Анықтама. Анықтауыштың i-жолын және j-бағанын сызып тастағаннан кейін қалған анықтауыш ij элементінің миноры деп аталады және Mij деп белгіленеді.
Мысал. Егер Δ = болса, онда 32 элементінің миноры M32 = болады.
Анықтама. (–1)i+jMij скаляры ij элементінің алгебралық толықтауышы деп аталады және Aij деп белгіленеді: Aij = (–1)i+jMij.
Мысалы, A32 = (–1)3+2M32 = –M32.
Теорема 1. n-ретті анықтауыш бір жолдың элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең, n 2, яғни
= | A | = k1Ak1 +…+ knAkn.
Осы формула анықтауышты k-жолы бойынша жіктеу формуласы деп аталады.
Теорема 2. Анықтауыштың бір жолындағы элементтердің басқа жолдағы сәйкес элементтердің алгебралық толықтауыштарына көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.
Теорема (Лаплас). n-ретті анықтауыштың k жолы белгіленсін, 1 k < n. Онда белгіленген жолдардағы барлық k-ретті минорлардың алгебралық толықтауыштарына көбейтінділердің қосындысы анықтауышқа тең.
§ 9. Матрицалар көбейтіндісінің анықтауышы
Теорема 1. n-ретті A, B матрицалары берілсін, n > 1. Егер A матрицасының нөлдік жолы болса, онда матрицалардың AB көбейтіндісінде де нөлдік жол болады.
Теорема 2. Матрицалардың көбейтіндісінің анықтауышы көбейткіштердің анықтауыштарының көбейтіндісіне тең: | AB | = | A | | B |.
Мысал. = = (x2 – x1)(y2 – y1).
§ 11. Кері матрица
Теорема 1. А матрицасы ерекше болғанда ғана, сонда ғана А матрицасының анықтауышы нөлге тең.
Теорема 2. А = ерекше емес матрица және ij элементінің алгебралық толықтауышы Aij болсын, i, j = 1, 2,…, n. Онда
A–1 = = . (1)
§ 12. Крамер ережесі
n белгісізді сызықтық n теңдеулердің жүйесі берілсін
11x1 + … + 1nxn = 1
. . . . . . . . . . (1)
n1x1 + … + nnxn = n,
сонымен бірге оның негізгі А = матрицасы ерекше емес болсын.
Онда жүйенің матрицалық түрі AX = b болады, мұндағы b = бос мүшелердің бағаны және X = , белгісіздердің бағаны.
5.1-теорема бойынша жүйенің жалғыз шешімі X = A–1b формуласымен табылады. Осыдан, 11.2-теорема бойынша,
= ,
яғни
x1 = (A111 + A212 +…+ An1n),
x2 =(A121 + A222 +…+ An2n),
xn = (A1n1 + A2n2 +…+ Annn).
Бірінші теңдіктің оң жағындағы жақшадағы өрнекті 1A11 + 2A21 +…+ nAn1 түрінде жазса, онда осы өрнек А1 = матрицасының анықтауышының бірінші бағаны бойынша жіктеуі болады. Ал А1 матрицасы А матрицасының бірінші бағаны бос мүшелер бағанымен ауыстырғанда шығады. Осыған ұқсас А2 матрицасы А матрицасының екінші бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстырғанда шығады және т.с.с. Осыдан
x1 = , x2 = ,…, xn = .
Сонымен келесі теорема дәлелденді.
Теорема 1 (Крамер ережесі). Егер n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше болса, онда жүйенің жалғыз шешімі болады және шешім
x1 = , x2 = ,…, xn = .
формулаларымен беріледі, мұндағы | Ai | анықтауышы | A | анықтауышының i-бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстырғаннан кейін шыққан анықтауыш.
III-ТАРАУ. Векторлық кеңістіктер
§ 1. Векторлық кеңістіктің анықтамасы және мысалдары
Осы тарауда арнайы ескертілмесе F скалярлар өрісі болады, мысалы, нақты сандар өрісі.
Анықтама. F өрісіндегі векторлық кеңістік деп элементтері векторлар деп аталатын және қосу операциясы мен элементтерін скалярға көбейту анықталған және келесі 8 қасиет орындалатын V жиыны аталады. V жиынының:
1. Кез келген a, b, c векторларына (a + b) + c = a + (b + c) – ассоциативтік заң.
2. Кеңістіктің барлық a векторларына + a = a + = a теңдіктері орындалатын векторы табылады – нөлдік вектордың табылатындығы.
3. Кез келген a векторына a + b = b + a = теңдіктері орындалатын b векторы табылады – қарама-қарсы вектордың табылатындығы.
4. Кез келген a, b векторларына a + b = b + a – коммутативтік заң.
5. Кез келген a векторы үшін 1 a = a.
6. Кез келген a векторына және кез келген , скалярларына (a) = ()a.
7. Кез келген a векторына және кез келген , скалярларына ( + )a = a + a.
8. Кез келген a, b векторларына және кез келген скалярына (a + b) = a + b.
Осы 8 қасиет векторлық кеңістіктің аксиомалары деп аталады. Екінші аксиомадағы векторы нөлдік вектор, үшінші аксиомадағы b векторы a векторына қарама-қарсы вектор деп аталады және –a деп белгіленеді.
Кей кезде векторлық кеңістік сызықтық кеңістік деп аталады.
Теорема 1. F өрісіндегі кез келген векторлық кеңістігіне келесі қасиеттер орындалады:
1°. Нөлдік вектор жалғыз болады.
2. Кез келген векторға қарама-қарсы вектор жалғыз болады.
3°. Кез келген a векторына 0 a = .
4°. Кез келген скалярына = .
5°. Егер a = онда = 0 немесе a = .
6°. (–) а = –( a).
7°. (–а) = – а.
8°. (a – b) = a – b.
Достарыңызбен бөлісу: |