Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

169
түрінде іздестіреміз, мұндағы 
r 
дегеніміз - 
α
 түбірінің еселігін 
көрсететін сан, ал 
( )
n
n
n
n
Q x
A x
A x
A
1
0
1
...
−
=
+
+ +
 дегеніміз - 
(
)
i
А i
n
1,2,...,
=
 анықталмаған коэффициенттері бар 
п-
дəрежелі 
көпмүше. 
α
-ның түбір болу-болмауына жəне түбірдің еселігіне байла-
нысты кездесетін мүмкіндіктер:
а) 
α
 саны 
k
p k q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуінің 
түбірі болмайды деп ұйғарайық, атап айтқанда 
k
1,2
α
≠
 болсын. 
Онда 
( )
( )
( )
( )
x
x
x
n
n
n
r
у
Q x e
у
Q x e
Q x e
*
*
0,
,
,
α
α
α
α
′
=
=
⋅
= ′
⋅
+
⋅
⋅
( )
( )
( )
( )
x
x
x
n
n
n
у
Q x e
Q x e
Q x e
*
2
2
.
α
α
α
α
α
″
= ′′ ⋅
+
′
⋅
⋅ +
⋅
⋅
у
* 
функциясы мен оның туындыларын (4.122)-ге енгізіп, 
x
e
α
-ке қысқартқаннан кейін 
( ) (
) ( )
(
)
( )
( )
n
n
n
n
Q x
p Q x
p
q Q x
P x
2
2
.
α
α
α
+
+
+
+
+
=
′′
′
   (4.124)
(4.124)-тің сол жағы анықталмаған коэффициенттері бар 
п-
дəрежелі көпмүше, оң жағы – белгілі коэффициенттері 
бар 
п-
дəрежелі көпмүше. 
х-
тің бірдей дəрежелері тұсындағы 
коэффициенттерді теңестіріп, 
n
A A
A
0
1
,
, ...,
 коэффициенттерін 
анықтау үшін (
п+
1) алгебралық теңдеулер жүйесін шығарып ала-
мыз.
б) 
α
 саны 
k
p k q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуінің 
бір еселі (қарапайым) түбірі болсын, атап айтқанда 
k
k
1
2
α
=
≠
 деп 
ұйғарайық. Мұндайда шешімді 
( )
x
n
у
Q x e
*
α
=
⋅
 түрінде іздеуге 
болмайды, өйткені 
p
q
2
0
α
α
+ ⋅ + =
 жəне (4.124) теңдеуі 
( ) (
) ( )
( )
n
n
n
Q x
p Q x
P x
2
.
α
+
+
=
′′
′
түріне келеді. Сол жағында (
п - 
1)
-
дəрежелі көпмүше болса, оң 
жағында 
п-
дəрежелі көпмүше. 
у
* 
шешімінде көпмүшелердің тепе-
теңдігіне қол жеткізу үшін (
п+
1)
-
дəрежелі көпмүшеге ие болу-
ымыз керек. Сондықтан 
у
*
 
дербес шешімін 
( )
x
n
у
х Q x e
*
α
= ⋅
⋅
 
түрінде іздейтін боламыз ((4.123) теңдігінде 
r = 
1 деп ұйғарылған).
в) Енді 
α
 саны 
k
p k q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуінің 

170
екі еселі түбірі болсын, атап айтқанда 
k
k
1
2
α
=
=
 деп ұйғарайық. 
Мұндайда 
p
q
2
0
α
α
+ ⋅ + =
 жəне 
p
2
0
α
+ =
, сондықтан (4.124) 
теңдеуі 
( )
( )
n
n
Q x
P x
.
=
′′
 түріне келеді. Сол жағында (
п - 
2)
-
дəрежелі 
көпмүше тұр. Сол жағында 
п-
дəрежелі көпмүше болу үшін 
у
*
 
дер-
бес шешімін 
( )
x
n
у
х Q x e
*
2
α
=
⋅
⋅
түрінде іздестірген орынды ((4.123) теңдігінде 
r = 
2 деп ұйға-
рылады).
2-жағдай
. (4.121) теңдеуінің оң жағы 
( )
( )
( )
(
)
x
n
m
f x
e
P x
x Q х
x
cos
sin
α
β
β
=
⋅
+
⋅
түрінде кескінделген болсын, мұнда 
( )
n
P x
 жəне 
( )
m
Q х
 - 
сəйкесінше 
п 
жəне
 т-
дəрежелі көпмүшелер, 
α
 жəне 
β
 - нақты 
сандар. (4.121) теңдеуі 
( )
( )
(
)
x
n
m
у
рy
qу
e
P x
x Q х
x
cos
sin
α
β
β
′′ +
′ +
==
⋅
+
⋅
   (4.125) 
түрінде жазылады. Осы жағдайда (4.125) теңдеуінің 
у
*
 
дербес 
шешімін 
( )
( )
(
)
r
x
l
l
у
х e
M x
x N х
x
*
cos
sin
α
β
β
=
⋅
⋅
+
⋅
      (4.126) 
түрінде іздестірілетінін көрсетуге болады, мұндағы 
r 
саны 
k
p k q
2
0
+ ⋅ + =
 характеристикалық теңдеуіндегі 
i
α β
+
 түбірінің 
еселігі, 
( )
l
M x
 жəне 
( )
l
N х
 - анықталмаған коэффициенттері бар 
l-
дəрежелі көпмүшелер, 
l - 
( )
n
P x
 жəне 
( )
m
Q х
 көпмүшелерінің ең 
үлкен дəрежесі, атап айтқанда 
l
n m
max ( , ).
=
 
Ескерту
. 
1. (4.126) функцияларын (4.125)-ке енгізгеннен ке-
йін, теңдеудің сол жағы мен оң жағында тұрған аттас тригоно-
метриялық функциялар тұсындағы көпмүшелерді теңестіреді.
2. (4.126) өрнегі, 
( )
n
P x
0
≡
 немесе 
( )
m
Q х
0
=
 болғанда да 
өзгермейді.
3. Егер (4.121) теңдеуінің оң жағы І немесе ІІ түріндегі 
функ циялардың қосындысы болып келсе, онда 
у
*
-ті табу үшін 
шешімдердің қабаттасуы жөніндегі 4.7-теорема қолданылады.
1-мысал
. 
у
у
у
х
2
4
′′ −
′ + = −
 теңдеуінің жалпы шешімін табу 
талап етіледі.

171
Шешімі
. 
Сəйкес біртектес 
у
у
у
2
0
′′ −
′ + =
 
дифференциалдық 
теңдеуінің 
у
ɶ
 жалпы шешімін табамыз. 
k
k
2
2
1 0
−
+ =
 харак-
теристикалық теңдеуі екі еселі 
k
1
1
=
 түбіріне ие (
k
k
1
2
1
=
=
). 
Олай болса 
x
x
у С e
С хe
1
2
.
=
+
ɶ
 Енді бастапқы теңдеудің 
у
*
 
дер-
бес шешімін іздестіреміз. Оның оң жағындағы 
(
)
x
х
х
e
0
4
4
⋅
− =
− ⋅
 
өрнегі 
( )
x
P x e
0
1
⋅
⋅
 
формуласы түрінде жазылған, онымен 
бірге 
0
α
=
 саны характеристикалық теңдеудің түбірі болмайды: 
k
1
α ≠
. Сондықтан (4.123) формуласына сəйкес 
у
*
 
дербес шешімін 
( )
x
у
Q x e
*
0
1
⋅
=
⋅
 түрінде іздестіреміз, атап айтқанда 
у
Ах В
*
=
+
, 
мұнда  
А 
 жəне  
В
 -
  
анықталмаған  коэффициенттер.  Сонда
( )
( )
у
А у
*
*
,
0.
′
″
=
=
      
( ) ( )
у
у
у
*
*
*
,
,
′
″
-ті    
бастапқы
    теңдеуге 
енгізіп, 
А Ах В
х
2
4
−
+
+ = −
 немесе 
(
)
Ах
А В
х
2
4
+ −
+
= −
 өрне -
гін шығарып аламыз. Бірдей дəрежелі 
x 
тұсындағы коэф 
фи-
циенттерді теңестіріп, 
А
А В
1,
2
4
=
−
+ = −



теңдеулер жүйесіне келеміз. Осыдан 
А
В
1,
2.
=
= −
 Сондықтан 
берілген теңдеудің дербес шешімі 
у
*
=х - 
2
 
түрінде табылады. Де-
мек теңдеудің ізделінді жалпы шешімі 
x
x
у
у у
С e
С хe
х
*
1
2
2
= +
=
+
+ −
ɶ
түрінде кескінделеді. 
2
-
мысал
. 
у
у
у
x
4
13
40cos3
′′ −
′ +
=
 теңдеуінің шешімін табу 
талап етіледі.
Шешімі
. 
СБЕДТ жалпы шешімінің түрі 
у
у
у
*
=
+
ɶ
. Ал- 
дымен 
у
у
у
4
13
0
′′ −
′ +
=
 біртектес теңдеуінің 
у
ɶ
 шеші-
мін табамыз. 
k
k
2
4
13 0
−
+
=
 характеристикалық тең-
деуінің түбірлері 
k
i k
i
1
2
2 3 ,
2 3
= +
= −
 болғандықтан, 
(
)
x
у
e
С
x С
x
2
1
2
cos3
sin3
=
+
ɶ
. Енді 
у
*
 дербес шешімін таба-
мыз. СБЕД теңдеуінің оң жағын 
( )
(
)
x
f x
e
x
x
0
40cos3
0 sin3
⋅
=
+ ⋅
 
түрінде кескіндеуге болады. 
i
i
0,
3,
3
α
β
α β
=
=
+
=
 сандары 
характеристикалық теңдеудің түбірлерімен беттеспейтіндік
тен, 
r = 
0  болады.  (4.126)  формуласына  сəйкес  дербес  шешімді 

172
у
А
x В
x
*
cos3
sin3
=
+
*
түрінде іздестіреміз. 
у
*
 жəне оның 
( )
( )
у
А
x
В
x у
А
x
В
x
*
*
3 sin3
3 cos3 ,
9 cos3
9 sin3
′
″
= −
+
= −
−
туындыларын бастапқы теңдеуге енгіземіз. Сонда 
(
)
А
x
В
x
А
x
В
x
9 cos3
9 sin3
4 3 sin3
3 cos3
−
−
− −
+
+
(
)
А
x В
x
x
13
cos3
sin3
40cos3
+
+
=
немесе 
(
)
(
)
А
В
А
x
В
А
В
x
x
9
12
13 cos3
9
12
13
40cos3
0 sin3
−
−
+
+ −
+
+
=
+ ⋅
болатыны шығады. Бұдан 
А
В
А
В
4
12
40,
12
4
0.
−
=
+
=



Демек 
А
В
1,
3.
=
= −
 Сондықтан 
у
x
x
*
cos3
3sin3 ,
=
−
 ал жал-
пы шешім 
(
)
x
у e
С
x С
x
x
x
2
1
2
cos3
sin3
cos3
3sin3
=
+
+
−
түріне келеді.
Мысалдар
.
 Төменде келтірілген дифференциалдық теңдеу-
лер дің дербес шешімдерін анықтаңыз. 
а) 
x
у
у
у
e
3
2
5
,
′′ −
′ +
= +
                 в) 
у
у
x
x
4
sin 2
cos7 ,
′′ +
=
+
б) 
у
у
у
2
2,
′′ −
′ + =
                          г) 
у
у
x х
x
5cos2
sin 2
′′ + =
−
д) 
у
у
х
x
2
3
1 cos
′′ −
′ =
− +
.
Жауаптары
: 
а) 
x
А хВe
,
+
              в) 
(
)
х A
x B
x
С
x D
x
cos2
sin 2
cos7
sin 7 ,
+
+
+
б) 
А
,                         г) 
(
)
(
)
Аx В
x
Cx D
x
cos2
sin 2 ,
+
+
+
д) 
(
)
x Aх
Bx C
D
x E
x
2
cos
sin
+
+
+
+

173

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: