Толық дифференциалды теңдеулер. Интегралдаушы көбейткіш

жүктеу 96,5 Kb.

Дата	24.02.2023
өлшемі	96,5 Kb.
	#41481

Òîëû? äèôôåðåíöèàëäû òå?äåóëåð. Èíòåãðàëäàóøû ê?áåéòê³ø

Толық дифференциалды теңдеулер. Интегралдаушы көбейткіш

Төмендегі дифференциалдық теңдеу қарастырайық:

(1)
Егер (1) теңдеудің сол жақ бөлігі қандай да бір айқын емес функцияның толық дифференциалы болса, бұл теңдеу толық дифференциалдық теңдеу деп аталады.

-толық д.т.
-дербес дифференциал

(1) теңдеудің сол жағы қандай да бір функциясының толық дифференциалы болуы үшін
(*)
орындалуы қажетті және жеткілікті.
Айталық (1) теңдеу үшін (*) шарты орындалсын, яғни теңдеудің сол жағы қандай да бір функциясының толық дифференциалы болсын:

(2)
(3)
(2) теңдеуді пайдаланып, функциясының мәнін табамыз:
(**)
Бұл жерде белгісіз функция. Белгісіз функцияны табу үшін соңғы теңдікті бойынша дифференциалдап (3) теңдеуге қоямыз:

Бұл жерде

Табылған мәнін (**) апарып қоямыз:

1-мысал:

Егер (*) шарт орындалмаса, интегралдық көбейткіш көмегімен (1) теңдеудің сол жағын толық дифференциалға келтіруге болады. (1) теңдеудің екі жағын функциясына көбейтеміз.

(4)
функциясы (1) теңдеудің интегралдық көбейткіші деп аталады.
(4) теңдеудің сол жағы қандай да бір функциясының толық дифференциалы болуы үшін
(***)
орындалуы қажетті және жеткілікті.

немесе

екі жағын да бөліп жіберсек:
(5)
Сонымен белгісіз функциясы үшін (5) түрдегі бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеуге келдік. Дербес жағдайларда (5) шешімін табуға болады.Атап айтқанда:
1) болса, онда теңдеу төмендегі түрде жіктеледі

2) болса, онда теңдеу төмендегі түрде жіктеледі

2-мысал:

жүктеу 96,5 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: