153
(
)
у
у
R
1 1
2 2
1
2
0,
,
α
α
α α
+
=
∈
(4.101)
теңдігі
1
2
0
α
α
=
=
болғанда жəне тек сонда ғана орындалса,
у
1
жəне
у
2
функциялары сол интервалда
сызықтық тəуелсіз
деп
аталады. Егер
1
α
немесе
2
α
сандарының, ең болмағанда, біреуі
нөлден
өзгеше болып, (4.101) теңдігі орындалса, онда
у
1
жəне
у
2
функцияларын сол интервалда
сызықтық тəуелді
деп атайды.
у
1
жəне
у
2
функциялары пропорционал болғанда ғана барлық
( )
х
a b
,
∈
үшін
у
у
1
2
λ
=
немесе
у
у
const
1
2
, (
)
λ
λ
=
=
теңдігі
орындалғанда сызықтық тəуелді болатыны айқын. Мəселен,
x
у
e
1
3
=
жəне
x
у
e
2
=
функциялары - сызықтық тəуелді:
у
const
у
1
2
3
;
= =
у
1
жəне
x
у
e
2
3
=
функциялары - сызықтық
тəуелсіз:
x
x
x
у
e
e
const
у
e
1
2
3
3
3
;
−
=
=
≠
у
x
4
sin
=
жəне
у
x
5
cos
=
функциялары - сызықтық тəуелсіз:
x
x
1
2
sin
cos
0
α
α
+
=
теңдігі
барлық
x R
∈
үшін тек
1
2
0
α
α
=
=
болғанда ғана орындалады.
Олардың сызықтық тəуелсіздігі
у
tgx
const
у
4
5
=
≠
қатынасынан
да байқалады. Функциялар жүйесінің сызықтық тəуелділігін
анықтайтын құрал ретінде
Вронский анықтауышы
немесе
врон-
скиан
деп аталатын анықтауыш алынады (Ю. Вронский –
поляк
математигі).
( )
у
у x
1
1
=
жəне
( )
у
у x
2
2
=
дифференциалдамалы функцияла-
ры үшін вронскиан
( )
у
у
W x
у
у
1
2
1
2
=
′
′
түрінде кескінделеді. Келесі теоремалар орынды.
154
Теорема 4.3
.
( )
у
у x
1
1
=
жəне
( )
у
у x
2
2
=
дифференциалдамалы
функциялары (
a, b
) интервалында сызықтық тəуелді болса, онда
осы интервалда Вронский анықтауышы нөлге тепе-тең.
Дəлелдеме.
у
1
жəне
у
2
функциялары сызықтық тəуелді бол-
ғандықтан, онда (4.101) теңдігінде
1
α
немесе
2
α
мəні нөлден
өзгеше.
0
1
α
≠
болсын, онда
у
у
2
1
2
1
.
α
α
= −
Сондықтан (
a, b
) ин-
тервалына тиіс кез келген
х
үшін
( )
у
у
W x
у
у
2
2
2
1
2
2
2
1
0.
α
α
α
α
−
=
=
−
′
′
Теорема 4.4
.
Егер
( )
у
у x
1
1
=
жəне
( )
у
у x
2
2
=
функциялары (
a,
b
) интервалында (4.99) теңдеуінің сызықтық тəуелсіз шешімдері
болса, онда Вронский анықтауышы осы интервалдың ешбір
нүктесінде нөлге айналмайды.
Теорема дəлелдемесін келтірмейміз. 4.3 жəне 4.4
теоремалары-
нан
дербес шешімдер сызықтық тəуелсіз болғанда ғана Врон-
ский анықтауышы
(
a, b
)
интервалының бірде-бір нүктесінде
нөлге
тең болмайды.
