§18. Екінші ретті сызықтық біртектес дифференциалдық

153
(
)
у
у
R
1 1
2 2
1
2
0,
,
α
α
α α
+
=
∈
                  (4.101)
теңдігі 
1
2
0
α
α
=
=
 болғанда жəне тек сонда ғана орындалса, 
у
1
 
жəне 
у
2
 
функциялары сол интервалда 
сызықтық тəуелсіз
 деп 
аталады. Егер 
1
α
 
немесе 
2
α
 сандарының, ең болмағанда, біреуі 
нөлден өзгеше болып, (4.101) теңдігі орындалса, онда 
у
1
 жəне 
у
2
 
функцияларын сол интервалда 
сызықтық тəуелді
 деп атайды. 
у
1
 жəне 
у
2
 
функциялары  пропорционал  болғанда  ғана  барлық
( )
х
a b
,
∈
   үшін    
у
у
1
2
λ
=
   немесе   
у
у
const
1
2
, (
)
λ
λ
=
=
    теңдігі
орындалғанда   сызықтық   тəуелді   болатыны   айқын.   Мəселен, 
x
у
e
1
3
=
   жəне   
x
у
e
2
=
   
функциялары - сызықтық   тəуелді: 
у
const
у
1
2
3
;
= =
 
у
1
    жəне    
x
у
e
2
3
=
    
функциялары  -  сызықтық 
тəуелсіз:   
x
x
x
у
e
e
const
у
e
1
2
3
3
3
;
−
=
=
≠
    
у
x
4
sin
=
    жəне   
у
x
5
cos
=
 
функциялары - сызықтық тəуелсіз: 
x
x
1
2
sin
cos
0
α
α
+
=
 теңдігі 
барлық 
x R
∈
 үшін тек 
1
2
0
α
α
=
=
 болғанда ғана орындалады. 
Олардың сызықтық тəуелсіздігі 
у
tgx
const
у
4
5
=
≠
 қатынасынан 
да байқалады. Функциялар жүйесінің сызықтық тəуелділігін 
анықтайтын құрал ретінде 
Вронский анықтауышы
 немесе 
врон-
скиан
 деп аталатын анықтауыш   алынады (Ю. Вронский – поляк 
математигі).   
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 дифференциалдамалы функцияла-
ры үшін вронскиан
( )
у
у
W x
у
у
1
2
1
2
=
′
′
түрінде кескінделеді. Келесі теоремалар орынды.

154
Теорема 4.3
.
 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 дифференциалдамалы 
функциялары (
a, b
) интервалында сызықтық тəуелді болса, онда 
осы интервалда Вронский анықтауышы нөлге тепе-тең.
Дəлелдеме.
 
у
1
 жəне 
у
2
 
функциялары сызықтық тəуелді бол-
ғандықтан, онда (4.101) теңдігінде 
1
α
немесе 
2
α
 мəні нөлден 
өзгеше. 
0
1
α
≠
 болсын, онда 
у
у
2
1
2
1
.
α
α
= −
Сондықтан (
a, b
) ин-
тервалына тиіс кез келген 
х 
үшін
( )
у
у
W x
у
у
2
2
2
1
2
2
2
1
0.
α
α
α
α
−
=
=
−
′
′
Теорема 4.4
.
 Егер 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 функциялары (
a, 
b
) интервалында (4.99) теңдеуінің сызықтық тəуелсіз шешімдері 
болса, онда Вронский анықтауышы осы интервалдың ешбір 
нүктесінде нөлге айналмайды. 
Теорема дəлелдемесін келтірмейміз. 4.3 жəне 4.4 теоремалары-
нан 
дербес шешімдер сызықтық тəуелсіз болғанда ғана Врон-
ский анықтауышы 
(
a, b
) 
интервалының бірде-бір нүктесінде
 
нөлге
 
тең болмайды.
Анықтама
. Екінші ретті сызықтық біртектес дифферен-
циалдық теңдеуінің (
a, b
) интервалындағы 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 
дербес шешімдер жиынтығы осы теңдеудің 
іргелі шешімдер 
жүйесін
 анықтайды: кез келген шешім 
( )
( )
у
у x
у x
1 1
2 2
α
α
=
+
 
комбинациясы түрінде кескінделеді. 
1-мысал
.
 
у
x
1
sin
=
 жəне 
у
x
2
cos
=
; 
у
x
3
2sin
=
 жəне 
у
x
4
5cos
=
 (олар шексіз көп) дербес шешімдері 
у
у
0
′′ + =
 
теңдеуінің іргелі шешімдер жүйесін құрайды; 
у
5
0
=
 жəне 
у
x
6
cos
=
 дербес шешімдері  құрамайды. Енді қандай шарт орын-
далғанда (4.100) функциясы (4.99) теңдеуінің жалпы шешімі бо-
латынын нақтылап айтуымызға болады.
Теорема 4.5
.
  (
Екінші ретті сызықтық біртектес диффе-
ренциалдық теңдеуі жалпы шешімінің құрылымы
). Егер екінші 

155
ретті сызықтық біртектес дифференциалдық (4.99) теңдеуінің 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 қос дербес шешімі (
a, b
) интервалын-
да іргелі шешімдер жүйесін құрайтын болса, онда осы теңдеудің 
жалпы шешімі
у С у
С у
1 1
2 2
=
+
   (
С С
1
2
,
 - еркін тұрақтылар)         (4.102)
функциясы болып табылады.
Дəлелдеме
. 
4.2-теоремаға сəйкес (4.102) функциясы (4.99) 
теңдеуінің шешімі болып табылады. Осы шешімнің жалпы 
екенін, атап айтқанда оның тарапынан берілген 
х х
у
у
0
0
=
=
, 
х х
у
у
0
0
,
=
′
= ′
 
( )
х
a b
0
,
∈
              (4.103)
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын жалғыз дербес шешімді 
айырып алуға болатынын дəлелдеу ғана қалып отыр. (4.103) 
бастапқы шарттарын (4.100) шешіміне енгізгеннен соң, 
C
1
 
жəне 
C
2
 белгісізі бар
( )
( )
( )
( )
у
С у х
С у х
у
С у х
С у х
0
1 1
0
2 2
0
0
1 1
0
2 2
0
,
=
+
′ =
′
+
′



теңдеулер жүйесіне келеміз, мұнда 
( )
( )
у
у х
у
у х
0
0
0
0
,
=
′ = ′
. Осы 
жүйенің 
( )
( )
( )
( )
( )
у х
у х
W х
у х
у х
1
0
2
0
0
1
0
2
0
=
′
′
анықтауышы 
х
х
0
=
 болғандағы 
( )
W x
 вронскиан мəніне тең. 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 шешімдері (
a, b
) интервалында іргелі шешімдер 
жүйесін құрайтындықтан, онда 4.4 теоремасына сəйкес 
( )
W х
0
0.
≠
 
Сондықтан теңдеулер жүйесі 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
у
у х
у х
у
С
С
С
С
у
у х
у х
у
W х
W х
0
2
0
1
0
0
0
0
1
1
2
2
0
2
0
1
0
0
0
0
1
1
;
=
=
=
=
′
′
′
′
жалғыз шешіміне ие болады. 
( )
( )
у С у x
С у x
0
0
1
1
2
2
=
+
 шешімі (4.103) 
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын (4.99) теңдеуінің дербес 

156
(жалғыздық теоремасына сəйкес, жалғыз) шешімі болып табыла-
ды. Теорема дəлелденді.
2-мысал
.
 4.5 теоремасы негізінде 
у
у
0
′′ + =
 теңдеуінің (1-мы-
салды қараңыз) жалпы шешімі 
у С
x С
x
1
2
sin
cos
=
+
 
функциясы 
болып табылады. 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: