§3. Бірінші текті қисықсызықты интегралдың

212
формулалары бойынша есептелінеді. Ал қисықтың ауырлық 
центрінің координаталарын
/ ,
/
C
y
C
x
x
S m
y
S m
=
=
формулалары бойынша есептеп табуға болады, мұндағы 
т - 
қисықтың массасы, ал
  S
x
,
  S
y
 - оның координаталар осьтеріне 
қатысты алынған статикалық моменттері.
3.5.
 
Инерция моменттері
Материалды 
АВ
 қисығының 
Ох 
жəне
 Оу 
осьтеріне қатысты 
алынған 
инерциялық моменттері
 
2
2
( , )
,
( , )
x
y
AB
AB
I
y
x y ds I
x
x y ds
γ
γ
=
=
∫
∫
формулалары бойынша, ал координаталар басына қатысты 
алынған 
инерция моменті
(
)
2
2
( , )
O
AB
I
x
y
x y ds
γ
=
+
∫
формуласы бойынша есептеледі.
Мысал
. 
Жоғарғы жарты жазықтықта орналасқан 
x
2
 + 
y
2
 = R
2
 
жарты шеңберінің ауырлық центрін табу талап етіледі. Қисықтың 
əрбір нүктесіндегі тығыздығы 
1
=
γ
 деп саналсын. 
Шешімі.
 
Симметрия тұрғысынан алғанда, ауырлық центрі
Oy
 осінде жататыны түсінікті (27-сурет). Сондықтан 
х
С
 = 0. 
                  27-сурет                                                 28-сурет

213
Ауырлық центрінің ординатасы 
.
AB
C
AB
y ds
y
ds
⋅
=
∫
∫
Бөлшектің бөлімі жарты шеңбер ұзындығы болып келеді, 
сондықтан
.
AB
ds
R
π
=
∫
Алымын есептеу үшін шеңбердің 
π
≤
≤
=
=
t
t
R
y
t
R
x
0
,
sin
,
cos
 
параметрлік тендеулерін пайдаланамыз. Сонда
2
2
2
2
2
2
0
0
sin
sin
cos
sin
2
.
AB
y ds
R
t
R
t R
t dt
R
t dt
R
π
π
⋅ =
⋅
+
=
=
∫
∫
∫
Демек 
y
C
.
2
2
2
π
π
R
R
R
=
=
Сонымен
х
С
 = 0,    
y
C
.
2
π
R
=
§4. Екінші текті қисықсызықты интеграл
4.1.
 
Негізгі ұғымдар
Материалды нүктенің кейбір қисықтың бойымен ығысуында 
айнымалы күші бар жұмысты есептеу есебі екінші текті 
қисықсызықты интеграл ұғымына əкеледі. Екінші текті 
қисықсызықты интеграл бірінші текті қисықсызықты интегралға 
ұқсас анықталады.
xOy
 жазықтығында 
AB
 (немесе 
L
) үзіліссіз қисығы берілсін. 
Осы қисықтың бойында анықталған үзіліссіз 
Р
(
x, y
) функцияcын 
қарастырайық. Еркін алынған 
M
0 
= 
A
, 
M
1
, 
M
2
, 
M
3
, ..., 
M
n
–1
, 
M
n 
= 
B
нүктелерімен 
AB
 қисығын  ұзындығы Δ
s
k
-ға тең 
M
k
–1
, 
M
k
 

214
доғаларымен 
п 
бөлікке бөлейік. Əр бөлік бойынан 
(
)
,
k
k
x y
ɶ ɶ
 
нүктесін алып, 
(
)
1
,
n
k
k
k
k
Рx y
s
=
∆
∑
ɶ ɶ
                                    (6.3)
қосындысын құрамыз. Мұндағы 
1
k
k
k
x
x
x
−
∆ =
−
 дегеніміз - 
M
k
–1
, 
M
k
 
доғасының 
Ох 
осіне түскен проекциясы (28-сурет). (6.3) түріндегі 
қосындыны 
х 
айнымалысы бойынша 
Р 
(
x, y
) функциясы үшін 
жазылған 
интегралдық қосынды
 дейді. Мұндай қосындылар 
саны, əрине, шектеусіз. 
1
max
k
k n
s
λ
≤ ≤
=
∆
  белгілеуін енгізейік.
Егер 
λ 
→
 
