п-дəрежелі бірінші ретті теңдеулер

127
кемітпей (4.64) теңдеуіндегі барлық 
n
C C
C
1
2
,
,...,
 тұрақтыларын 
жалғыз 
С
-мен алмастырып, оны 
(
)
Ф x у C
1
, ,
(
)
Ф x у C
2
, ,
⋅
(
)
n
Ф x у C
...
, ,
0
⋅
=
            
 (4.65)
түрінде жазуға болады. (4.65) теңдеуі (4.61) теңдеуінің жалпы ин-
тегралы болып табылады.
Мысал
. 
dy
xy
dx
a
2
2
0
−
=






 теңдеуінің жалпы интегралын табу та-
лап етіледі.
Шешімі
. 
теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктеп,
xy
xy
y
y
a
a
0
′ −
′ +
=

 


 


 

болатынын табамыз. Бұдан 
xy
y
a
0
′ −
=
 жəне 
xy
y
a
0
′ +
=
. Осы 
теңдеулердің екеуі де айнымалылары айырылатын теңдеулер. 
Олардың жалпы интегралдары 
x x
x x
y
C
y
C
a
a
0,
0.
3
3
−
− =
+
− =
Сондықтан бастапқы теңдеудің жалпы интегралы
(
)
x
y C
a
3
2
2
0.
9
−
−
=
11.2.  у-ке қатысты шешілген жəне х-ті қамтымайтын 
теңдеу
Мұндай теңдеу түрі
( )
y
y
ϕ
=
′
                                     (4.66)
Осы жағдайда параметр енгізу əдісін қолданған тиімді. Əдістің 
мағынасы – қарастырылатын айнымалылардың параметр арқылы 
өрнектелуінде жəне шешім параметрлік түрде ізделуінде жатыр.
у
/ 
= р 
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз 

128
( )
y
p
ϕ
=
                                      (4.67)
қалпына келеді. Егер 
х-
ті 
р 
жəне
 С
 арқылы өрнектейтін тағы бір 
теңдеуге қол жеткізсек, онда осы қос теңдеу, параметрлік түрде 
кескінделген (4.66) теңдеуінің жалпы шешімі болып табыла-
ды. Олардан 
р 
параметрінен құтылып, 
х
, 
у 
жəне
 С 
арасындағы 
тəуелділікке, атaп айтқанда əдеттегі нұсқадағы жалпы интегралға 
қол жеткіземіз. Екінші теңдеуді былайша табуға болады. 
у
/ 
= р
 
теңдігін 
dy
dx
p
=
 түрінде көшіріп жазамыз; одан 
dy
x
C
p
.
=
+
∫
 
dy
p
∫
 
 
интегралына  бөлшектеп   интегралдау  формуласын 
қолданамыз; сонда 
( )
p dp
dy
y
ydp
y
p
p
p
p
p
2
2
ϕ
=
+
=
+
∫
∫
∫
Демек
( )
p dp
y
x
C
p
p
2
ϕ
=
+
+
∫
                           (4.68)
(4.68) жəне (4.67) теңдеулер жүйесі (4.66) теңдеуінің параметр-
лік түрде кескінделген жалпы шешімі болып табылады. Осы 
теңдеулерден (мүмкін болғанда) 
р 
параметрінен құтылып, жалпы 
интегралды
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
түрінде шығарып аламыз.
Мысал.
 
( )
( )
y
y
y
2
3
2
= ′ +
′
 
теңдеуінің жалпы шешімін пара-
метрлік түрде табу талап етіледі.
Шешімі
. у
/ 
= р 
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз 
y
p
p
2
3
2
=
+
қалпына келеді. 
х 
бойынша дифференциалдап 
(
)
dp
y
p
p
dx
2
2
6
′ =
+
 

129
немесе 
у
/ 
= р 
болғандықтан, 
р
-ға қысқартып, 
(
)
dp
p
dx
1
2 6
=
+
 
теңдеуін аламыз. Бұдан 
(
)
dx
p dp
2 6
=
+
 жəне 
x
p
p
C
2
2
3
.
=
+
+
 
Жалпы шешімі
x
p
p
C
y
p
p
2
2
3
2
3
,
2
=
+
+
=
+



түрінде жазылады. Мұнда 
p
0
≠
 деп ұйғарылған. Егер де 
р = 
0 
болса, онда ол 
у C
=
 шешімін береді. Бұл шешім теңдеуді 
С = 
0 
болғанда ғана қанағаттандырады.
11.3.  х-ке қатысты шешілген жəне у-ті қамтымайтын 
теңдеу
Мұндай теңдеу түрі 
( )
х
y
ϕ
=
′
.                                    (4.69)
Алдыңғыға ұқсас 
у
/ 
= р 
деп ұйғарамыз. Сонда теңдеу 
( )
х
p
ϕ
=
                                    
