2.2 Кері жору әдісі
1. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: Берілген теңдеудің (0,0,0)-ден басқа шешімдері жоқ екенін дәлелдейік.
а) , , ; сандарының ең үлкен оратқ бөлгіші болсын. Демек, , , және -өзара жай сандар болады. Алынған мәндерді белгісіздерінің орнына қойсақ, мынандай теңдеу шығады:
, (1)
мұндағы , -жұп сандар болғандықтан, -жұп сан болады. Демек, -жұп сан, болады. Ал ауыстыруын (1) теңдеуге қойып, қысқартсақ теңдеу мына түрге келеді:
. (2)
-жұп сан болғандықтан, болады, (2) теңдеуге қойсақ, теңдеу былай түрленеді:
. (3)
-жұп болғандықтан, мәнін (3) теңдеуге қойсақ, теңдеу мына түрге келеді:
Демек, сандарының ортақ бөлгіші 2 екені көрініп тұр және өзара жай сандар екеніне қарама-қайшы.
б) сандарының біреуі нөлге тең болсын. Мысалы, , онда теңдеуін аламыз. Егер сандарының біреуі нөлге тең болса, екіншісі де нөлге тең болады. Егер және нөлге тең болмасын деп алсақ, а пунктіндегі қарама-қайшылыққа келеміз. Демек, берілген теңдеуіміздің бір-ақ шешімі бар: (0,0,0).
2. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: сандары теңдеуді қанағаттандырсын, сонда
мұндағы . Егер , онда
.
Демек, саны екі қатарлас натурал сандардың квадраттарының арасында жатуы керек, бірақ бұлай болу мүмкін емес. Сондықтан теңсіздігінен екендігі шығады. Ал
-8,...,1
мәндерін кезегімен қойсақ, саны бүтін санның квадраты болады, егер де мына сандарға тең болса: -9,-8,-7,-4,-1,0,1. Осылай берілген теңдеудің барлық шешімдерін табамыз: (-9,12); (-9,-12); (-8,0); (-7,0); (-4,12) (-4,-12); (-1,0); (0,0); (1,12); (1,-12).
3. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: Теңдеуді сандар жұбы қанағаттандырсын, деп ұйғарайық. Сонда
,
демек, саны бүтін бола алмайды, себебі:
.
Осындай қайшылыққа болғанда да кездесеміз. Шындығында, бұл жағдайда , демек,
,
осыдан шығатын қатынас ешқандай бүтін үшін орындалмайды. Ары қарай, болғанда теңдеу мүмкін емес теңдігіне айналады. Соңында, үшін теңдігін аламыз. Теңдеудің шешімі: , .
4. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: Қандай-да бір сандар жұбы теңдеуді қанағаттандырсын. Алдымен деп ұйғарайық, сонда
.
Сондықтан , және
,
,
болғандықтан , ал саны қатарлас екі санның арасында жатуы мүмкін емес. Енді деп ұйғарайық, сонда , сандар жұбы бастапқы теңдеуді қанағаттандыратынын көреміз:
.
Бірақ жоғарыда дәлелденгендей десек, қайшылыққа келеміз. Сондықтан -2 деп бағалаймыз, осыдан теңдеудің жалғыз шешімін аламыз: , .
5. теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімдері шектеулі болатынын дәлелдеу керек.
Шешуі: Берілген теңдеудің шешімі болсын, мысалы, . Ал енді, ізделінді теңдеуді және теңсіздігін қанағаттандыратын сандар тізбегінің шектеулі жиыны бар болсын. Шындығында, кез -келген мұндай тізбек үшін, мына қатынас орындалады:
, ,
осыдан келіп, теңсіздігі шығады. Сондықтан белгісіз шамасы санынан артық мән қабылдамайды. Әрбір шамасы үшін
,
осыдан
және белгісіз шамасы санынан аспайды. Егер де және белгілі болса, онда белгісіз шамасы теңдеуден бірмәнді анықталады. Демек, шартын қанағаттандыратын шешімдер санынан аспайды.
6. теңдеуін бүтін сандар жиынында шешу керек.
Шешуі: сандар тізбегі теңдеудің шешімі болады. Ал енді теңдеудің басқа да шешімдері болсын деп ұйғарайық. Олардың ішінен сондай тізбегін таңдаймыз,
шамасы ең кіші мән қабылдайтындай. Әрбір үшін орынды: , , сонда
(mod 4).
Сондықтан санын 4-ке бөлгендегі қалдық (не 0-ге тең, не 1, не 2), санын 4-ке бөлгендегі қалдықпен (не 0-ге, не 3-ке тең) сәйкес келеді, сонда тек сонда ғана, егер әрбір сандары жұп болса. Сондай-ақ , , , мұндағы . Бастапқы теңдеуге алып барып қойсақ, болады. Сонымен қатар
шамасы шартын қанғаттандырады, бұл сандар тізбегін таңдауға қайшы. Сондықтан берілген теңдеудің жалғыз шешімі бар.
7. теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімдері жоқ екенін дәлелдеу керек.
Шешуі: сандары теңдеуді қанағаттандырады деп ұйғарайық. Сонда біздің теңдеуіміз былайша жіктеледі:
.
Сонымен қатар
және
өзара жай сандар немесе тақ сандар және
.
Сондықтан
,
теңдіктерін қанағаттандыратын сандары табылады және
, .
Осыдан
теңсіздігін аламыз. Алынған қайшылық есептің шартын дәлелдейді.
8. Кез-келген , үшін
теңдеуінің натурал сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеу керек.
Шешуі: Кейбір , мәндерінде берілген теңдеу дұрыс теңідкке айналсын. Ал деп белгілесек, келесі теңдікті аламыз:
,
ал одан
(mod )
теңдігін аламыз. Сондықтан жұп сан, ал үшін тақ болғанда (mod ) болуы керек еді, онда және , бұлай болу мүмкін емес. Ары қарай, Ньютон биномына сүйенсек, жұп болғанда келесі салыстырулар орынды:
(mod ),
(mod ).
Осыдан келіп (mod ), шығады. Шыққан теңдікті және сандарына бөлсек,
қатынасын аламыз. Басқа жағынан Бернулли теңсіздігіне сүйеніп,
теңсіздігін аламыз. Алынған қайшылық бастапқы теңдеудің шешімі жоқ екенін дәлелдейді.
9. теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеу керек.
Шешуі: Кейбір сандар жұбы теңдеуді қанағаттандырсын деп ұйғарайық. Онда жұп сан болады. Шындығында, қарсы жағдайда
(mod 4),
осыдан
(mod 4)
болуы мүмкін емес. Ал санының жұптығынан
(mod 4)
екендігі шығады, сондықтан
(mod 4).
Енді
, ,
деп белгілейік, сонда теңдеуден мынаны аламыз:
,
осыдан
, мұндағы (mod 4).
Ескерейік, санының жай бөлгіштерінің ең болмағанда біреуі түрінде болады, мұндағы . Шындығында, саны тақ болғандықтан, оның барлық жай бөлгіштері тақ болады. Сонымен
(mod ),
сондықтан
(mod ) және (mod ).
Біз Ферма теоремасына қайшы келдік, теорема бойынша
(mod )
болуы керек еді. Есептің шарты дәлелденді.
Достарыңызбен бөлісу: |
