y0 2 = 2ab
теңдігінен
a = t 2, 2b = s 2, (11)
екендігі шығады. Мұндағы t, s – кез – келген бүтін сандар. Бірақ, (10) қатынастан [x0, b, а ] (4) теңдеудің шешімдері екені шығады. Демек,
,
мұндағы m және n – өзара жай жұп және тақ сандар.
(11) теңдіктен мынаны аламыз:
,
m және n – өзара жай болғандықтан,
m = p 2, n = q 2, (12)
мұндағы p және q нөлден өзге бүтін сандар, a = t 2 және болғандықтан,
q 4 + p 4 = t 2 , (13)
Бірақ,
,
сондықтан
(14)
Орындарына қойсақ, q = x1, p = y1, t = z1 және біз көріп тұрғандай [x0 , y0, z0] шешімдері бар болса, онда [x1 , y1, z1] басқа шешімдері де бар болуы керек, себебі 0 < z1 < z0. Сонымен (2) теңдеудің шешімдерін алу пороцесін шексіз жалғастыруға болады және біз келесі шешімдер тізбегін аламыз:
[x0 , y0, z0], [x1 , y1, z1], ... , [xn , yn, zn], …,
мұндағы бүтін оң z0, z1, z2, z3,…, zn,…, сандары монотонды кемиді, басқаша айтқанда, ол үшін мына теңсіздік орынды:
z0 > z1 > z2 > z3 > … > zn …
Бірақ бүтін оң сандар ақырсыз монотонды кемімелі тізбекті құра алмайды, сондай – ақ мұндай тізбекте z0 – ден артық мүшелері бола алмайды. Осыдан біз (2) теңдеудің x, y, z (xyz ≠ 0) бүтін сандар жиынында ең болмағанда бір шешімі бар деген ұйғарымға қарама – қайшы келіп отырамыз. Осымен (2) теңдеудің шшешімдері болмайтыны дәлелденді. Сәйкесінше (1) теңдеудің де оң бүтін [x , y, z] сандар жиынында шешімі жоқ, қарсы жағдайда [x , y, z] – (1) теңдеудің шешімі болса, онда [x , y, z 2 ] - (2) теғңдеудің шешімі болады. Осымен біз (2) теңдеудің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін ғана емес,
x 4n + y 4n = z 2n
теңдеуінің де шешімі жоқ екенін дәлелдедік.
Мысал.
x 4 + y 4 = z 2 (15)
теңдеуінің нөлден өзге x , y, z бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеу керек. Біз (15) теңдеудің бүтін оң сандар жиынында [x0 , y0, z0] шешімі болсын деп ұйғарайық. Осы сандарды бірден өзара жай деп айта аламыз, себебі ең үлкен ортақ бөлімі d > 1 болса, онда сандары да (15) теңдеудің шешімдері болар еді. Сонымен қатар (15) теңдеудің бүтін сандар жиынындағы барлық мүмкін z шешімдері ішінен z0 – ең кішісі деп ұйғарайық. Сонда [x0 , y0, z0] – (15) теңдеуді шешімдері болғандықтан, [x20 , y20, z0]
x 2 + 2y 2 = z 2 (16)
теңдеуінің шешімдері болады. Осы теңдеудің барлық бүтін оң шешімдерін беретін 1.4. тақырыбындағы (8/ ) формуласын қолдансақ, бүтін оң a және b сандарының бар екенін көреміз, (a, b) = 1, мұндағы а тақ сан және мына теңдіктерді қанағаттандырады:
(17)
теңдігінен b санының жұп екеніне көз жеткізуге болады, y0, жұп болғандықтан, y0 2 4 санына бөлінеді, ал а – тақ сан. Сондай – ақ және а өзара жай болғандықтан,
теңдігінен
екендігі шығады, мұндағы m және n – бүтін оң сандар және (m, 2n) = 1. Бірақ (17) теңдіктен
(18)
шығады, мұндағы x0 және а тақ сандар.
Тақ санның квадратын 4 – ке бөлгенде 1 қалдық қалатынын көргенбіз. Сондықтан (18) теңдіктің сол жағын төртке бөлгенде 1 қалдық қалады, ал өрнегін де 4-те бөлгенде 1 қалдық қалуы керек . Демек, (18) теңдіктің оң бөлігінің жақшасы тек қана плюспен енуі керек. Енді (18) теңдікті мына түрде жазуға болады:
немесе мына формада жазуға болады:
,. (19)
мұндағы x0, m және n бүтін оң және өзара жай сандар. Тағы да 1.4. тақырыбындағы (8/ ) формуладан p және q сандары табылады, р – тақ сан, (p, q) = 1, сонда
(20)
және болғандықтан
,
мұндағы s, r - өзара жай сандар. Бұдан соңғы рет мына қатынас шығады:
(21)
Бұл қатынас s, r, m (15) теңдеудің шешімдерін құрайтынын көрсетеді. Жоғарыда көрсетілген
,
теңдіктерінен екендігі шығады. Сонымен [x0 , y0, z0] шешімдерінің арқасында, басқа [s, r, m] шешімдерін таптық, мұндағы 0 < m < t0. Соңғы теңсіздік біздің [x0 , y0, z0] шешімдеріндегі z0 – ең кішісі деген ұйғарымымызға қайшы. Осымен біз (15) теңдеудің шешімдері бар деген ұйғарымға қарсы келдік және бұл теңдеудің нөлден өзге бүтін сандар жиынында шешімдері жоқ екенін дәлелдедік.
Соңында біз көрсеткіштік теңдеулерге байланысты бірнеше ескертулер жасаймыз.
(22)
теңдеуі бүтін x, y, z сандар жиынында ақырлы сандар шешіміне ие, мұндағы a, b, c – бүтін, дәрежесі 2 – ге және нөльге тең емес сандар. Осы тұжыырым аз ғана қосымша толықтырумен кез – келген a, b, c алгебралық сандары үшін дұрыс. Сонымен қатар, мына теңдеу:
(23)
бүтін сандар жиынында ақырлы сандар шешіміне ие. Мұндағы A, B, C, ABC ≠ 0 – бүтін сандар, - бүтін сандар және
Алгебралық сандар теориясында әрбір 1.6. тақырыбындағы (1) түрдегі теңдеуге (23) түрдегі кейбір көрсеткіштік теңдеулер сәйкес келетіні дәлелденеді, сонымен қатар бүтін сандарда 1.6. – (1) теңдеуінің әрбір шешіміне (23) теңдеудің шешімі сәйкес келеді. Мұндай сәйкестіктер 1.6. – (1) және (23) теңдеулерінен жалпы түрдегі теңдеулер үшін таралған.
Достарыңызбен бөлісу: |