  (4.70)
түрінде жазылады. 
у
/ 
= р 
теңдігін 
dy
рdx
=
 түрінде көшіріп жаза-
мыз. Бұдан 
у
рdx
px
xdр
=
=
−
∫
∫
 немесе 
( )
( )
у
р
p
p dp C
ϕ
ϕ
=
−
+
∫
                        (4.71)
болатыны шығады. (4.70) жəне (4.71) теңдеулер жүйесі (4.69) 
теңдеуінің параметрлік түрде кескінделген жалпы шешімі болып 
табылады. Олардағы 
р-
дан құтылып, 
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
 жалпы инте-
гралын шығарып аламыз. Айта кетер жайт: (4.67), (4.68), (4.70) 
жəне (4.71) теңдіктеріндегі 
р 
айнымалысы еркін параметр орнын-
да жүргендіктен, кез келген басқа əріппен алмастыруға болады. 
Мысал
.
 
х
y
y
sin
= ′
′
 
теңдеуінің жалпы шешімін параметрлік 
түрде табу талап етіледі.
Шешімі.
  у
/ 
= р 
деп ұйғарайық. Сонда теңдеуіміз 
x
p
p
sin
=
 
қалпына келеді. 
у
/ 
= р 
теңдігін 
dy
рdx
=
 түріне келтіреміз.
рdx
px
xdр
рх
p
pdр
sin
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
9–454

130
рх p
p
pdр
рх p
p
p C
cos
cos
cos
sin
=
+
−
=
+
−
+
∫
болғандықтан, 
у
рх p
p
p C
cos
sin
=
+
−
+
 болып, жалпы шешім
x
p
p
у
р
p p
p
p C
2
sin ,
sin
cos
sin
=
=
+
−
+



түріне келеді.
11.4.  х немесе у-ті қамтымайтын жəне у немесе
х-ке қатысты шешілуі міндетті емес теңдеу
Теңдеу түрі 
немесе                                  
(
)
(
)
F у y
F x y
,
0,
,
0.
′ =
′ =
                                  
(4.72)
Мұнда 1-теңдеуден 
у
-ті немесе 2-теңдеуден 
х
-ті жəне 
у
/ 
= р
параметрін 
t 
параметрі арқылы өрнектеуге болады деп ұйғара-
йық. 2) жəне 3) жағдайларына ұқсас теңдеудің жалпы шешімі 
параметрлік түрде табылады. 
Мəселен, 
( )
F у р
,
0
=
 теңдеуін қарастырайық. 
( )
у
t
ϕ
=
 
деп ұйғарып, теңдеуден 
( )
p
t
ψ
=
-ны таптық немесе керісінше 
( )
p
t
ψ
=
 деп ұйғарып, теңдеуден 
( )
у
t
ϕ
=
-ны таптық деп 
болжайық. Сонда, бір жағынан, 
( )
dy
рdx
t dx
,
ψ
=
=
 ал екінші 
жағынан, 
( )
dy
рdx
t dt
.
ϕ
=
= ′
 Енді 
dy 
үшін жазылған соңғы 
өрнектерді салыстырғаннан 
( )
( )
t dx
t dt
ψ
ϕ
= ′
 болатынын көреміз. 
Одан 
( )
( )
t
dx
dt
t
ϕ
ψ
′
=
 жəне 
( )
( )
t
x
dt С
t
.
ϕ
ψ
′
=
+
∫
 Олай болса параметрлік 
нұсқадағы жалпы шешім
( )
( )
( )
t
x
dt С
t
у
t
,
ϕ
ψ
ϕ

′
=
+



=

∫
                              (4.73)
түріндегідей жазылады.

131
Мысал.
 
( )
y
а
y
2
1
=
+ ′
 теңдеуінің жалпы шешімін табу та-
лап етіледі.
Шешімі
. у
/ 
= р=sht 
деп ұйғарамыз; сонда 
y
а
sh t
acht
2
1
.
=
+
=
dy
р
dx
=
 теңдігінен 
dy
dx
p
=
 теңдігі шығады. 
dy
ashtdt
=
 
болғандықтан, онда 
dх
adt
=
 жəне 
х
at С
.
=
−
 Параметрлік кес-
кіндегі жалпы шешім
х
at С
y
acht
,
=
−
=



түрінде жазылады. 
t 
параметрінен құтылайық. Ол үшін 1-тең-
деуден табылған 
(
)
t
х С а
/
=
+
 
мəнін 2-теңдеуге енгіземіз. Сонда
х С
y
ach
а
+
=
.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: