11.1. п-дəрежелі бірінші ретті теңдеулер
Теңдеудің сол жағы
у
/
-ке қатысты бүтін рационал функциямен
кескінделеді, атaп айтқанда
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
y
p y
p y
p y
p y
1
2
1
2
1
...
0
−
−
−
′ +
′
+
′
+ +
′ +
=
түріндегідей жазылады, мұнда
п
– бүтін сан, ал
n
n
p p
p
p
1
2
1
, ,...
,
−
-
айнымалы
x
жəне
у-
тің функциялары. Осы теңдеуді
у
/
-ке қатысты
шешуге болады деп ұйғарайық. Мұндайда
у
/
үшін, жалпы алғанда,
п
түрлі
( )
y
f x у
1
,
′ =
,
( )
y
f x у
2
,
′ =
, ... ,
( )
n
y
f x у
,
′ =
(
4.62
)
өрнектері пайда болады. Осы жағдайда (4.61) теңдеуін инте-
гралдау (4.60)
түріндегі 1-дəрежелі
п
теңдеуді интегралдауға
келтіріледі. Олардың жалпы интегралдары сəйкесінше
(
)
Ф x у C
1
1
, ,
0
=
,
(
)
Ф x у C
2
2
, ,
0
=
, ... ,
(
)
n
n
Ф x у C
, ,
0
=
(
4.63
)
түріндегідей болсын. (4.63) интегралдарының сол жақтарын бір-
біріне көбейтіп, көбейтіндіні 0-ге теңестірейік:
(
)
Ф x у C
1
1
, ,
(
)
Ф x у C
2
2
, ,
⋅
(
)
n
n
Ф x у C
...
, ,
0
⋅
=
(
4.64
)
Егер (4.64) теңдеуін
у
-ке қатысты шешсек, онда (4.61) тең-
деуінің шешімін аламыз. Шынында,
(4.64) теңдеуінің кез кел-
ген шешімі (4.63) теңдеулерінің біреуін, демек (4.61) теңдеуінің
жіктемесіне енген (4.60) түріндегі теңдеулердің біреуін жəне олай
болса (4.61) теңдеуінің өзін де қанағаттандырады. Жалпылықты
127
кемітпей (4.64) теңдеуіндегі барлық
n
C C
C
1
2
,
,...,
тұрақтыларын
жалғыз
С
-мен алмастырып, оны
(
)
Ф x у C
1
, ,
(
)
Ф x у C
2
, ,
⋅
(
)
n
Ф x у C
...
, ,
0
⋅
=
(4.65)
түрінде жазуға болады. (4.65) теңдеуі (4.61) теңдеуінің жалпы ин-
тегралы болып табылады.
Мысал
.
dy
xy
dx
a
2
2
0
−
=
теңдеуінің жалпы интегралын табу та-
лап етіледі.
Шешімі
.
теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктеп,
xy
xy
y
y
a
a
0
′ −
′ +
=
болатынын табамыз. Бұдан
xy
y
a
0
′ −
=
жəне
xy
y
a
0
′ +
=
. Осы
теңдеулердің екеуі де айнымалылары айырылатын теңдеулер.
Олардың жалпы интегралдары
x x
x x
y
C
y
C
a
a
0,
0.
3
3
−
− =
+
− =
Сондықтан бастапқы теңдеудің жалпы интегралы
(
)
x
y C
a
3
2
2
0.
9
−
−
=
11.2. у-ке қатысты шешілген жəне х-ті қамтымайтын
теңдеу
Мұндай теңдеу түрі
( )
y
y
ϕ
=
′
(4.66)
Осы жағдайда параметр енгізу əдісін қолданған тиімді. Əдістің
мағынасы – қарастырылатын айнымалылардың параметр арқылы
өрнектелуінде жəне шешім параметрлік түрде ізделуінде жатыр.
у
/
= р
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз
128
( )
y
p
ϕ
=
(4.67)
қалпына келеді. Егер
х-
ті
р
жəне
С
арқылы өрнектейтін тағы бір
теңдеуге қол жеткізсек, онда осы қос теңдеу, параметрлік түрде
кескінделген (4.66) теңдеуінің жалпы шешімі болып табыла-
ды. Олардан
р
параметрінен құтылып,
х
,
у
жəне
С
арасындағы
тəуелділікке, атaп айтқанда əдеттегі нұсқадағы жалпы интегралға
қол жеткіземіз. Екінші теңдеуді былайша табуға болады.
у
/
= р
теңдігін
dy
dx
p
=
түрінде көшіріп жазамыз; одан
dy
x
C
p
.
=
+
∫
dy
p
∫
интегралына бөлшектеп интегралдау формуласын
қолданамыз; сонда
( )
p dp
dy
y
ydp
y
p
p
p
p
p
2
2
ϕ
=
+
=
+
∫
∫
∫
Демек
( )
p dp
y
x
C
p
p
2
ϕ
=
+
+
∫
(4.68)
(4.68) жəне (4.67) теңдеулер жүйесі (4.66) теңдеуінің параметр-
лік түрде кескінделген жалпы шешімі болып табылады. Осы
теңдеулерден (мүмкін болғанда)
р
параметрінен құтылып, жалпы
интегралды
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
түрінде шығарып аламыз.
Мысал.
( )
( )
y
y
y
2
3
2
= ′ +
′
теңдеуінің жалпы шешімін пара-
метрлік түрде табу талап етіледі.
Шешімі
. у
/
= р
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз
y
p
p
2
3
2
=
+
қалпына келеді.
х
бойынша дифференциалдап
(
)
dp
y
p
p
dx
2
2
6
′ =
+
129
немесе
у
/
= р
болғандықтан,
р
-ға қысқартып,
(
)
dp
p
dx
1
2 6
=
+
теңдеуін аламыз. Бұдан
(
)
dx
p dp
2 6
=
+
жəне
x
p
p
C
2
2
3
.
=
+
+
Жалпы шешімі
x
p
p
C
y
p
p
2
2
3
2
3
,
2
=
+
+
=
+
түрінде жазылады. Мұнда
p
0
≠
деп ұйғарылған. Егер де
р =
0
болса, онда ол
у C
=
шешімін береді. Бұл шешім теңдеуді
С =
0
болғанда ғана қанағаттандырады.
11.3. х-ке қатысты шешілген жəне у-ті қамтымайтын
теңдеу
Мұндай теңдеу түрі
( )
х
y
ϕ
=
′
. (4.69)
Алдыңғыға ұқсас
у
/
= р
деп ұйғарамыз. Сонда теңдеу
( )
х
p
ϕ
=
(4.70)
түрінде жазылады.
у
/
= р
теңдігін
dy
рdx
=
түрінде көшіріп жаза-
мыз. Бұдан
у
рdx
px
xdр
=
=
−
∫
∫
немесе
( )
( )
у
р
p
p dp C
ϕ
ϕ
=
−
+
∫
(4.71)
болатыны шығады. (4.70) жəне (4.71) теңдеулер жүйесі (4.69)
теңдеуінің параметрлік түрде кескінделген жалпы шешімі болып
табылады. Олардағы
р-
дан құтылып,
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
жалпы инте-
гралын шығарып аламыз. Айта кетер жайт: (4.67), (4.68), (4.70)
жəне (4.71) теңдіктеріндегі
р
айнымалысы еркін параметр орнын-
да жүргендіктен, кез келген басқа əріппен алмастыруға болады.
Мысал
.
х
y
y
sin
= ′
′
теңдеуінің жалпы шешімін параметрлік
түрде табу талап етіледі.
Шешімі.
у
/
= р
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз
x
p
p
sin
=
қалпына келеді.
у
/
= р
теңдігін
dy
рdx
=
түріне келтіреміз.
рdx
px
xdр
рх
p
pdр
sin
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
9–454
130
рх p
p
pdр
рх p
p
p C
cos
cos
cos
sin
=
+
−
=
+
−
+
∫
болғандықтан,
у
рх p
p
p C
cos
sin
=
+
−
+
болып, жалпы шешім
x
p
p
у
р
p p
p
p C
2
sin ,
sin
cos
sin
=
=
+
−
+
түріне келеді.
11.4. х немесе у-ті қамтымайтын жəне у немесе
х-ке қатысты шешілуі міндетті емес теңдеу
Теңдеу түрі
немесе
(
)
(
)
F у y
F x y
,
0,
,
0.
′ =
′ =
(4.72)
Мұнда 1-теңдеуден
у
-ті немесе 2-теңдеуден
х
-ті жəне
у
/
= р
параметрін
t
параметрі арқылы өрнектеуге болады деп ұйғара-
йық. 2) жəне 3) жағдайларына ұқсас теңдеудің жалпы шешімі
параметрлік түрде табылады.
Мəселен,
( )
F у р
,
0
=
теңдеуін қарастырайық.
( )
у
t
ϕ
=
деп ұйғарып, теңдеуден
( )
p
t
ψ
=
-ны таптық немесе керісінше
( )
p
t
ψ
=
деп ұйғарып, теңдеуден
( )
у
t
ϕ
=
-ны таптық деп
болжайық. Сонда, бір жағынан,
( )
dy
рdx
t dx
,
ψ
=
=
ал екінші
жағынан,
( )
dy
рdx
t dt
.
ϕ
=
= ′
Енді
dy
үшін жазылған соңғы
өрнектерді салыстырғаннан
( )
( )
t dx
t dt
ψ
ϕ
= ′
болатынын көреміз.
Одан
( )
( )
t
dx
dt
t
ϕ
ψ
′
=
жəне
( )
( )
t
x
dt С
t
.
ϕ
ψ
′
=
+
∫
Олай болса параметрлік
нұсқадағы жалпы шешім
( )
( )
( )
t
x
dt С
t
у
t
,
ϕ
ψ
ϕ
′
=
+
=
∫
(4.73)
түріндегідей жазылады.
131
Мысал.
( )
y
а
y
2
1
=
+ ′
теңдеуінің жалпы шешімін табу та-
лап етіледі.
Шешімі
. у
/
= р=sht
деп ұйғарамыз; сонда
y
а
sh t
acht
2
1
.
=
+
=
dy
р
dx
=
теңдігінен
dy
dx
p
=
теңдігі шығады.
dy
ashtdt
=
болғандықтан, онда
dх
adt
=
жəне
х
at С
.
=
−
Параметрлік кес-
кіндегі жалпы шешім
х
at С
y
acht
,
=
−
=
түрінде жазылады.
t
параметрінен құтылайық. Ол үшін 1-тең-
деуден табылған
(
)
t
х С а
/
=
+
мəнін 2-теңдеуге енгіземіз. Сонда
х С
y
ach
а
+
=
.
Достарыңызбен бөлісу: |