§19.
п-
ретті сызықтық біртектес дифференциалдық
теңдеулер
Табылған нəтижелерді
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
n
n
n
n
n
у
а х у
а х у
а
х y
а х y
1
2
1
2
1
...
0
−
−
−
+
+
+ +
′ +
=
(4.104)
түрінде кескінделген
п-
ретті сызықтық біртектес дифферен циал-
дық теңдеулерге пайдалануға болады.
1. Егер
( )
у
у x
1
1
=
,
( )
у
у x
2
2
=
, ... ,
( )
п
п
у
у x
=
функция-
лары (4.104) теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда
п п
у С у
С у
С у
1 1
2 2
...
=
+
+ +
функциясы да оның шешімі болады.
2.
п п
у
у
у
1 1
2 2
...
0
α
α
α
+
+ +
=
теңдігі тек барлық
(
)
i
i
n
0
1,2,...,
α
=
=
болғанда ғана орындалса,
y
1
,
y
2
, ...,
y
n
функ-
циялары (
a, b
) интервалында
сызықтық тəуелсіз
, ал қарсы
жағдайда (егер
α
i
сандарының, ең болмағанда, біреуі нөлден
өзгеше болғанда)
y
1
,
y
2
, ...,
y
n
функциялары
сызықтық тəуелді
деп аталады.
3. Вронский анықтауышының түрі
( )
( )
( )
( )
п
п
п
п
п
п
у
у
у
у
у
у
W x
у
у
у
1
2
1
2
1
1
1
1
2
...
...
...
...
...
...
...
−
−
−
′
′
′
=
4. Егер (
a, b
) интервалының барлық нүктелері үшін
( )
W х
0
≠
болса, онда (4.104) теңдеуінің
y
1
,
y
2
, ...,
y
n
дербес шешімдері (
a, b
)
де іргелі шешімдер жүйесін құрайды.
5. (4.104) СБД теңдеуінің жалпы шешімі
y=C
1
y
1
+C
2
y
2
+...+ C
n
y
n
түрінде кескінделеді, мұнда
(
)
i
С
i
n
1,2,...,
=
еркін тұрақтылар,
y
i
-
(4.104) теңдеуінің іргелі шешімдер жүйесін (ІШЖ) құрайтын дер-
бес шешімдері.
157
Мысал
.
x
x
x
у
e у
х e у
х e
2
1
2
3
,
,
=
= ⋅
=
⋅
функциялары кейбір
үшінші ретті СБДТ-нің ІШЖ-сін құрайтынын көрсетіп, сол
теңдеуді жазу талап етіледі.
Шешімі
.
( )
W х
-
ті
есептеп табамыз:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
х e
х e
х
х
W x
e
х
e
х
х e
e
х
х
х
х
х
х
e
х
e
х
х
e
2
2
2
3
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
4
2
2
4
2
⋅
⋅
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
(
)
x
x
x
х
х
e
х
e
х
х
e
х
2
3
3
3
1
0 1
2
4
2 4
2
0 2 4
2
=
=
⋅
+ −
=
+
.
Барлық
х R
∈
үшін
( )
W х
0
≠
болатыны айқын. Демек берілген
функциялар үшінші ретті СБДТ-нің ІШЖ-сін құрайды. Үшінші
ретті СБДТ-нің жалпы түрі
( )
( )
( )
у
а х у
а х у
а х y
1
2
3
0.
′′′ +
′′ +
′ +
=
Осы теңдеуге
у
1
,
у
2
,
у
3
функцияларын енгізіп,
( ) ( ) ( )
а х а х а х
1
2
3
,
,
функцияларына қатысты үш теңдеу жүйесін
шығарып аламыз. Оны шешкен күнде
у
у
у
y
3
3
0
′′′ −
′′ +
′ − =
теңдеуіне келеміз; оның жалпы шешімі
x
x
x
у С e
С х e
С х e
2
1
2
3
.
=
+
⋅
+
⋅
§20. Тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті
дифференциалдық теңдеулерді интегралдау
Жоғарыда қарастырылған СБДТ-нің дербес жағдайы ретінде
тұрақты
коэффициенттері бар сызықтық біртектес диф фе-
ренциалдық теңдеулер
танылады. Екінші ретті
у
рy
qу
0
′′ +
′ +
=
(
4.105
)
СБДТ-і берілсін, мұнда
р
жəне
q
– тұрақтылар.
(4.105) теңдеуінің жалпы шешімін табу үшін іргелі шешім-
158
дер жүйесін құрайтын оның екі дербес шешімін табу жеткілікті
(4.5-теореманы қараңыз). (4.105) теңдеуінің дербес шешімдерін
Л. Эйлердің ұсынуынша,
kx
у
e
=
түрінде іздестіреміз, мұнда
k -
кейбір сан. Осы функцияны екі
рет дифференциалдап,
у y у
,
,
′ ′′
өрнектерін (4.105) теңдеуіне
енгізгеннен соң
kx
kx
kx
k e
p ke
q e
2
0,
⋅
+ ⋅
+ ⋅
=
атап айтқанда
(
)
kx
e
k
p k q
2
0,
+ ⋅ +
=
немесе
(
)
kx
k
p k q
e
2
0,
0
+ ⋅ + =
≠
(4.106)
теңдеуін шығарып аламыз. (4.106) теңдеуін (4.105) диффе-
ренциалдық теңдеуінің
характеристикалық теңдеуі
дейді
(оны құру үшін (4.105) теңдеуінде
у y
,
′′ ′
жəне
y
-ті сəйкесінше
k k
2
,
жəне 1-мен алмастыру жеткілікті). (4.106) характеристи ка-
лық теңдеуін шешкенде үш жағдай кездесуі мүмкін.
1-жағдай
. (4.106)
теңдеуінің түбірлері əртүрлі жəне нақты:
p
k
k D
q
2
1
2
0 .
4
≠
=
− >
Осы жағдайда (4.105) теңдеуінің дербес
шешімдері
k x
у
e
1
1
=
жəне
k x
у
e
2
2
=
функциялары болып табыла-
ды.
Олар іргелі шешімдер жүйесін құрайды (сызықтық тəуелсіз),
өйткені олар түзейтін вронскиан
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
k x
k x
k k x
k k x
k k x
k x
k x
e
e
W x
k e
k e
e
k
k
k e
k e
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
0.
+
+
+
=
=
−
=
−
≠
Демек (4.105) теңдеуінің жалпы шешімі (4.102) формуласына
сəйкес
k x
k x
у С e
С e
1
2
1
2
=
+
(4.107)
түрінде жазылады.
1-мысал
.
у
y
у
5
6
0
′′ −
′ +
=
теңдеуін шешу талап етіледі.
Шешімі.
k
k
2
5
6 0
−
+ =
характеристикалық теңдеуі бойын-
159
ша оның
k
k
1
2
2,
3
=
=
түбірлерін табамыз. Олай болса теңдеудің
жалпы шешімі (4.107) формуласына сəйкес
x
x
у С e
С e
2
3
1
2
=
+
(
С С
1
2
,
- еркін тұрақтылар) түріне келеді.
2-мысал
. (4.106) характеристикалық теңдеуінің түбірлері
нақты жəне бір-біріне тең:
p
р
k
k D
q
k
k
2
1
2
1
2
0,
.
4
2
=
=
− =
=
= −
Осы жағдайда бір
k x
у
e
1
1
=
дербес шешіміне ие боламыз. Айта
кету керек,
у
1
функциясымен бірге
k x
у
хe
1
2
=
функциясы да
(4.105) теңдеуінің шешімі болады екен. Расында,
у
2
функциясын
(4.105) теңдеуіне енгізейік. Сонда
( )
( ) ( ) (
)
k x
k x
k x
k x
k x
у
ру
qу
хe
p хe
q хe
k e
хk e
1
1
1
1
1
//
/
//
/
2
2
2
2
1
1
2
+
+
=
+
+
=
+
+
(
) ( )
(
)
(
)
k x
k x
k x
k x
р e
хk e
q хe
e
x k
p k
q
p
k
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
+
+
+
=
+ ⋅ +
+
+
.
Мұнда
1
k
(4.106) теңдеуінің түбірі болғандықтан
k
p k
q
2
1
1
0
+ ⋅ + =
, ал шарт бойынша
р
k
k
1
2
2
=
= −
болса,
p
k
1
2
0
+
=
. Сондықтан
у
ру
qу
//
/
2
2
2
0
+
+
=
, атап айтқанда
k x
у
хe
1
2
=
функциясы (4.105) теңдеуінің шешімі болатынын
көріп отырмыз.
k x
у
e
1
1
=
жəне
k x
у
хe
1
2
=
дербес шешімдері
іргелі шешімдер жүйесін құрайды:
( )
k x
W x
e
1
2
0.
=
≠
Демек осы
жағдайда СБД (4.105) теңдеуінің жалпы шешімі
k x
k x
у С e
С хe
1
1
1
2
=
+
(4.108)
түріне ие болады.
3
-
жағдай
.
(4.106) теңдеуінің
1
k
жəне
2
k
түбірлері - ком-
плексті:
p
р
p
k
i k
i D
q
q
2
2
1
2
,
,
0,
,
0 .
4
2
4
α β
α β
α
β
= +
= −
=
− <
= −
=
−
>
Осы жағдайда (4.105) теңдеуінің дербес шешімдері болып
(
)
i x
у
e
1
α β
+
=
жəне
(
)
i x
у
e
2
α β
−
=
функциялары алынады. Эйлердің
(ІІІ тарау)
160
i
e
i
cos
sin ,
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
i
e
i
cos
sin
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
−
формулалары бойынша
x
ix
x
x
у
e
e
e
x ie
x
1
cos
sin
,
α
β
α
α
β
β
=
⋅
=
+
x
ix
x
x
у
e
e
e
x ie
x
2
cos
sin
.
α
β
α
α
β
β
−
=
⋅
=
−
(4.105) теңдеуінің екі нақты дербес шешімін табайық. Ол үшін
у
1
жəне
у
2
шешімдерінің
x
у
у
e
x
у
1
2
1
cos
2
α
β
+
=
=
ɶ
жəне
x
у
у
e
x
у
1
2
2
sin
2
α
β
−
=
=
ɶ
сызықтық комбинацияларын құрамыз.
у
1
ɶ
жəне
у
2
ɶ
функцияла-
ры (4.105) теңдеуінің шешімі болатыны екінші ретті сызықтық
біртектес дифференциалдық теңдеулер шешімдері қасиеттерінен
туындайды (4.2-теореманы қараңыз). Осы
у
1
ɶ
жəне
у
2
ɶ
шешімдері
( )
0
≠
x
W
болуы себепті іргелі шешімдер жүйесін түзейді (өз
бетіңізбен көз жеткізіңіз).
Сондықтан (4.105) теңдеуінің жалпы шешімі
x
x
у С e
x С e
x
1
2
cos
sin
α
α
β
β
=
+
немесе
(
)
x
у
e
С
x С
x
1
2
cos
sin
α
β
β
=
+
(4.109)
түрінде жазылады.
2-мысал
.
у
y
у
6
25
0
′′ −
′ +
=
теңдеуін шешу талап етіледі.
Шешімі
.
k
k
2
6
25 0
−
+
=
теңдеуін шешкеннен
k
1
= 3 + 4
i
,
k
2
= 3 – 4
i
түбірлері шығады. (4.109) формуласы бойынша тең-
деудің жалпы шешімін
(
)
x
у
e
С
x С
x
3
1
2
cos 4
sin 4
=
+
түрінде шы-
ғарып аламыз.
Сонымен, тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті СБД
(4.105) теңдеуінің жалпы шешімін табу интегралдарды есептемей-
ақ, (4.106) характеристикалық теңдеуінің түбірлерін табуға жəне
(4.107) – (4.109) түріндегі теңдеудің жалпы шешімі формулала-
рын пайдалануға келтіріледі.
161
Достарыңызбен бөлісу: |