Анықтама
. Екінші ретті сызықтық біртектес дифферен-
циалдық теңдеуінің (
a, b
) интервалындағы
( )
у x
1
жəне
( )
у x
2
дербес шешімдер жиынтығы осы теңдеудің
іргелі шешімдер
жүйесін
анықтайды: кез келген шешім
( )
( )
у
у x
у x
1 1
2 2
α
α
=
+
комбинациясы түрінде кескінделеді.
1-мысал
.
у
x
1
sin
=
жəне
у
x
2
cos
=
;
у
x
3
2sin
=
жəне
у
x
4
5cos
=
(олар шексіз көп)
дербес шешімдері
у
у
0
′′ + =
теңдеуінің іргелі шешімдер жүйесін құрайды;
у
5
0
=
жəне
у
x
6
cos
=
дербес шешімдері құрамайды. Енді қандай шарт орын-
далғанда (4.100) функциясы (4.99) теңдеуінің жалпы шешімі бо-
латынын нақтылап айтуымызға болады.
Теорема 4.5
.
(
Екінші ретті сызықтық біртектес диффе-
ренциалдық теңдеуі жалпы шешімінің құрылымы
). Егер екінші
155
ретті сызықтық біртектес дифференциалдық (4.99) теңдеуінің
( )
у
у x
1
1
=
жəне
( )
у
у x
2
2
=
қос дербес шешімі (
a, b
) интервалын-
да іргелі шешімдер жүйесін
құрайтын болса, онда осы теңдеудің
жалпы шешімі
у С у
С у
1 1
2 2
=
+
(
С С
1
2
,
- еркін тұрақтылар) (4.102)
функциясы болып табылады.
Дəлелдеме
.
4.2-теоремаға сəйкес (4.102) функциясы (4.99)
теңдеуінің шешімі болып табылады. Осы шешімнің жалпы
екенін, атап айтқанда оның тарапынан берілген
х х
у
у
0
0
=
=
,
х х
у
у
0
0
,
=
′
= ′
( )
х
a b
0
,
∈
(4.103)
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын жалғыз дербес шешімді
айырып алуға болатынын дəлелдеу ғана қалып отыр. (4.103)
бастапқы шарттарын (4.100) шешіміне енгізгеннен соң,
C
1
жəне
C
2
белгісізі бар
( )
( )
( )
( )
у
С у х
С у х
у
С у х
С у х
0
1 1
0
2 2
0
0
1 1
0
2 2
0
,
=
+
′ =
′
+
′
теңдеулер жүйесіне келеміз, мұнда
( )
( )
у
у х
у
у х
0
0
0
0
,
=
′ = ′
. Осы
жүйенің
( )
( )
( )
( )
( )
у х
у х
W х
у х
у х
1
0
2
0
0
1
0
2
0
=
′
′
анықтауышы
х
х
0
=
болғандағы
( )
W x
вронскиан мəніне тең.
( )
у x
1
жəне
( )
у x
2
шешімдері (
a, b
) интервалында
іргелі шешімдер
жүйесін құрайтындықтан, онда 4.4 теоремасына сəйкес
( )
W х
0
0.
≠
Сондықтан теңдеулер жүйесі
( )
( )
( )
( )
( )
( )
у
у х
у х
у
С
С
С
С
у
у х
у х
у
W х
W х
0
2
0
1
0
0
0
0
1
1
2
2
0
2
0
1
0
0
0
0
1
1
;
=
=
=
=
′
′
′
′
жалғыз шешіміне ие болады.
( )
( )
у С у x
С у x
0
0
1
1
2
2
=
+
шешімі (4.103)
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын (4.99) теңдеуінің дербес
156
(жалғыздық теоремасына сəйкес, жалғыз) шешімі болып табыла-
ды. Теорема дəлелденді.
2-мысал
.
4.5 теоремасы негізінде
у
у
0
′′ + =
теңдеуінің (1-мы-
салды қараңыз) жалпы шешімі
у С
x С
x
1
2
sin
cos
=
+
функциясы
болып табылады.
Достарыңызбен бөлісу: 
