Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Жоспары:

• Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Жалпы және дербес шешімдер.
• Айнымалылары ажыратылатын бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулер. Коши есебі.
• Бір текті дифференциалдық теңдеу.

Дифференциалдық теңдеу деп x тәуелсіз айнымалыны, y ізделінді функцияны және оның әртүрлі ретті туындыларын байланыстыратын өрнекті айтады.

Дифференциалдық теңдеудің құрамына кіретін туындылардың ең жоғары реті сол теңдеудің реті деп аталады.

Егер y ізделінді функциясы бір айнымалыға тәуелді болса, онда д.т. қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады.

n-ші ретті дифференциалдық теңдеулер :

F(x,y,y′,y′′,...,у(n))=0

n- дифференциалдық теңдеудің реті

Жоғары туындыға қатысты шешілген д.т.

Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп сол теңдеуге қойғанда оны теңбе-теңдікке айналдыратын y=y(x) функциясын айтады.

Дифференциалдық теңдеудің шешімін табу есебі берілген дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебі деп аталады.

Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигі интегралдық қисық деп аталады.

n-ші ретті д.т. жалпы және дербес шешімдері

y=ϕ(x,C1,..,Cn), - жалпы шешім,

мұндағы C1,..,Cn кез келген тұрақты сандар.

C1,..,Cn нақты бір сандық мәндеріндегі шешім дербес шешім деп аталады.

1-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу:

F(x,y,y′)=0

х – тәуелсіз айнымалы; у - ізделінді функция; у′ - функция туындысы.

y′=f (x,y)

туындыға қатысты шешілетін бірінші ретті д.т.

Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер

немесе

мұндағы f (x), M(x),P(x) – х айнымалысының қандай да бір функциясы;

g(y), N(y), Q(y) - у айнымалысының функциясы.

Шешу жолы:

- жалпы шешім.

теңдеуін шешіңіз.

Коши есебі

бастапқы шартын қанағаттандыратын у' = f (x,у) теңдеуінің дербес шешімін табу есебі Коши есебі деп аталады.

Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу

Анықтама. Егер х және у айнымалылары бойынша ноль өлшемді біртекті

функция болатын болса, онда бірінші ретті дифференциалдық теңдеу

біртекті теңдеу деп аталады.

Біртекті теңдеудің шешуі. Шарт бойынша

Онда теңдеу төмендегі түрге ие болады:

Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу

немесе алмастыруын жасаймыз.

Соңғы теңдікті дифференциалдап, табатынымыз:

және -тің мәндерін берілген теңдеуге қойып,

теңдеуіне ие боламыз. Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу:

немесе

Интегралдап табамыз:

немесе

Біртекті дифференциалдық теңдеулер

• Анықтама. Егер кез келген  саны үшін
• (10)

теңдігі орындалатын болса, онда (х және у айнымалысы бойынша) k-шы дәрежелі біртекті функция деп аталады.

Егер бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің түрі

(11)

болса, мұнда және k-шы дәрежелі біртекті функциялар, онда бұл теңдеу біртекті теңдеуге келтірілуі мүмкін. өйткені (11) формуладан

(12)

теңдігін аламыз, ал осы теңдіктің оң жағында тұрған функция нөлінші дәрежелі біртекті функция.

Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу біртекті деп аталады, егер - нөлінші дәрежелі біртекті функция түрінде берілсе.

Біртекті дифференциалдық теңдеу алмастыруы арқылы, мұндағы - функция аргументті немесе , мұндағы - функция аргуметті айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келтіріледі.

Мысал 3.

Мысал 3.

• теңдеуін шешу керек.

Шешуі: болғандықтан, берілген теңдеу

түріне келеді. Айталық, болсын. Онда

немесе . Олай болса берілген теңдеуіміз

түріне енеді.

Соңғы теңдікті мүшелеп интегралдай отырып, аламыз. Бұдан немесе мұндағы .

Бастапқы айнымалыға орала отырып, теңдігін аламыз, бұдан .

Әдебиет:

ҚАЗАҚ ТІЛІНДЕ

• Изтлеуов М.К., Беккужина А.И., Жалимбетова Н.К., Ахметова А.Б. Математика: Жоғары медицина оқу орындарына арналған оқулық. Полиграфия, 2005г.
• Қасымов К., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. Оқу қуралы.-Алматы: Санат, 1997.

ОРЫС ТІЛІНДЕ

• И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов)., М., 2003 г.
• В.С. Шипачев. Курс высшей математики. М., Проспект. 2004 г.
• И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М., ВЛАДОС.2002г.
• Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.