Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	45/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 39 40 41 42 43 44 45 46 47

Теорема 2
Теорема 1

Анықтама. Анықтауыштың i-жолын және j-бағанын сызып тастағаннан кейін қалған анықтауыш _ij элементінің миноры деп аталады және M_ij деп белгіленеді.

Мысал. Егер Δ =

болса, онда ₃₂ элементінің миноры M₃₂ =

болады.

Анықтама. (–1)ⁱ⁺^jM_ij скаляры _ij элементінің алгебралық толықтауышы деп аталады және A_ij деп белгіленеді: A_ij = (–1)ⁱ⁺^jM_ij.

Мысалы, A₃₂ = (–1)³⁺²M₃₂ = –M₃₂.

Теорема 1. n-ретті анықтауыш бір жолдың элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең, n  2, яғни

 = | A | = _k₁A_k₁ +…+ _knA_kn.

Осы формула анықтауышты k-жолы бойынша жіктеу формуласы деп аталады.

Теорема 2. Анықтауыштың бір жолындағы элементтердің басқа жолдағы сәйкес элементтердің алгебралық толықтауыштарына көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.

Теорема (Лаплас). n-ретті анықтауыштың k жолы белгіленсін, 1  k < n. Онда белгіленген жолдардағы барлық k-ретті минорлардың алгебралық толықтауыштарына көбейтінділердің қосындысы анықтауышқа тең.

§ 9. Матрицалар көбейтіндісінің анықтауышы

Теорема 1. n-ретті A, B матрицалары берілсін, n > 1. Егер A матрицасының нөлдік жолы болса, онда матрицалардың AB көбейтіндісінде де нөлдік жол болады.

Теорема 2. Матрицалардың көбейтіндісінің анықтауышы көбейткіштердің анықтауыштарының көбейтіндісіне тең: | AB | = | A |  | B |.

Мысал.

= (x₂ – x₁)(y₂ – y₁).

§ 11. Кері матрица

Теорема 1. А матрицасы ерекше болғанда ғана, сонда ғана А матрицасының анықтауышы нөлге тең.

Теорема 2. А =

ерекше емес матрица және _ij элементінің алгебралық толықтауышы A_ij болсын, i, j = 1, 2,…, n. Онда

A^–1 =

. (1)

§ 12. Крамер ережесі

n белгісізді сызықтық n теңдеулердің жүйесі берілсін

₁₁x₁ + … + ₁_nx_n = ₁

. . . . . . . . . . (1)

_n₁x₁ + … + _n_nx_n = _n,

сонымен бірге оның негізгі А =

матрицасы ерекше емес болсын.

Онда жүйенің матрицалық түрі AX = b болады, мұндағы b =

бос мүшелердің бағаны және X =

, белгісіздердің бағаны.

5.1-теорема бойынша жүйенің жалғыз шешімі X = A^–1b формуласымен табылады. Осыдан, 11.2-теорема бойынша,



яғни

x₁ =

(A₁₁₁ + A₂₁₂ +…+ A_n₁_n),

x₂ =

(A₁₂₁ + A₂₂₂ +…+ A_n₂_n),

                 

x_n =

(A₁_n₁ + A₂_n₂ +…+ A_nn_n).

Бірінші теңдіктің оң жағындағы жақшадағы өрнекті ₁A₁₁ + ₂A₂₁ +…+ _nA_n₁ түрінде жазса, онда осы өрнек А₁ =

матрицасының анықтауышының бірінші бағаны бойынша жіктеуі болады. Ал А₁ матрицасы А матрицасының бірінші бағаны бос мүшелер бағанымен ауыстырғанда шығады. Осыған ұқсас А₂ матрицасы А матрицасының екінші бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстырғанда шығады және т.с.с. Осыдан

x₁ =

, x₂ =

,…, x_n =

Сонымен келесі теорема дәлелденді.

Теорема 1 (Крамер ережесі). Егер n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше болса, онда жүйенің жалғыз шешімі болады және шешім

x₁ =

, x₂ =

,…, x_n =

формулаларымен беріледі, мұндағы | A_i| анықтауышы | A | анықтауышының i-бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстырғаннан кейін шыққан анықтауыш.

III-ТАРАУ. Векторлық кеңістіктер

§ 1. Векторлық кеңістіктің анықтамасы және мысалдары

Осы тарауда арнайы ескертілмесе F скалярлар өрісі болады, мысалы, нақты сандар өрісі.

Анықтама. F өрісіндегі векторлық кеңістік деп элементтері векторлар деп аталатын және қосу операциясы мен элементтерін скалярға көбейту анықталған және келесі 8 қасиет орындалатын V жиыны аталады. V жиынының:

1. Кез келген a, b, c векторларына (a + b) + c = a + (b + c) – ассоциативтік заң.

2. Кеңістіктің барлық a векторларына

+ a = a +

= a теңдіктері орындалатын

векторы табылады – нөлдік вектордың табылатындығы.

3. Кез келген a векторына a + b = b + a =

теңдіктері орындалатын b векторы табылады – қарама-қарсы вектордың табылатындығы.

4. Кез келген a, b векторларына a + b = b + a – коммутативтік заң.

5. Кез келген a векторы үшін 1 a = a.

6. Кез келген a векторына және кез келген ,  скалярларына (a) = ()a.

7. Кез келген a векторына және кез келген ,  скалярларына ( + )a = a + a.

8. Кез келген a, b векторларына және кез келген  скалярына  (a + b) = a + b.

Осы 8 қасиет векторлық кеңістіктің аксиомалары деп аталады. Екінші аксиомадағы

векторы нөлдік вектор, үшінші аксиомадағы b векторы a векторына қарама-қарсы вектор деп аталады және –a деп белгіленеді.

Кей кезде векторлық кеңістік сызықтық кеңістік деп аталады.

Теорема 1. F өрісіндегі кез келген векторлық кеңістігіне келесі қасиеттер орындалады:

1°. Нөлдік вектор жалғыз болады.

2. Кез келген векторға қарама-қарсы вектор жалғыз болады.

3°. Кез келген a векторына 0  a =

.

4°. Кез келген  скалярына  

.

5°. Егер   a =

онда  = 0 немесе a =

6°. (–)  а = –(  a).

7°.  (–а) = – а.

8°. (a – b) = a – b.

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 39 40 41 42 43 44 45 46 47