§15. Изогональ траекториялар жөніндегі есеп

141
қисығының 
М 
нүктесіндегі жанамасы арасындағы бұрышын 
белгілеп, 
b  
арқылы 
Ох 
осімен (4.84) ізделінді жиынтыққа тиіс 
L
2
 қисығының сол нүктедегі жанамасы арасындағы бұрышты 
белгілесек, онда 
j 
= ± (
b 
-
a
)
   
немесе 
b  
= 
a 
± 
j 
 болады. Бұдан 
tg
tg
tg
tg tg
.
1
α
ϕ
β
α ϕ
±
=
∓
tg
ϕ
 берілген шама, оны 
k
 арқылы белгілейік; ал 
( )
tg
у
f x у
, ;
α
= ′ =
 
сондықтан
( )
( )
f x у
k
tg
kf x у
,
1
,
β
±
=
∓
Осымен изогональ траекторияға тиіс кез келген нүкте коор-
динаталарын сол нүктедегі жанаманың бұрыштық коэффициенті-
мен байланыстыратын қатынасты, атaп айтқанда, траекториялар 
жиынтығының дифференциалдық теңдеуін шығарып отырмыз. 
tg
β
-ны 
y
′
 
арқылы белгілейік, сонда
( )
( )
f x у
k
у
kf x у
,
1
,
±
′ =
∓
                                (4.87)
Осы дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы (4.84) 
жиынтығы қисықтары үшін анықталған изогональ траекто-
рия  ларының теңдеуі болып табылады; олар (4.84) қисықтарын 
бірден-бір 
j  
бұрыш жасап қияды. Егер траекториялар ортогональ 
болса, онда 
j = p/2 , b  = a 
±
 p/2, 
( )
tg
сtg
tg
f x у
1
1
,
β
α
α
= −
= −
= −
жəне ортогональ траекториялар жиынтығының дифференциал-
дық теңдеуі  
( )
у
f x у
1
,
′ = −
 
немесе 
( )
f x у
у
1
,
−
=
′
               (4.88)
Осыдан туындайтын ереже: (4.84) қисықтар жиынтығы үшін 
анықталатын изогональ траекториялары жиынтығының диф фе-

142
ренциалдық теңдеуін табу үшін, осы жиынтықтың (4.86) диф -
ференциалдық теңдеуінде 
y
′
-ті 
у
k
kу
1
′
± ′
∓
 шамасына алмастыру 
керек, мұндағы 
k 
- қисықтар жəне оларды қиятын траекториялар 
арасындағы бұрыш тангенсі. Дербес жағдайда, ортогональ траек-
ториялар үшін 
y
′
-ті 
у
1
−
′
 шамасына алмастыру керек. 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: