Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік
жүктеу 28,2 Mb.
|
Анықтама. Нөлден өзгеше матрицаның нөлдік жолдары нөлден өзгеше жолдардан кейін тұрса және әрбір нөлден өзгеше жолдың жетекші элементі, екінші жолдан бастап, алдыңғы жолдардың жетекші элементтерінен кейін тұрса, онда матрица сатылы деп аталады. Сатылы матрицаның бір түрі: 
болады, мұндағы деп белгіленген орындарда – нөлден өзгеше элементтер. Сатылы матрицалардың мысалдары:
бір ғана жолы бар нөлден өзгеше матрица; бірлік матрица; нөлден өзгеше жоғарғы диагональ матрица (диагональдан төмен нөлдік элементтер тұрады). Анықтама. Матрицаның жолдарына келесі элементар түрлендірулер қолданылады: (1) кез келген жолды нөлден өзгеше скалярға көбейту; (2) бір жолды скалярға көбейтіп, басқа жолға қосу; (3) кез келген екі жолды орындарымен алмастыру. Теорема 1. Кез келген нөлден өзгеше матрицаны элементар түрлендірулерді қолданып сатылы түрге келтіруге болады. § 3. Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі Анықтама. n-өлшемді векторлардың ақырлы жүйесі деп векторлардың кортежі аталады: а1,…, am. Жүйедегі векторлардың реті ескертіледі және векторлар қайталана алады. Мысалы, екі a, b, a және b, a, a жүйе әртүрлі деп есептеледі, мұндағы a b. Анықтама. Векторлардың а1,…, am жүйесінің сызықтық комбинациясы деп λ1a1 + …+ λmam түріндегі вектор аталады, мұндағы λi скалярлары сызықтық комбинацияның коэффициенттері деп аталады. Мысалы, а1 = (1, 0, 3, –2), a2 = (–1, 1, 4, 3), a3 = (–5, 3, 5, 3) R4 векторларының 2a1 – 3a2 + a3 сызықтық комбинациясы былай есептелінеді: 2a1 = (2, 0, 6, –4), 3a2 = (–3, 3, 12, 9), 2a1 – 3a2 = (2, 0, 6, –4) – (–3, 3, 12, 9) = (5, –3, –6, –13), (2a1 – 3a2) + a3 = (5, –3, –6, –13) + (–5, 3, 5, 3) = (0, 0, –1, –10). Егер a векторы а1,…, am векторларының сызықтық комбинациясы болса, онда a векторы а1,…, am векторлары арқылы (сызықтық) өрнектеледі, немесе a векторы а1,…, am векторлары бойынша (сызықтық) жіктеледі дейді. Жалғыз a векторының сызықтық комбинациясының түрі a болады, мұндағы кез келген скаляр. Сонымен бірге, = 0 болса, онда 0a =  . Сондықтан нөлдік вектор кез келген векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы болады.
Кеңістіктің кез келген a = (α1, α2, …, αn) векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болатынын көрсетейік. Шынында, α1e1 + …+ αnen = α1(1, 0, …., 0) + α2(0, 1, …., 0) +…+ αn(0, 0,…, 1) = (α1, 0, …., 0) + (0, α2, …., 0) +…+ (0, 0,…, αn) = (α1, α2, …, αn) = a. Анықтама. а1,…, am векторлар жүйесінің сызықтық қабышасы деп осы жүйедегі векторлардың барлық сызықтық комбинацияларының жиыны аталады және L(а1,…, am) деп белгіленеді: L(а1,…, am) = {λ1a1 + …+ λmam | λ1,…, λm F}. Мысалы, n-өлшемді арифметикалық векторлық Fn кеністігінің кез келген векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болады, сондықтан Fn кеністігі бірлік векторлардан құралған e1, e2,…, en жүйесінің сызықтық қабықшасы болады: Fn = L(e1, e2,…, en). Анықтама. Егер а1,…, am векторлары үшін λ1a1 + …+ λmam = теңдігі орындалатын кейбіреуі нөлден өзгеше λ1,…, λm скалярлары табылса, онда. а1,…, am векторларының жүйесі сызықты тәуелді деп аталады.
Анықтама. Егер а1,…, am векторлары үшін кез келген λ1,…, λm скалярларына λ1a1 + …+ λmam = теңдігінен λ1 = 0, …, λm = 0 теңдіктері шықса, онда а1,…, am векторларының жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады,
Анықтама. Егер векторлардың a1 = (11, 12, …, 1r, …, 1n), a2 = (21, 22, …, 2n), ..., ar = (r1, r2, …, rn) координаталарынан құралған  матрицасы сатылы болса, онда векторлардың a1, a2, ..., ar жүйесі сатылы деп аталады.
Теорема 2. (Сызықтық тәуелділіктің және тәуелсіздіктің қасиеттері) 1. Бірлік e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), ..., en = (0, 0,…, 1) векторларынан құралған жүйе сызықты тәуелсіз болады. 2. Нөлдік векторды қамтитын жүйе сызықты тәуелді болады. 3. Векторлар жүйесінің кейбір ішжүйесі сызықты тәуелді болғанда, тек сонда ғана жүйе сызықты тәуелді болады. 4. Сызықты тәуелсіз векторлар жұйесінің кез келген ішжүйесі сызықты тәуелсіз болады. 5. а1,…, am векторларының бірі алғашқы векторларының сызықтық комбинациясы болғанда, тек сонда ғана а1,…, am векторларының жүйесі сызықты тәуелді болады. 6. Егер а1,…, am векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз және а1,…, am, b жүйесі сызықты тәуелді болса, онда b векторы а1,…, am векторлары арқылы бірмәнді сызықтық өрнектеледі. 7. Егер c L(а1,…, am) және а1,…, am L(b1,…, bk) болса, онда c L(b1,…, bk) 8. n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте n + 1 вектордан құралған жүйе сызықты тәуелді болады. 9. Сатылы векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болады. § 4. Векторлардың эквивалент жүйелері
1) кез келген T векторлардың жүйесіне T ~ T (рефлексивтік); 2) кез келген векторлардың S және T жүйелеріне S ~ T болса, онда T ~ S (симметриялылық); 3) егер кез келген векторлардың S, T және U жүйелеріне S ~ T және T ~ U болса, онда S ~ U (транзитивтік). Теорема 2. Векторлардың екі жүйесінің сызықтық қабықшалары тең болғанда, тек сонда ғана жүйелер эквивалент болады. Теорема 3. Егер a1,…, ak+1 L(b1,…, bk) болса, онда a1,…, ak+1 жүйесі сызықты тәуелді болады. Теорема 4. Егер a1,…, ak L(b1,…, bm) және a1,…, ak жүйесі сызықты тәуелсіз болса, онда k m. Теорема 5. Егер екі ақырлы векторлардың жүйесі эквивалент және екеуі де сызықты тәуелсіз болса, онда олардағы векторлардың саны бірдей болады. Анықтама. Ақырлы векторлар жүйесінің элементар түрлендіруі деп келесі түрлендірулер аталады: (α) жүйенің кейбір векторын нөлден өзгеше скалярға көбейту; (β) жүйенің бір векторын скалярға көбейтіп, екінші векторға қосу; (γ) нөлдік векторды жүйеге қосу немесе жүйеден алып тастау. Осы түрлендірулерге тағы біреуін қосуға болады: жүйедегі екі векторды орнымен алмастыру. Бұл түрлендіру берілген үш түрлендірудің туындысы болады, яғни үш түрлендіруді бірнеше рет қолданып, жүйенің екі векторын орындарымен алмастыруға болады. Мысалы, …, ai,…, aj,… векторлар жүйесі берілсе, онда ai, aj векторларын орындарымен алмастыру үшін келесі түрлендірулерді орындау керек: 1. Жүйедегі ai векторын (–1)-ге көбейтіп, aj векторына қосу. Нәтижесінде жаңа жүйе шығады: …, ai,…, aj – ai,… 2. Жаңа жүйедегі aj – ai векторын 1-ге көбейтіп, ai векторына қосу. Нәтижесі: …, aj,…, aj – ai,… 3. Соңғы жүйенің aj векторын (–1)-ге көбейтіп, aj – ai векторына қосу. Нәтижесі: …, aj,…, – ai,… 4. Соңғы жүйенің –ai векторын (–1)-ге көбейту. Нәтижесі: …, aj,…, ai,… Одан әрі элементар түрлендірулерге осы төртінші туынды түрлендіруді де қосамыз.
§ 5. Векторлардың ақырлы жүйесінің базисі және рангі Анықтама. Ақырлы векторлар жүйесінің базисі деп барлық жүйеге эквивалент және сызықты тәуелсіз ішжүйе аталады. Анықтамадан, базис сызықты тәуелсіз болатыны және жүйенің кез келген векторы базистік векторлар арқылы өрнектелетіні шығады. Теорема 1. Нөлден өзгеше векторы бар a1,…, am ақырлы жүйенің базисі табылады. Теорема 2. Ақырлы векторлар жүйесінің кез келген екі базисіндегі векторлардың саны тең болады. Мысал 1. Векторлардың а1 = (0, –1, 2, 1), а2 = (3, 1, –1, 0), а3 = (–6, –2, 2, 0) жүйесінің базисін табайық. а1 және а2 векторлары пропорционал емес, сондықтан олар сызықты тәуелсіз. Ал а3 = 0а1 + (–2)а2. Сондықтан а1, а2, а3 сызықты тәуелді. Сондықтан олар үшеуі базис құрмайды. Базисті екі вектор құрайды: {а1, а2} немесе {а1, а3}. Ал а2 және а3 векторлары пропорционал, сондықтан олар бір базиске кіре алмайды. Анықтама. Ақырлы векторлар a1,…, am жүйесінің рангі деп оның бір базисіндегі векторлардың саны аталады және r(a1,…, am) деп белгіленеді. Нөлдік векторлар жүйесінің рангі 0-ге тең деп есептеледі. 1-мысалада r(а1, а2, а3) = 2.
2. Ақырлы векторлар жүйесінің ішжүйесінің рангі барлық жүйенің рангінен аспайды. 3. Ақырлы эквивалент векторлар жүйелерінің рангтері тең болады. 4. n-өлшемді арифметикалық кеңістігінің кез келген ақырлы векторлар жүйесінің рангі n-нан аспайды. 5. Егер ақырлы векторлар жүйесінің рангі r болса, онда оның k векторынан құралған ішжүйесі k > r болғанда сызықты тәуелді. § 6. Сызықтық теңдеулер жүйесі Анықтама. F өрісіндегі x1,…, xn белгісізді (айнымалды) сызықтық теңдеулер жүйесі деп 11x1 + … + 1nxn = 1 . . . . . . . . . . (1) m1x1 + … + mnxn = m түріндегі жүйе аталады, мүндағы ik, βi скалярлар және i = 1,…, m, j = 1,…, n. Осы жүйені қысқаша жазуға болады: αi1x1 +…+ αinxn = βi (i = 1,…, m). ik скалярлары жүйенің коэффициенттері, βi скаляларлары жүйенің бос мүшелері деп аталады. ik коэффициентінде бірінші i индексі (көрсеткіші) теңдеудің нөмірін, екінші j индексі белгісіздің нөмірін көрсетеді және ол “альфа и жи” деп оқылады. Керек болса, осы индекстердің арасында үтір қоямыз: 12,3 және 1,23. Жүйеде жалғыз теңдеу бола алатынын ескертейік. Барлық бос мүшелері нөлге тең жүйе біртекті жүйе деп аталады: αi1x1 +…+ αinxn = 0 (i = 1,…, m), қарсы жағдайда жүйе біртекті емес деп аталады. Анықтама. Жүйенің шешімі деп жүйенің барлық теңдеулерін қанағаттандыратын (ξ1, …, ξn) векторы аталады, яғни αi1ξ1 +…+ αinξn = βi (i = 1,…, m) теңдіктерінің бәрі орындалса. Анықтама. Шешімі бар сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді деп аталады; қарсы жағдайды жүйе үйлесімсіз деп аталады. Егер үйлесімді жүйенің жалғыз шешімі болса, онда ол анықталған жүйе деп аталады. Егер жүйенің бірден артық шешімі болса, онда ол анықталмаған жүйе деп аталады. Сөйтіп, жүйенің үш түрі болады: 1) үйлесімсіз – шешімі жоқ; 2) анықталған – жалғыз шешімі бар; 3) анықталмаған – шешімі бар, бірақ шешімдер саны бірден артық Одан әрі анықталмаған жүйенің шешімдер саны ақырсыз екені көрсетіледі (егер скалярлар өрісі ақырсыз болса). Мысалы, (1, 2) векторы
2x1 + 4x2 = 10 жүйесінің шешімі болады, сондықтан ол үйлесімді болады, өйткені белгісіздердің орнына (1, 2) векторының координаталарын сәйкесінше қойса, онда теңдеулер теңдіктерге айналады: 1 + 22 = 5 21 + 42 = 10. Ал
x1 + 2x2 = 5 2x1 + 4x2 = 11, жүйесі үйлесімсіз болады, өйткені (, ) бірінші теңдеудің шешімі болса, онда + 2 = 5, ал екінші теңдеуге осы вектордың координаталарын қойса, онда 2 + 4 = 2( + 2) = 25 11. Сондықтан осы вектор екінші теңдеуді қанағаттандырмайды. Екі жүйе берілсін: αi1x1 +…+ αinxn = βi (i = 1,…, m) (1) және
γi1x1 +…+ γinxn = δi (i = 1,…, s). (2) Анықтама. Егер бірінші жүйенің кез келген шешімі екінші жүйенің шешімі болса, онда екінші жүйе бірінші жүйенің салдары деп аталады. Анықтама. Егер бірінші жүйенің кез келген шешімі екінші жүйенің де шешімі және екінші жүйенің кез келген шешімі бірінші жүйенің де шешімі болса, онда екі жүйе пара-пар деп аталады. Теорема 1. 1. Екі сызықтық теңдеулер жүйесінің әрбірі екіншінің салдары болғанда ғана, сонда ғана екі жүйе пара-пар болады. 2. Екі сызықтық теңдеулер жүйесінің әрбірінің шешімдер жиыны екіншінің шешімдер жиынына тең болғанда ғана және тек сонда ғана екі жүйе пара-пар болады. Анықтама. Сызықтық теңдеулер жүйесіне келесі элементар түрлендірулер қолданылады: 1) бір теңдеудің екі жағын нөлден өзгеше скалярға көбейту; 2) бір теңдеуінің екі жағын скалярға көбейтіп, басқа бір теңдеуінің сәйкес жақтарына қосу; 3) барлық коэффициенттері және бос мүшесі нөл болатын теңдеуді жүйеге қосу немесе жүйеден шығарып тастау. Теорема 2. Егер теңдеулер жүйесіне элементар түрлендіру қолданса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады. Бүл сандық теңдіктердің қасиеттерінен шығады. Теорема 3. Егер жүйенің бір теңдеуіне басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясын қосса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады. Теорема 4. Егер жүйенің бір теңдеуіне басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясы болатын теңдеуді алып тастаса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады. § 7. Матрицаның жолдық және бағандық рангтері Кез келген А =  матрицасының жолдарын F өрісіндегі n-өлшемді векторлар деп, ал бағандарын m-өлшемді векторлар деп қарауға болады. Сондықтан матрицаның жолдарына (бағандарына) n-өлшемді (m-өлшемді) векторларға қаралған үғымдар мен қасиеттерді қолдануға болады. Айталық, жолдардың сызықтық комбинациясы, жолдардың базисі, рангі т.б.
А матрицасының жолдық рангі деп оның сызықты тәуелсіз жолдарының саны аталады және r(A) деп белгіленеді, сызықты тәуелсіз бағандарының саны бағандық ранг деп аталады және ρ(А) деп белгіленеді. Сәйкесінше r(AT) және ρ(AT) деп AT аударылған матрицаның жолдық және бағандық рангтері белгіленеді. Біртекті теңдеулер жүйесі берілсін 11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . . m1x1 + … + mnxn = 0 Оның коэффициенттерінен құралған А = матрицасы жүйенің негізгі матрицасы деп аталады.
Теорема 1. Егер 11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . . k1x1 + … + knxn = 0 (1) . . . . . . . . . . m1x1 + … + mnxn = 0 біртекті жүйесі оның алғашқы k теңдеуінен құралған 11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . (2) k1x1 + … + knxn = 0 жүйесіне пара-пар болса, онда осы жүйелердің негізгі матрицаларының бағандық рангтері тең.
§ 8. Сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критериі Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін: 11x1 + … + 1nxn = 1 . . . . . . . . . . m1x1 + … + mnxn = m Жүйенің коэффициенттерінен құралған А = матрицасы жүйенің негізгі матрицасы деп аталады. Бос мүшелерден құралған b =  бағаны бос мүшелер бағаны деп аталады. Негізгі матрицаға бос мүшелер бағанын қосып жазса, онда жүйенің  =  кеңейтілген матрицасы шығады.
Теорема 1 (Кронеккер–Капелли). Сызықтық теңдеулер жүйесінің матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болғанда, яғни r(A) = r( ) болғанда, сонда ғана жүйе үйлесімді болады.
Гаусс тәсілі (белгісіздерді біртіндеп шығарып тастау тәсілі) бойынша сызықтық теңдеулер жүйесі былай шешіледі. Сызықтық теңдеулер (1)-жүйенің кеңейтілген  матрицасы сатылы түрге келтіреді. Егер оның рангі негізгі матрицаның рангіне тең болмаса, онда жүйе үйлесімсіз.
Егер кеңейтілген матрицаның r рангі негізгі матрицаның рангіне тең болса, онда жүйе үйлесімді. Егер r = n болса, онда сатылы матрицаға сәйкес жүйенің түрі 11x1 + 12x2 + … + 1nxn = 1 22x2 + … + 2nxn = 2 (4) . . . . . . . . . . nnxn = n болады, мұндағы ii 0, i = 1,..., n. Соңғы жалғыз xn белгісізіне қатысты nnxn = n теңдеуінде nn 0, сондықтан оның жалғыз шешімі болады: n =  .
Осы n шешімін төменнен жоғарыға қарай есептегенде екінші теңдеуге қояйық: n–1, n–1xn–1, + n–1,nn = n–1. Мұнда n–1,n–1 0, сондықтан оның жалғыз n–1 шешімі болады. Осыны төменнен жоғары қарай жалғастыра берсе, (4)-жүйенің жалғыз (1, 2,…, n) шешімі табылады. Сөйтіп, үйлесімді жүйенің кеңейтілген матрицаның r рангісі белгісіздердің n санына тең болса, онда жүйенің жалғыз шешімі болады, яғни жүйе анықталған болады. Енді r < n болсын. Онда жүйенің түрі 11x1 + 12x2 + … + 1rxr +… + 1nxn = 1 22x2 + … + 2rxr +… + 2nxn = 2 (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . nrxr +…+ nnxn = n болады, мұндағы ii 0, i = 1,..., r. Осы жүйедегі xr+1,…, xn белгісіздері бар мүшелер теңдеулердің оң жағына шығарылады:
. . . . . . . . . . . . . xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn. Осы жүйеде xr+1,…, xn белгісіздеріне (r+1, r+2,…, n) мәндерін берсе, онда x1,…, xr белгісіздеріне қатысты жүйенің рангі белгісіздердің санына тең. Сондықтан жүйенің x1,…, xr белгісіздеріне қатысты жалғыз шешімі болады: (1, 2,…, r). Онда (1, 2,…, n) векторы (4)-жүйенің шешімі болады. Енді (r+1, r+2,…, n) мәндерін өзгертсе, онда басқа (4)-жүйенің басқа (1, 2,…, n) шешімі табылады. Сонымен xr+1,…, xn белгісіздерінің мәндерін қанша өзгертсе, сонша (4)-жүйенің басқа шешімі табыла береді. Сондықтан егер r < n болса, онда (4)-жүйенің шешімдер саны ақырсыз болады, яғни жүйе анықталмаған болады. (6)-жүйе алғашқы (1)-жүйенің жалпы шешімі деп аталады. Жалпы шешімді векторлық түрде де жазуға болады: (1 + 1,r+1xr+1 +… + 1,nxn, x2 = 2 + 2,r+1xr+1 +… + 2,nxn, …, xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn, xr+1,…, xn). Ал xr+1,…, xn еркін белгісіздер және x1,…, xr – негізгі белгісіздер деп аталады. Жүйенің дербес шешімі жалпы шешімге еркін белгісіздерге мән бергенде табылады. Теорема 2. Үйлесімді (1)-жүйенің кеңейтілген матрицасының рангі r болсын. Егер r = n болса, онда жүйе анықталған болады. Егер r < n болса, онда жүйе анықталмаған болады. § 9. Біртекті теңдеулер жүйесі және оның қасиеттері Біртекті теңдеулер жүйесі берілсін: 11x1 + … + 1nxn = 0 . . . . . . . . . . (1) m1x1 + … + mnxn = 0 және оның негізгі матрицасы A болсын. Біртекті жүйе, қандай болса да, үйлесімді, өйткені оның нөлдік шешімі бар: (0, 0,..., 0). Біртекті жүйеге де, 8.2-теорема бойынша, келесі қасиеттер орындалады: 1) егер r(A) < n болса, онда жүйе анықталмаған, яғни шешімдер саны ақырсыз; 2) егер r(A) = n, онда жүйе анықталған, яғни жүйенің жалғыз нөлдік шешімі болады.
