
2
3
,
,
=
= ⋅
=

 
функциялары кейбір 
үшінші ретті СБДТ-нің ІШЖ-сін құрайтынын көрсетіп, сол 
теңдеуді жазу талап етіледі.
Шешімі

( )
W х
-
ті
 
есептеп табамыз: 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
х e
х e
х
х
W x
e
х
e
х
х e
e
х
х
х
х
х
х
e
х
e
х
х
e
2
2
2
3
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
4
2
2
4
2


=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
(
)
x
x
x
х
х
e
х
e
х
х
e
х
2
3
3
3
1
0 1
2
4
2 4
2
0 2 4
2
=
=

+ −
=
+
.
Барлық 
х R

 үшін 
( )
W х
0

 болатыны айқын. Демек берілген 
функциялар үшінші ретті СБДТ-нің ІШЖ-сін құрайды. Үшінші 
ретті СБДТ-нің жалпы түрі 
( )
( )
( )
у
а х у
а х у
а х y
1
2
3
0.
′′′ +
′′ +
′ +
=
Осы теңдеуге 
у
1

у
2

у
3
 функцияларын енгізіп, 
( ) ( ) ( )
а х а х а х
1
2
3
,
,
 функцияларына қатысты үш теңдеу жүйесін 
шығарып аламыз. Оны шешкен күнде 
у
у
у
y
3
3
0
′′′ −
′′ +
′ − =
 
теңдеуіне келеміз; оның жалпы шешімі 
x
x
x
у С e
С х e
С х e
2
1
2
3
.
=
+

+

§20. Тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті 
дифференциалдық теңдеулерді интегралдау
Жоғарыда қарастырылған СБДТ-нің дербес жағдайы ретінде 
тұрақты 
коэффициенттері бар сызықтық біртектес диф фе-
ренциалдық теңдеулер
 танылады. Екінші ретті 
у
рy

0
′′ +
′ +
=
                              (
4.105
)
СБДТ-і берілсін, мұнда
 р 
жəне 
q
 – тұрақтылар.
(4.105) теңдеуінің жалпы шешімін табу үшін іргелі шешім-


158
дер жүйесін құрайтын оның екі дербес шешімін табу жеткілікті 
(4.5-теореманы қараңыз). (4.105) теңдеуінің дербес шешімдерін 
Л. Эйлердің ұсынуынша,
kx
у
e
=
түрінде іздестіреміз, мұнда 
k -
 кейбір сан. Осы функцияны екі 
рет дифференциалдап, 
у y у
,
,
′ ′′
 өрнектерін (4.105) теңдеуіне 
енгізгеннен соң 
kx
kx
kx
k e
p ke
q e
2
0,

+ ⋅
+ ⋅
=
 атап айтқанда 
(
)
kx
e
k
p k q
2
0,
+ ⋅ +
=
 
немесе 
(
)
kx
k
p k q
e
2
0,
0
+ ⋅ + =

  
 
 
 
 
 
 
 
            (4.106)
теңдеуін шығарып аламыз. (4.106) теңдеуін (4.105) диффе-
ренциалдық теңдеуінің 
характеристикалық теңдеуі
 
дейді 
(оны құру үшін (4.105) теңдеуінде 
у y
,
′′ ′
 жəне 
y
-ті сəйкесінше
 
k k
2
,
 жəне 1-мен алмастыру  жеткілікті). (4.106) характеристи ка-
лық теңдеуін шешкенде үш жағдай кездесуі мүмкін.
1-жағдай
. (4.106)
 
теңдеуінің түбірлері əртүрлі жəне нақты:
p
k
k D
q
2
1
2
0 .
4

=
− >






 Осы жағдайда (4.105) теңдеуінің дербес 
шешімдері 
k x
у
e
1
1
=
 жəне 
k x
у
e
2
2
=
 функциялары болып табыла-
ды.
Олар іргелі шешімдер жүйесін құрайды (сызықтық тəуелсіз), 
өйткені олар түзейтін вронскиан 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
k x
k x
k k x
k k x
k k x
k x
k x
e
e
W x
k e
k e
e
k
k
k e
k e
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
0.
+
+
+
=
=

=


Демек (4.105) теңдеуінің жалпы шешімі (4.102) формуласына 
сəйкес 
k x
k x
у С e
С e
1
2
1
2
=
+
                            
 (4.107)
түрінде жазылады.
1-мысал

у
y
у
5
6
0
′′ −
′ +
=
 
теңдеуін шешу талап етіледі.
Шешімі.
 
k
k
2
5
6 0

+ =
 
характеристикалық теңдеуі бойын-


159
ша оның 
k
k
1
2
2,
3
=
=
 түбірлерін табамыз. Олай болса теңдеудің 
жалпы шешімі (4.107) формуласына сəйкес 
x
x
у С e
С e
2
3
1
2
=
+
 
(
С С
1
2
,
 - еркін тұрақтылар) түріне келеді.
2-мысал
. (4.106) характеристикалық теңдеуінің түбірлері 
нақты жəне бір-біріне тең: 
p
р
k
k D
q
k
k
2
1
2
1
2
0,
.
4
2
=
=
− =
=
= −






 
Осы жағдайда бір 
k x
у
e
1
1
=
 дербес шешіміне ие боламыз. Айта 
кету керек, 
у
1
 функциясымен бірге 
k x
у
хe
1
2
=
 функциясы да 
(4.105) теңдеуінің шешімі болады екен. Расында, 
у
2
 функциясын 
(4.105) теңдеуіне енгізейік. Сонда 
( )
( ) ( ) (
)
k x
k x
k x
k x
k x
у
ру

хe
p хe
q хe
k e
хk e
1
1
1
1
1
//
/
//
/
2
2
2
2
1
1
2
+
+
=
+
+
=
+
+
(
) ( )
(
)
(
)
k x
k x
k x
k x
р e
хk e
q хe
e
x k
p k
q
p
k
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
+
+
+
=
+ ⋅ +
+
+




.
Мұнда 
1
k
 (4.106) теңдеуінің түбірі болғандықтан 
k
p k
q
2
1
1
0
+ ⋅ + =
, ал шарт бойынша 
р
k
k
1
2
2
=
= −
 болса, 
p
k
1
2
0
+
=
. Сондықтан 
у
ру

//
/
2
2
2
0
+
+
=
, атап айтқанда 
k x
у
хe
1
2
=
 функциясы (4.105) теңдеуінің шешімі болатынын 
көріп отырмыз. 
k x
у
e
1
1
=
 жəне 
k x
у
хe
1
2
=
 дербес шешімдері 
іргелі шешімдер жүйесін құрайды: 
( )
k x
W x
e
1
2
0.
=

 Демек осы 
жағдайда СБД (4.105) теңдеуінің жалпы шешімі 
k x
k x
у С e
С хe
1
1
1
2
=
+
                             (4.108)
түріне ие болады.
3
-
жағдай
.
 (4.106) теңдеуінің 
1
k
 жəне 
2
k
 түбірлері - ком-
плексті: 
p
р
p
k
i k
i D
q
q
2
2
1
2
,
,
0,
,
0 .
4
2
4
α β
α β
α
β
= +
= −
=
− <
= −
=

>






Осы жағдайда (4.105) теңдеуінің дербес шешімдері болып 
(
)
i x
у
e
1
α β
+
=
 жəне 
(
)
i x
у
e
2
α β

=
 функциялары алынады. Эйлердің 
(ІІІ тарау)


160
i
e
i
cos
sin ,
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
i
e
i
cos
sin
ϕ
ϕ
ϕ

=

формулалары бойынша 
x
ix
x
x
у
e
e
e
x ie
x
1
cos
sin
,
α
β
α
α
β
β
=

=
+
x
ix
x
x
у
e
e
e
x ie
x
2
cos
sin
.
α
β
α
α
β
β

=

=

(4.105) теңдеуінің екі нақты дербес шешімін табайық. Ол үшін 
у
1
 жəне 
у
2
 шешімдерінің 
x
у
у
e
x
у
1
2
1
cos
2
α
β
+
=
=
ɶ
 жəне 
x
у
у
e
x
у
1
2
2
sin
2
α
β

=
=
ɶ
сызықтық комбинацияларын құрамыз. 
у
1
ɶ
 жəне 
у
2
ɶ
 функцияла-
ры (4.105) теңдеуінің шешімі болатыны екінші ретті сызықтық 
біртектес дифференциалдық теңдеулер шешімдері қасиеттерінен 
туындайды (4.2-теореманы қараңыз). Осы 
у
1
ɶ
 жəне 
у
2
ɶ
 шешімдері 
( )
0

x
W
 болуы себепті іргелі шешімдер жүйесін түзейді (өз 
бетіңізбен көз жеткізіңіз).
Сондықтан (4.105) теңдеуінің жалпы шешімі 
x
x
у С e
x С e
x
1
2
cos
sin
α
α
β
β
=
+
 
немесе
(
)
x
у
e
С
x С
x
1
2
cos
sin
α
β
β
=
+
                        
(4.109)
түрінде жазылады. 
2-мысал

у
y
у
6
25
0
′′ −
′ +
=
 
теңдеуін шешу талап етіледі.
Шешімі
.
 
k
k
2
6
25 0

+
=
 теңдеуін шешкеннен 
k

= 3 + 4
i

k

= 3 – 4
i
 түбірлері шығады. (4.109) формуласы бойынша тең-
деудің жалпы шешімін 
(
)
x
у
e
С
x С
x
3
1
2
cos 4
sin 4
=
+
 түрінде шы-
ғарып аламыз. 
Сонымен, тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті СБД 
(4.105) теңдеуінің жалпы шешімін табу интегралдарды есептемей-
ақ, (4.106) характеристикалық теңдеуінің түбірлерін табуға жəне 
(4.107) – (4.109) түріндегі теңдеудің жалпы шешімі формулала-
рын пайдалануға келтіріледі.


161

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   37   38   39   40   41   42   43   44   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау