Диплом жұмыс Тақырыбы: Бүтін сандар жиынында теңдеулерді шешу. Орындаған: Нысанова Эльмира

жүктеу 2,18 Mb.

бет	12/26
Дата	24.05.2023
өлшемі	2,18 Mb.
	#42757
түрі	Диплом

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 26

Дип.-Бүтін-сандар-жиынында-теңдеулерді-шешу

Теорема:
x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ (1)
Ферма теңдеуінің x, y, z, xyz ≠ 0 бүтін сандар жиынында шешімі жоқ.
Дәлелдеу. Біз тіпті күштірек теореманы дәлелдейміз,
x ⁴ + y ⁴ = z ² (2)
теңдеуінің x, y, z, xyz ≠ 0 бүтін сандар жиынында шешімі жоқ.
Бұл теоремадан (1) теңдеудің шешімдері жоқ екені бірден шығады. Егер (2) теңдеудің нөлден өзге x, y, z бүтін сандар жиынында шешімі болса, онда бұл сандар өзара екеуара жай екен деп пайымдауға болады. Шындығында, х және у сандарының ең үлкен ортақ бөлгіш d >1 болатын шешімдері болса, онда
x = dx₁, y = dy₁,
мұндағы (x₁, y₁) = 1. (2) теңдеудің екі жағын да d санына бөлсек, біз мына теңдікті аламыз:
x₁⁴ + y₁⁴ = = z₁ ² (3)
Бірақ x₁және y₁бүтін сандар, сондықтан саны да бүтін болады. Егер де z₁ және y₁ сандарының ортақ бөлгіші k > 1 болса, онда x₁² (3) теңдеуден к – ға бөлінуі керек, демек, x₁ және к өзара жай болуы мүмкін емес. Нөлден өзге бүтін сандар жиынында (2) теңдеудің шешімдері бар болса, онда нөлден өзге өзара жай сандар жиынында шешімі бар екенін дәлелдедік. Сондықтан, бізге (2) теңдеудің нөлден өзге өзара екеуара жай бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеу жеткілікті. Дәлелдеуміздің арғы қадамында, (2) теңдеудің бүтін оң сандар және екеуара жай сандар жиынында шешімдері бар деп қарастырайық. Біз 1.4 тақырыбында
x ² + y ² = z ² (4)
теңдеуінің барлық шешімдері өзара екеуара жай оң бүтін сандар жиынында
(5)
формылалары арқылы анықталатынын дәлелдегенбіз. (5) формулаға (4) теңдеудің барлық шешімдерін анықтайтын басқа түр берейік. u, v – тақсандар болғандықтан, былай тұжырымдайық:

(6)
Осы теңдіктен u және v мәндерін анықтаймыз:
(7)
мұндағы a және b әртүрлі жұп және тақ сандар. 6 – 7 теңдіктерінен көрініп тұрғандай – ақ, кез – келген тақ өзара жай u және v сандар жұбына әртүрлі жұп және тақ a, b сандары сәйкес келеді, және керісіше, тақ a, b сандар жұбына өзара жай тақ u және v сандар жұбы сәйкес келеді. Сондықтан,

(5) u және v мәндерінің орнына a және b ауыстыруын енгізсек, (4) теңдеудің шешімдері оң бүтін және өзара екеуара жай сандар болатын x, y, z мына формула бойынша анықталады:

(8)
мұндағы a және b x > 0 болғандағы өзара жай жұп және тақ сандар. Осыдан х және у әртүрлі жұп және тақ сандар екендігі шығады. Егер (2) теңдеу [x₀ , y₀, z₀] шешімдеріне ие болса, онда
[x₀²] ²+ [y₀²]²= z₀² ,
және де бұл үштік сандар (x₀², y₀², z₀) (4) теңдеудің шешімдері болады. Сонда a және b, а > b өзара жай жұп және тақ сандары үшін:
(9)
Анығырақ болу үшін x₀ - тақ, ал y₀ – жұп деп алайық. Екеуінің орнын ауыстырсақ та ештеңе өзгермейді. Біз білеміз, тақ санның квадратын 4 – ке бөлгенде 1 қалдық қалады. Сондықтан
(10)
теңдігінен а – тақ, ал b – жұп екендігі шығады. Ал а – тақ сан және (а, b) = 1 болғандықтан, (а, 2b) = 1 болады. Онда

жүктеу 2,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 26