2. Егер с, d векторлары (1)-жүйенің шешімі болса, онда c + d қосындысы да жүйенің шешімі болады. 3. Біртекті жүйенің шешімдерінің кез келген сызықтық комбинациясы да біртекті жүйенің шешімі болады. Біртекті (1)-жүйенің шешімдер жиыны n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің ішжиыны болады. Оны L деп белгілейік. Біртекті сызықтық теңдеулердің шешімдерінің L жиынының кез келген базисі шешімдердің фундаментальды жүйесі деп аталады. Сөйтіп, a1, a2, …, as векторлары шешімдердің фундаментальды жүйесі болса, онда а) a1, a2, …, as шешімдері сызықты тәуелсіз болады; ә) жүйенің кез келген шешімі a1, a2, …, as шешімдерінің сызықтық комбинациясы болады. Егер біртекті жүйенің a1, a2, …, as фундаментальды жүйесі табылса, онда жүйенің кез келген шешімі a1, a2, …, as шешімдерінің сызықтық комбинациясы болады: 1a1 + 2a2 + …+ sas, мұндағы 1, 2, …, s кез келген скалярлар. Бұл жүйенің барлық шешімдерін қамтиды, сондықтан ол жүйенің жалпы шешімі деп аталады. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі Гаусс әдісімен шешіледі. 1. Әуелі жүйенің негізгі матрицасы сатылы түрге келтіріледі. Айталық, матрицаның рангі r болсын. 2. Одан кейін негізгі және еркін белгісіздер анықталады, мысалы:  .
3. Сатылы матрицаға сәйкес жүйеде еркін белгісіздер теңдеулердің оң жағына шығарылады және еркін белгісіздер параметрлер ретінде алынып, негізгі x1, x2,…, xr белгісіздерінің мәндері табылады. x1 = 1 + 1,r+1xr+1 +… + 1,nxn x2 = 2 + 2,r+1xr+1 +… + 2,nxn . . . . . . . . . . . . . xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn. Егер еркін белгісіздерге xr+1 = 1,r+1, xr+2 = 1,r+2,…, xт = 1,т мәндері берілсе, онда (1)-жүйенің a1 = (1,1, 1,2, …, 1,r, 1,r+1, …, 1,т) шешімі табылады. Енді еркін белгісіздерге басқа мән берсе, онда жүйенің басқа шешімі табылады: a2 = (2,1, 2,2, …, 2,r, 2,r+1, …, 2,т). Осылай жалғастыра берсе, жүйенің әртүрлі шешімдерінің тізбегін табуға болады:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak = (k,1, k,2, …, k,r, k,r+1, …, k,т). Кез келген k үшін табылған шешімдер жүйесінің рангін жоғарыдан бағалайық. Осы векторлардың координаталарынан құралған матрицаның түрі A =  болады. Мұнда тәуелсіз өзгеретін s = n – r мән: i,r+1, …, i,т. Сондықтан матрицаның рангі s санынан аспайды. Оған қоса, еркін белгісіздердің мәндерін, мысалы, мына s тәсілмен
a1 = (1,1, 1,2, …, 1,r, 1, 0, …, 0) a2 = (2,1, 2,2, …, 2,r, 0, 1, …, 0) (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak = (k,1, k,2, …, k,r, 0, 0, …, 1) деп алса, онда матрицаның рангі дәл s болады. Сөйтіп, біртекті жүйенің шешімдер жиынының рангі s = n – r болады. жүктеу 28,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау