Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II


п-дəрежелі бірінші ретті теңдеулер



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет32/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

11.1. п-дəрежелі бірінші ретті теңдеулер
Теңдеудің сол жағы 
у
/
-ке қатысты бүтін рационал функциямен 
кескінделеді, атaп айтқанда 
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
y
p y
p y
p y
p y
1
2
1
2
1
...
0



′ +

+

+ +
′ +
=
түріндегідей жазылады, мұнда 
п 
– бүтін сан, ал 
n
n
p p
p
p
1
2
1
, ,...
,

 - 
айнымалы 

жəне 
у-
тің функциялары. Осы теңдеуді 
у
/
-ке қатысты 
шешуге болады деп ұйғарайық. Мұндайда 
у
/
 үшін, жалпы алғанда
п 
түрлі 
( )
y
f x у
1
,
′ =
,
 
( )
y
f x у
2
,
′ =
, ... , 
( )
n
y
f x у
,
′ =
           
(
4.62
)
өрнектері пайда болады. Осы жағдайда (4.61) теңдеуін инте-
гралдау (4.60)
 
түріндегі 1-дəрежелі 
п
 теңдеуді интегралдауға 
келтіріледі. Олардың жалпы интегралдары сəйкесінше 
(
)
Ф x у C
1
1
, ,
0
=

(
)
Ф x у C
2
2
, ,
0
=
, ... ,
(
)
n
n
Ф x у C
, ,
0
=
            (
4.63
)
түріндегідей болсын. (4.63) интегралдарының сол жақтарын бір-
біріне көбейтіп, көбейтіндіні 0-ге теңестірейік:
(
)
Ф x у C
1
1
, ,
(
)
Ф x у C
2
2
, ,

(
)
n
n
Ф x у C
...
, ,
0

=
             
(
4.64
)
Егер (4.64) теңдеуін 
у
-ке қатысты шешсек, онда (4.61) тең-
деуінің шешімін аламыз. Шынында,
 
(4.64) теңдеуінің кез кел-
ген шешімі (4.63) теңдеулерінің біреуін, демек (4.61) теңдеуінің 
жіктемесіне енген (4.60) түріндегі теңдеулердің біреуін жəне олай 
болса (4.61) теңдеуінің өзін де қанағаттандырады. Жалпылықты 


127
кемітпей (4.64) теңдеуіндегі барлық 
n
C C
C
1
2
,
,...,
 тұрақтыларын 
жалғыз 
С
-мен алмастырып, оны 
(
)
Ф x у C
1
, ,
(
)
Ф x у C
2
, ,

(
)
n
Ф x у C
...
, ,
0

=
            
 (4.65)
түрінде жазуға болады. (4.65) теңдеуі (4.61) теңдеуінің жалпы ин-
тегралы болып табылады.
Мысал

dy
xy
dx
a
2
2
0

=






 теңдеуінің жалпы интегралын табу та-
лап етіледі.
Шешімі

теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктеп,
xy
xy
y
y
a
a
0
′ −
′ +
=

 


 


 

болатынын табамыз. Бұдан 
xy
y
a
0
′ −
=
 жəне 
xy
y
a
0
′ +
=
. Осы 
теңдеулердің екеуі де айнымалылары айырылатын теңдеулер. 
Олардың жалпы интегралдары 
x x
x x
y
C
y
C
a
a
0,
0.
3
3

− =
+
− =
Сондықтан бастапқы теңдеудің жалпы интегралы
(
)
x
y C
a
3
2
2
0.
9


=
11.2.  у-ке қатысты шешілген жəне х-ті қамтымайтын 
теңдеу
Мұндай теңдеу түрі
( )
y
y
ϕ
=

                                     (4.66)
Осы жағдайда параметр енгізу əдісін қолданған тиімді. Əдістің 
мағынасы – қарастырылатын айнымалылардың параметр арқылы 
өрнектелуінде жəне шешім параметрлік түрде ізделуінде жатыр.
у

= р 
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз 


128
( )
y
p
ϕ
=
                                      (4.67)
қалпына келеді. Егер 
х-
ті 
р 
жəне
 С
 арқылы өрнектейтін тағы бір 
теңдеуге қол жеткізсек, онда осы қос теңдеу, параметрлік түрде 
кескінделген (4.66) теңдеуінің жалпы шешімі болып табыла-
ды. Олардан 
р 
параметрінен құтылып, 
х

у 
жəне
 С 
арасындағы 
тəуелділікке, атaп айтқанда əдеттегі нұсқадағы жалпы интегралға 
қол жеткіземіз. Екінші теңдеуді былайша табуға болады. 
у

= р
 
теңдігін 
dy
dx
p
=
 түрінде көшіріп жазамыз; одан 
dy
x
C
p
.
=
+

 
dy
p

 
 
интегралына  бөлшектеп   интегралдау  формуласын 
қолданамыз; сонда 
( )
p dp
dy
y
ydp
y
p
p
p
p
p
2
2
ϕ
=
+
=
+



Демек
( )
p dp
y
x
C
p
p
2
ϕ
=
+
+

                           (4.68)
(4.68) жəне (4.67) теңдеулер жүйесі (4.66) теңдеуінің параметр-
лік түрде кескінделген жалпы шешімі болып табылады. Осы 
теңдеулерден (мүмкін болғанда) 
р 
параметрінен құтылып, жалпы 
интегралды
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
түрінде шығарып аламыз.
Мысал.
 
( )
( )
y
y
y
2
3
2
= ′ +

 
теңдеуінің жалпы шешімін пара-
метрлік түрде табу талап етіледі.
Шешімі
. у

= р 
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз 
y
p
p
2
3
2
=
+
қалпына келеді. 
х 
бойынша дифференциалдап 
(
)
dp
y
p
p
dx
2
2
6
′ =
+
 


129
немесе 
у

= р 
болғандықтан, 
р
-ға қысқартып, 
(
)
dp
p
dx
1
2 6
=
+
 
теңдеуін аламыз. Бұдан 
(
)
dx
p dp
2 6
=
+
 жəне 
x
p
p
C
2
2
3
.
=
+
+
 
Жалпы шешімі
x
p
p
C
y
p
p
2
2
3
2
3
,
2
=
+
+
=
+



түрінде жазылады. Мұнда 
p
0

 деп ұйғарылған. Егер де 
р = 

болса, онда ол 
у C
=
 шешімін береді. Бұл шешім теңдеуді 
С = 

болғанда ғана қанағаттандырады.
11.3.  х-ке қатысты шешілген жəне у-ті қамтымайтын 
теңдеу
Мұндай теңдеу түрі 
( )
х
y
ϕ
=

.                                    (4.69)
Алдыңғыға ұқсас 
у

= р 
деп ұйғарамыз. Сонда теңдеу 
( )
х
p
ϕ
=
                                    
  (4.70)
түрінде жазылады. 
у

= р 
теңдігін 
dy
рdx
=
 түрінде көшіріп жаза-
мыз. Бұдан 
у
рdx
px
xdр
=
=



 немесе 
( )
( )
у
р
p
p dp C
ϕ
ϕ
=

+

                        (4.71)
болатыны шығады. (4.70) жəне (4.71) теңдеулер жүйесі (4.69) 
теңдеуінің параметрлік түрде кескінделген жалпы шешімі болып 
табылады. Олардағы 
р-
дан құтылып, 
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
 жалпы инте-
гралын шығарып аламыз. Айта кетер жайт: (4.67), (4.68), (4.70) 
жəне (4.71) теңдіктеріндегі 
р 
айнымалысы еркін параметр орнын-
да жүргендіктен, кез келген басқа əріппен алмастыруға болады. 
Мысал
.
 
х
y
y
sin
= ′

 
теңдеуінің жалпы шешімін параметрлік 
түрде табу талап етіледі.
Шешімі.
  у

= р 
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз 
x
p
p
sin
=
 
қалпына келеді. 
у

= р 
теңдігін 
dy
рdx
=
 түріне келтіреміз.
рdx
px
xdр
рх
p
pdр
sin
=

=

=



9–454


130
рх p
p
pdр
рх p
p
p C
cos
cos
cos
sin
=
+

=
+

+

болғандықтан, 
у
рх p
p
p C
cos
sin
=
+

+
 болып, жалпы шешім
x
p
p
у
р
p p
p
p C
2
sin ,
sin
cos
sin
=
=
+

+



түріне келеді.
11.4.  х немесе у-ті қамтымайтын жəне у немесе
х-ке қатысты шешілуі міндетті емес теңдеу
Теңдеу түрі 
немесе                                  
(
)
(
)
F у y
F x y
,
0,
,
0.
′ =
′ =
                                  
(4.72)
Мұнда 1-теңдеуден 
у
-ті немесе 2-теңдеуден 
х
-ті жəне 
у

= р
параметрін 

параметрі арқылы өрнектеуге болады деп ұйғара-
йық. 2) жəне 3) жағдайларына ұқсас теңдеудің жалпы шешімі 
параметрлік түрде табылады. 
Мəселен, 
( )
F у р
,
0
=
 теңдеуін қарастырайық. 
( )
у
t
ϕ
=
 
деп ұйғарып, теңдеуден 
( )
p
t
ψ
=
-ны таптық немесе керісінше 
( )
p
t
ψ
=
 деп ұйғарып, теңдеуден 
( )
у
t
ϕ
=
-ны таптық деп 
болжайық. Сонда, бір жағынан, 
( )
dy
рdx
t dx
,
ψ
=
=
 ал екінші 
жағынан, 
( )
dy
рdx
t dt
.
ϕ
=
= ′
 Енді 
dy 
үшін жазылған соңғы 
өрнектерді салыстырғаннан 
( )
( )
t dx
t dt
ψ
ϕ
= ′
 болатынын көреміз. 
Одан 
( )
( )
t
dx
dt
t
ϕ
ψ

=
 жəне 
( )
( )
t
x
dt С
t
.
ϕ
ψ

=
+

 Олай болса параметрлік 
нұсқадағы жалпы шешім
( )
( )
( )
t
x
dt С
t
у
t
,
ϕ
ψ
ϕ


=
+



=


                              (4.73)
түріндегідей жазылады.


131
Мысал.
 
( )
y
а
y
2
1
=
+ ′
 теңдеуінің жалпы шешімін табу та-
лап етіледі.
Шешімі
. у

= р=sht 
деп ұйғарамыз; сонда 
y
а
sh t
acht
2
1
.
=
+
=
dy
р
dx
=
 теңдігінен 
dy
dx
p
=
 теңдігі шығады. 
dy
ashtdt
=
 
болғандықтан, онда 

adt
=
 жəне 
х
at С
.
=

 Параметрлік кес-
кіндегі жалпы шешім
х
at С
y
acht
,
=

=



түрінде жазылады. 

параметрінен құтылайық. Ол үшін 1-тең-
деуден табылған 
(
)
t
х С а
/
=
+
 
мəнін 2-теңдеуге енгіземіз. Сонда
х С
y
ach
а
+
=
.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау