Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	43/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 39 40 41 42 43 44 45 46 47

Теорема 2. Егер біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының рангі r болса, онда шешімдердің фундаментальды жүйесіндегі векторлар саны s = n – r болады.

II-Тарау. Матрицалар және анықтауыштар

§ 1. Матрицаларға қолданылатын операциялар және олардың қасиеттері

I-Тарауда матрицалар сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге қолданылған. Екі матрицаны қосу және матрицаны скалярға көбейту амалдары қаралған. Енді осы амалдармен бірге матрицаларды көбейту операциясы қаралады.

F өрісіндегі m  n-матрица берілсін

А =

мұндағы m – жолдардың, n – бағандардың саны.

Қысқаша матрица A = (_ij ) деп белгіленеді.

Егер m = n болса, А матрицасы n-ретті квадрат матрица деп аталады.

Егер бір матрицаның жолдарының саны және бағандарының саны сәйкесінше екінші матрицаның жолдарының санына және бағандарының санына тең болса, онда матрицалардың өлшемдігі тең деп есептеледі.

F өрісіндегі m  n-матрицалардың жиыны M_m_,_n(F) деп және n-ретті квадрат матрицалардың жиыны M_n(F) деп белгіленеді.

А матрицасының жолдары және бағандары

A_i = (_i₁, _i₂,…, _in) – i-жол; A^k =

– k-баған,

деп белгіленеді.

Егер өлшемдігі тең A = (_ik) және B = (_ik) матрицаларына кез келген i және k индекстері үшін _ik = _ik болса, онда матрицалар тең деп есептеледі.

Өлшемдігі тең екі матрицаны қосу үшін сәйкес элементтерді қосу керек: (i, k)-орнындағы элемент _ik + _ik болады, яғни А + В = (_ik + _ik).

Мысалы,

Барлық элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады және  деп белгіленеді

Матрицаны λ скалярына көбейту үшін оның барлық элементтерін λ-ға көбейту керек: λА = (λ_ik).

Мысалы, 3

.

Теорема 1. F өрісіндегі mn-матрицаларына келесі қасиеттер орындалады:

1. Кез келген A, B, C матрицаларына A + (B + C) = (A + B) + C – қосудың ассоциативтігі.

2. Барлық A матрицаларына A +  = A және  + A = A – нөлдік матрицаның қасиеті.

3. Кез келген A матрицасына A + B =  және B + A =  болатындай B матрицасы табылады – қарама-қарсы матрицаның табылатындығы.

4. Кез келген A, B матрицаларына A + B = B + A – қосудың коммутативтігі.

5. Кез келген A матрицасына 1A = A.

6. Кез келген A матрицасына және , . скалярларына ()A = (A).

7. Кез келген A, B матрицаларына және кез келген . скалярына (A + B) = A + B.

8. Кез келген A матрицасына және кез келген ,  скалярларына ( + )A = A + A.

§ 2. Матрицаларды көбейту

А =

және В =

матрицалары берілсін және А матрицасының бағандар саны В матрицасының жолдарының санына тең болсын.

А матрицасының А_i жолының B матрицасының B ^j бағанына көбейтіндісі:

A_i  B^j = (_i₁, _i₂,…, _in)

= _i₁₁_j + _i₂₂_j +…+ _in_nj =

деп анықталады.

Басқа сөзбен айтқанда, А_i жолының элементтері B^j бағанының сәйкес элементтеріне көбейтіліп қосылады.

Айталық, (1, 2, 3, 4)

= 15 + 26 + 37 + 48 = 70.

А матрицасының өлшемдігі mn және В матрицасының өлшемдігі nk болсын. Онда A матрицасының B матрицасына көбейтіндісінің (i, j)-орнындағы элемент A_iB^j болатын mk-матрица аталады, атап айтқанда,

AB =

.

Матрицаларды көбейткенде өлшемдіктерді былай есептеуге болады:

және

m	A		n	B	=	AB
	n			k		k

Мысалы,



.

Егер A =

, B =

болса, онда АВ =

, ВА =

. Сондықтан АВ  ВА, яғни матрицалардың көбейтуі коммутатив операция болмайды.

Сонымен бірге, A =

және В =

болса, онда АВ көбейтіндісі болады және ВА болмайды.

Одан әрі квадрат матрицаларды қараймыз.

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 39 40 41 42 43 44 45 46 47