0 (
n
 → 

  
да
) (6.3) түріндегі интегралдық қосындының 
ақырлы шегі бар болып, ол шек не 
АВ
 қисығының бөлшектену 
тəсіліне, не бөліктердегі нүктелердің алынуына тəуелсіз болса, 
онда аталған шекті 
х 
координатасы бойынша 
АВ
 қисығы бойын-
дағы 
Р 
(
x, y
) функциясынан алынған 
қисықсызықты интеграл
 
(немесе 
екінші текті қисықсызықты интеграл
) деп атап, 
( )
,
AB
P x y dx
∫
(немесе 
( )
,
L
P x y dx
∫
) арқылы белгілейді. Сонымен, анықтама 
бойынша 
( )
(
)
0
1
,
lim
,
n
k
k
k
k
AB
n
P x y dx
P x y
x
λ
→
=
→∞
=
∆
∑
∫
ɶ ɶ
Осыған ұқсас
 у 
координатасы бойынша 
АВ
 қисығы бойындағы 
Q
(
x, y
) функциясынан алынған 
( )
(
)
0
1
,
lim
,
n
k
k
k
k
AB
n
Q x y dy
Q x y
y
λ→
=
→∞
=
∆
∑
∫
ɶ ɶ
қисықсызықты интегралы енгізіледі. Мұндағы 
1
k
k
k
y
y
y
−
∆ =
−
 
дегеніміз - 
M
k
–1
, 
M
k
 доғасының 
Оу 
осіне түскен проекциясы 
(28-сурет).
Жалпы түрдегі
( )
( )
,
,
+
∫
ÀÂ
Рõ ó dõ Q õ ó dó
екінші текті қисықсызықты интегралы

215
( )
( )
( )
( )
,
,
,
,
+
=
+
∫
∫
∫
ÀÂ
ÀÂ
ÀÂ
Рõ ó dõ Q õ ó dó
Рõ ó dõ
Q õ ó dó
теңдігімен анықталады.
L 
кеңістік сызығы бойынша
 
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
, ,
+
+
∫
ÀÂ
Рõ ó z dõ Q õ ó z dó
R õ ó z dz
түріндегі қисықсызықты интеграл алдыңғыға ұқсас анықталады.
Екінші текті қисықсызықты интегралдың негізгі қасиеттерін 
атап өтейік.
1.
 
= −
∫
∫
ÀÂ
BÀ
 
- бірінші текті қисықсызықты интеграл 
интегралдау жолы бағытының өзгеруіне тəуелді, атап айтқанда 
M
k
–1
, 
M
k
  доғасының 
Ох 
жəне
 Оу 
осьтеріне түсетін проекциялары 
интегралдау жолы бағытының өзгеруіне сəйкес таңбасын 
өзгертеді.
2. Егер 
АВ
 интегралдау жолы 
С
 нүктесімен 
АС
 жəне
 СВ
 
жолдарына бөлшектенсе, онда 
.
=
+
∫
∫
∫
ÀÂ
ÀÑ
ÑÂ
3. Егер 
L 
қисығы 
Ох 
осіне перпендикуляр жазықтығында 
жатса, онда 
( )
,
0
=
∫
L
Рõ ó dõ
  (барлық  ∆
x
k
 = 0).
Осыған ұқсас 
Оу 
осіне перпендикуляр жазықтықта жататын 
L 
қисығы үшін
( )
,
0
=
∫
L
Q x y dy
 
(барлық
 
∆
y
k
 = 0).
4. Тұйықталған қисық бойынша алынған қисықсызықты 
интеграл (белгіленуі -
∫
) бастапқы нүктенің алынуына тəуелсіз 
(қисықты айналу бағытына ғана тəуелді) болады.

216
4.2. Екінші текті қисықсызықты интегралды
анықталған интегралға келтіру
1. Егер 
L 
қисығы 
( )
x
f
y
=
 (
а ≤ х ≤ b
) айқын тендеуімен берілсе, 
онда
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
,
,
,
,
.
+
=
+
′
∫
∫
b
L
a
Рõ ó dõ Q õ ó dó
Рõ f x dõ Q õ f x
f
x dx
 
  (6.4)
Дербес жағдайда 
( )
( )
(
)
,
,
.
=
∫
∫
b
L
a
Рõ ó dõ
Рõ f x dõ
                         
 (6.5)
2. Егер 
L 
қисығы 
x = x
(
t
),   
y = y
(
t
),    (
α ≤ t ≤ β
)
параметрлік тендеулерімен берілсе, 
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
( )
,
,
(
,
,
) .
β
α
+
=
+
′
′
∫
∫
L
Рõ ó dõ Q õ ó dó
Рõ t y t õ t
Q õ t y t y t dt
  
(6.6)
3. Егер 
L
 кеңістік
 
қисығы (
α ≤ t ≤ β
) кесіндісінде 
x = x
(
t
),   
y = y
(
t
),    
z = z
(
t
)
параметрлік тендеулерімен берілсе, онда 
(
)
(
)
(
)
, ,
, ,
, ,
+
+
∫
ÀÂ
Рõ ó z dõ Q õ ó z dy
R õ ó z dz
қисықсызықты интегралы
+
+
=
∫
ÀÂ
Ðdõ Qdy
Rdz
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
(
)
( )
[
,
,
,
,
β
α
=
+
+
′
′
∫
Рõ t ó t z t õ t
Q õ t ó t z t y t
R
( ) ( ) ( )
(
)
( )
,
,
]
+
′
R õ t ó t z t z t dt
                  
       (6.6
*
)
формуласы бойынша есептелінеді.

217
4.3.  Екінші текті қисықсызықты интегралды
бірінші текті қисықсызықты
 
интегралға келтіру
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
(
,
cos
,
,
sin
,
)
,
α
α
+
=
+
∫
∫
L
L
Рõ ó dõ Q õ ó dó
Рõ ó
õ ó
Q õ ó
õ ó ds
мұнда 
α
  (
x, y
) - қисықты айналу бағытымен сəйкестендірілген 
L 
қисығының жанамасы мен 
Ох 
осінің оң бағыты арасындағы 
бұрыш.
4.4. 
 
Қисықсызықты интегралдың механикалық 
талқыламасы
т 
массалы 
М 
материалды нүктесі 
АВ 
жолы бойынша күштер 
өрісінде қозғалады дейік. 
M
  (
x, y, z
) нүктесіндегі 
X
  (
x, y, z
), 
Y
 (
x, y, z
), 
Z
 (
x, y, z
) координаталы кернеу векторы, атап айтқанда
F 
күші (
x, y, z
) нүктесінде масса бірлігіне əсер ететін болсын. Онда  
M
 (
x, y, z
) нүктесіне əсер ететін күшарқылы туындайтын жұмыс 
(
)
+
+
∫
ÀÂ
ò Xdx Ydy
Zdz
                                 
(6.7)
қисықсызықты интегралымен өрнектеледі.
 
1
+
i
i
À À
 
доғасы 
АВ
 
қисығының кіші бөлігі болсын. Осы бөліктегі жұмыс 
1
+
⋅
i
i
i
mF
A A
 
скаляр көбейтіндісімен кескінделеді, мұндағы 
F
i
 - 
А
i
 нүктесіндегі 
кернеу векторы. Координаталарда осы cкаляр көбейтінді 
(
)
∆ + ∆ + ∆
i
i
i
i
i
i
m X
x
Y y
Z
z
 
түрінде жазылады. Осындай өрнектерді 
қосып, тұтас 
АВ
 қисығының бойында істелетін жұмыстың 
жуық мəнін табамыз. Ал қосындының шегі, атап айтқанда (6.7) 
қисықсызықты интегралы жұмыстың дəл мəнін береді.
Мысал
. 
−
+
∫
ÀÂ
ódx
õdy
                                      
 (6.8)
қисықсызықты интегралын 
x
2
 + y
2
 = R
2
 жарты шеңберінің жо-
ғарғы бөлігі бойында есептеу талап етіледі.
Шешімі
. 
Есепті шығару барысында шеңбердің 
           
cos ,
sin , 0
π
=
=
≤ ≤
x
R
t
y
R
t
t
                        (6.9)

218
параметрлік тендеулерін пайдаланамыз. Мұнда 
,
0.
π
=
=
A
B
t
t
  
(6.9) мəндерін (6.8) өрнекке қойса, төмендегідей теңдік шығады:
(
)
(
)
0
0
2
2
sin
cos
cos
sin
.
π
π
π
= −
⋅
+
=
= −
∫
∫
I
R
t d R
t
R
td R
t
R dt
R
Осы есепте параметр ретінде 
х 
алынса, онда қисық теңдеуі
у = у
(
х
), демек есеп шартына сəйкес айқын 
2
2
=
−
y
R
x
түріне келеді. Сонда  
x
R
x
R
B
A
=
−
=
,
  
жəне
2
2
2
2
2
2
2
2
.
π
−
−
= −
−
+
−
= −
= −
−
∫
∫
R
R
R
R
dx
I
R
x dx
xd R
x
R
R
R
x

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: