Расчет надежности системы с постоянным резервированием.
Теоретические сведения
При постоянном резервировании резервные элементы параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается .
Вероятность отказа системы qc(t) определяется формулой
(4.1)
где qj(t) - вероятность отказа j - го элемента.
Вероятность безотказной работы системы
(4.2)
где Рj(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента
Если Рj(t) =Р(t), j = 0, 1, …., m, то
(4.3)
При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем
(4.4)
Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.
Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).
Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи
(4.5)
где Рij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Эij.
Вероятность отказа j - ой цепи
.(4.6)
Вероятность отказа системы с общим резервированием
. (4.7)
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием
. (4.8)
Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.
Рij(t)=Pi(t).(4.9)
Тогда
(4.10)
(4.11)
Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.
Pi(t)=e-it.(4.12)
В этом случае формулы (5.10), (5.11) примут вид
qc(t)=(1-e-0t)m+1,(4.13)
Pc(t)=1-(1-e-0t)m+1,(4.14)
, (4.15)
где 0 – интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.
Частота отказов системы с о6щим резервированием
. (4.16)
Интенсивность отказов системы с общим резервированием
(4.17)
Среднее время безотказной работы резервированной системы
, (4.18)
где Т0 = 1/0, - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.
Пример
Задача 1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:
а) нерезервированной системы,
б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.
Решение.
а) ,
где с – интенсивность отказов системы; i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10.
i=1/mti = 1/1000=0,001; i = 1,2,...,n; =i;
c=n=0,001*10=0,01 1/час;
mtc=1/c=100 час;
fc(t)=c(t) Pc(t);
c(50)=c; Pc(t)=e-ct;
fc(50)=ce-ct=0,01*e-0,01*506*10-3 1/час;
c(50)=0,01 1/час.
б) ; m=1; час ;
; 0 =c =0.01 1/час ;
;
;
;
fc(50)4.810-3 1/час; c(50)5.710-3 1/час.
Задача 2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала =10-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Рс(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы mtc, частоту отказов fc(t), интенсивность отказов с(t) системы.
Решение. В данном случае n=1; i=; 0=n=;m=1. По формуле (4.14) имеем
Рс(t)=1-(1-e-t)2;
Рс(10)=1-(1-e-0,1)2.
Из приложения П.7.14 [1] получим
e-0,1=0,9048.
Тогда
Рc(10)=1-(1-0,9048)2 =1-0,095221-0,01=0,99.
Определим mtс. Из формулы (4.4) имеем
час.
Определим частоту отказов fc(t). Получим
Определим интенсивность отказов с(t). Имеем
3адача З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Рс(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна
Pc(t)=1-(1-e-nt)2
или
Pc(t)=1-[1-Pn(t)]2,
где
P(t)=e-t.
Здесь Р(t) – вероятность безотказной работы одного элемента.
Так как должно быть
1-[1-Pn(t)]20,9,
то
.
Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим
Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t, получим
1-t1-6,32*10-5
или
(6,32*10-5)/t=(6,32*10-5)/10=6,32*10-6 1/час.
Достарыңызбен бөлісу: |
