1.6. Екі белгісізі бар дәрежесі екіден артық теңдеулер.
Екі белгісізі бар дәрежесі екіден артық теңдеулер жүйесі кейбір жағдайлар болмаса, әрқашанда х және у бүтін сандар жиынында тек қана шекті сандар шешіміне ие. Ең алдымен мына теңдеуді қарастырайық:
(1)
мұндағы n – екіден артық бүтін сан, – бүтін сандар.
Біздің жүзжылдықтың басында А. Туэ дәлелдегендей, мұндай теңдеу х және у бүтін сандар жиынында шекті сандар шешіміне ие, тек қана кейбір жағдайлар бұлай болмайды, мәселен, бұл теңдеудің біртекті сол бөлігі бірінші дәрежелі біртекті екімүшеліктің дәрежесі болса. Соңғы жағдайда біздің теңдеу мына екі түрдің біреуіне ие:
,
және бірінші немесе екінші дәрежелі теңдеуге келтіріледі. Біз А.Туэ әдісінің күрделілігінен, оны қолдана алмаймыз және (1) теңдеудің шешімдер санының шектілігін дәлелдейтін кейбір ескертулермен шектелеміз.
теңдеудің екі жағында санына бөлейік:
, (2)
(3)
Біз бұл теңдеудің барлық түбірлері әр түрлі және a0∙ an ≠ 0 деп қана емес, бұл теңдеудің түбірлері бүтін коэфициентті төменгі дәрежелі теңдеудің түбірлері бола алмайды деп ұйғарайық.
Жоғарғы алгебрада әрбір алгебралық теңдеудің ең болмағанда бір түбірі бар екені дәлелденеді, әрбір көпмүшелік бүтіндей (z - α) бірмүшелігіне бөлінеді, егер α – оның түбірі болса. Көпмүшелікті көбейтінді түрінде жазсақ:
(4)
мұндағы α1, α2, …,αn – берілген көпмүшеліктің барлық n түбірлері. Көпмүшеліктің көбейтінді түрінде жазылған өрнегін пайдаланып, (2) теңдеуді мына түрде жазуға болады:
(5)
(5) теңдеудің бүтін сандар жиынында [xk, yk] санаусыз көп шешімі болсын. Демек, абсолют шамасы бойынша yk санынан үлкен шешімдері бар деген сөз. Кез – келген анықталған саннан абсолбт шамасы бойынша кіші, yk сонымен шектелген санаусыз көп жұптар бар болғанда және xk қаншалық үлкен болса, онда мұндай xk үшін теңдеудің сол жағы да сонша үлкен болатын еді, бірақ бұлай болу мүмкін емес. Енді yk өте үлкен болсын, онда (5) теңдеудің оң жағы кіші болар еді, демек сол жағы да кіші болуы керек. Бірақ теңдеудің сол жағы бүтін және бірден кіші емес және a0 санын қамтитын n көбейткіштің көбейтіндісі. Сондықтан, сол жақтың кішілігі, абсолют шамасы бойынша мына айырымның қайсыбірінің кішілігінен келіп шығады:
Бұл айырым кіші болады, сонда тек сонда ғана, αm шындығында, теңдігінен орын алмаса. Қарсы жағдайда, біздің айырымымыздың модулі кіші бола алмайды, себебі:
(5) теңдеудің сол жағындағы екі көбейткіштің айырымы бірдей уақытта модулі бойынша кіші бола алмайды, себебі:
(6)
αm сандарының арасында бірдейлері жоқ. Егер бір айырым модулі немесе абсолют шамасы бойынша айырымынынан кіші болса, онда басқасы айырымына қарағанда үлкен болуы керек. Сонымен, αm
сандарының барлығы өзара әртүрлі болғандықтан, абсолют шамасы, не модулі бойынша ең кіші айырымы нөлден үлкен болады (m ≠ S). Оның өлшемін 2d арқылы белгілесек, yk шексіз өсетіндіктен, кез – келген жеткілікті yk үшін келесі теңсіздік орынды:
немесе
(7)
Онда көбейтіндінің абсолют шамасы көбейткіштердің абсолют шамасының көбейтіндісіне тең екенін (5) теңдеуден аламыз:
(8)
Бірақ, егерде бұл теңдіктегі әрбір айырымын d мәнінің ең кіші өлшемімен алмастырсақ, ал санын бірмен алмастырсақ, санынан кіші бүтін сан бола алмайды, онда (8) теңдіктің сол жағы оң жағынан кіші болады және біз келесі теңсіздікті аламыз:
немесе
(9)
теңсіздігін аламыз, мұндағы с xn және yn сандарына тәулді емес. Сондықтан, қандай да бір анықталған m бар болады, оған сайкес αm үшін (9) теңсіздік санаусыз көп рет орындалады. Басқаша айтқанда, егер (1) теңдеудің бүтін сандар жиынында санаусыз көп шешімі бар болса, онда бүтін коэффициентті (3) алгебралық теңдеудің α түбірі болады және q қаншалық үлкен болса да, мына теңсіздік орындалады:
, (10)
мұндағы А – p, q сандарына тәуелсіз тұрақты, p, q – бүтін сандар, ал n – α санын қанағаттандыратын теңдеудің дәрежесі. Егер α кез – келген нақты сан болса, онда оны (10) теңсіздіктің p және q бүтін сандар жиынында санаусыз көп шешімі болатындай етіп таңдауға болар еді. Біздің жағдайда α бүтін коэффициентті алгебралық теңдеудің түбірі, мұндай сандар алгебралық деп аталады және ерекше қасиеттерге ие.
Алгебралық санның дәржесі дегеніміз – осы сан қанағаттандыратын кіші дәрежелі бүтін коэффициентті алгебралық теңдеудің дәрежесі.
А. Туэ дәлелдегендей n – ші дәрежелі α алгебралық саны үшін
(11)
теңсіздігінің p және q бүтін сандар жиынында ақырлы сандар шешімі болуы мүмкін. Бірақ болғанда, (10) теңсіздіктің оң жағы жеткілікті үлкен q үшін (11) теңсіздіктің оң жағынан кіші болып қалады , себебі; . Сондықтан егер (11) теңсіздіктің p және q бүтін сандар жиынында тек ақырлы сан шешімі бар болса, онда (10) теңсіздік те ақырлы сан шешіміне ие. Демек, (3) теңдеудің барлық түбірлері n – нен кіші дәрежелі бүтін коэффициентті теңдеудің түбірлері бола алмағандықтан, (1) теңдеу бүтін сандар жиынында тек ақырлы шешімге ие. Ал n = 2 үшін (10) теңсіздіктің шындығында, кез – келген А ушін p және q сандар жиынында санаусыз көп шешімі бар екенін оңай көруге болады.
P(x, y) – кез – келген х және у мәндеріне қатынасты бүтін коэффициентті көпмүшелік болсын, басқаша айтқанда,
мұндағы - бүтін сандар. Біз бұл көпмүшелікті
Достарыңызбен бөлісу: |
