Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II


§18. Екінші ретті сызықтық біртектес дифференциалдық



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет40/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   ...   36   37   38   39   40   41   42   43   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

§18. Екінші ретті сызықтық біртектес дифференциалдық 
теңдеулер
(Екінші ретті СБДТ).
( )
( )
у
а x y
а x у
1
2
0
′′ +
′ +
=
                      
 (4.99)
түріндегі екінші ретті сызықтық біртектес дифференциалдық 
теңдеуді қарастырып, оның шешімдерінің кейбір қасиеттерін 
тағайындайық.
Теорема 4.2.
 Егер 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 функциялары 
(4.99) теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда 
( )
( )
у С у x
С у x
1 1
2 2
=
+
                         (4.100) 
(мұнда 
С С
1
2
,
 - еркін тұрақтылар) функциясы да осы теңдеудің 
шешімі болады.
Дəлелдеме.
 
у С у
С у
1 1
2 2
=
+
 
функциясы жəне оның туынды-
ларын (4.99)-дың сол жағына
 
енгізгеннен
 
кейін, төмендегі өрнек 
шығады:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
С у
С у
а x С у
С у
а x С у
С у
С у
С у
1 1
2 2
1
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1 1
2 2




+
+
+
+
+
=
+
+
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
а x С у
С у
а x С у
С у
С у
а x у
а x у
//
/
1
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
1
1
1
2
1


+
+
+
+
=
+
+
+




( )
( )
С у
а x у
а x у
С
С
//
/
2
2
1
2
2
2
1
2
0
0 0,
+
+
+
=
⋅ +
⋅ =




өйткені 
у
1
 мен 
у
2
 (4.99) теңдеуінің шешімдері болғандықтан, 
соңғы жақшадағы өрнектер нөлге тепе-тең. Сонымен 
у С у
С у
1 1
2 2
=
+
 функциясы да (4.99) теңдеуінің шешімі болады. 
Теореманың салдары ретінде, егер 
у
1
 жəне 
у
2
 (4.99) теңдеуінің 
шешімдері болса, онда 
у 
=
у
1
 + 
у
2
 жəне 
у Су
1
=
 функциялары да 
оның шешімдері екенін айтуымызға болады. Екі еркін тұрақты 
қамтитын (4.100) функциясы (4.99) теңдеуінің шешімі болып 
табылады. Осы функция (4.99) теңдеуінің жалпы шешімі бола 
ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін функциялардың сызықтық 
тəуелділігі жəне
 
сызықтық тəуелсіздігі ұғымдарын енгізейік.
4.2
-
анықтама
. (
a, b
) интервалындағы 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 функциялары үшін 


153
(
)
у
у
R
1 1
2 2
1
2
0,
,
α
α
α α
+
=

                  (4.101)
теңдігі 
1
2
0
α
α
=
=
 болғанда жəне тек сонда ғана орындалса, 
у
1
 
жəне 
у
2
 
функциялары сол интервалда 
сызықтық тəуелсіз
 деп 
аталады. Егер 
1
α
 
немесе 
2
α
 сандарының, ең болмағанда, біреуі 
нөлден өзгеше болып, (4.101) теңдігі орындалса, онда 
у
1
 жəне 
у
2
 
функцияларын сол интервалда 
сызықтық тəуелді
 деп атайды. 
у
1
 жəне 
у
2
 
функциялары  пропорционал  болғанда  ғана  барлық
( )
х
a b
,

   үшін    
у
у
1
2
λ
=
   немесе   
у
у
const
1
2
, (
)
λ
λ
=
=
    теңдігі
орындалғанда   сызықтық   тəуелді   болатыны   айқын.   Мəселен, 
x
у
e
1
3
=
   жəне   
x
у
e
2
=
   
функциялары - сызықтық   тəуелді: 
у
const
у
1
2
3
;
= =
 
у
1
    жəне    
x
у
e
2
3
=
    
функциялары  -  сызықтық 
тəуелсіз:   
x
x
x
у
e
e
const
у
e
1
2
3
3
3
;

=
=

    
у
x
4
sin
=
    жəне   
у
x
5
cos
=
 
функциялары - сызықтық тəуелсіз: 
x
x
1
2
sin
cos
0
α
α
+
=
 теңдігі 
барлық 
x R

 үшін тек 
1
2
0
α
α
=
=
 болғанда ғана орындалады. 
Олардың сызықтық тəуелсіздігі 
у
tgx
const
у
4
5
=

 қатынасынан 
да байқалады. Функциялар жүйесінің сызықтық тəуелділігін 
анықтайтын құрал ретінде 
Вронский анықтауышы
 немесе 
врон-
скиан
 деп аталатын анықтауыш   алынады (Ю. Вронский – поляк 
математигі).   
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 дифференциалдамалы функцияла-
ры үшін вронскиан
( )
у
у
W x
у
у
1
2
1
2
=


түрінде кескінделеді. Келесі теоремалар орынды.


154
Теорема 4.3
.
 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 дифференциалдамалы 
функциялары (
a, b
) интервалында сызықтық тəуелді болса, онда 
осы интервалда Вронский анықтауышы нөлге тепе-тең.
Дəлелдеме.
 
у
1
 жəне 
у
2
 
функциялары сызықтық тəуелді бол-
ғандықтан, онда (4.101) теңдігінде 
1
α
немесе 
2
α
 мəні нөлден 
өзгеше. 
0
1
α

 болсын, онда 
у
у
2
1
2
1
.
α
α
= −
Сондықтан (
a, b
) ин-
тервалына тиіс кез келген 
х 
үшін
( )
у
у
W x
у
у
2
2
2
1
2
2
2
1
0.
α
α
α
α

=
=



Теорема 4.4
.
 Егер 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 функциялары (
a, 
b
) интервалында (4.99) теңдеуінің сызықтық тəуелсіз шешімдері 
болса, онда Вронский анықтауышы осы интервалдың ешбір 
нүктесінде нөлге айналмайды. 
Теорема дəлелдемесін келтірмейміз. 4.3 жəне 4.4 теоремалары-
нан 
дербес шешімдер сызықтық тəуелсіз болғанда ғана Врон-
ский анықтауышы 
(
a, b

интервалының бірде-бір нүктесінде
 
нөлге
 
тең болмайды.
Анықтама
. Екінші ретті сызықтық біртектес дифферен-
циалдық теңдеуінің (
a, b
) интервалындағы 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 
дербес шешімдер жиынтығы осы теңдеудің 
іргелі шешімдер 
жүйесін
 анықтайды: кез келген шешім 
( )
( )
у
у x
у x
1 1
2 2
α
α
=
+
 
комбинациясы түрінде кескінделеді. 
1-мысал
.
 
у
x
1
sin
=
 жəне 
у
x
2
cos
=

у
x
3
2sin
=
 жəне 
у
x
4
5cos
=
 (олар шексіз көп) дербес шешімдері 
у
у
0
′′ + =
 
теңдеуінің іргелі шешімдер жүйесін құрайды; 
у
5
0
=
 жəне 
у
x
6
cos
=
 дербес шешімдері  құрамайды. Енді қандай шарт орын-
далғанда (4.100) функциясы (4.99) теңдеуінің жалпы шешімі бо-
латынын нақтылап айтуымызға болады.
Теорема 4.5
.
  (
Екінші ретті сызықтық біртектес диффе-
ренциалдық теңдеуі жалпы шешімінің құрылымы
). Егер екінші 


155
ретті сызықтық біртектес дифференциалдық (4.99) теңдеуінің 
( )
у
у x
1
1
=
 жəне 
( )
у
у x
2
2
=
 қос дербес шешімі (
a, b
) интервалын-
да іргелі шешімдер жүйесін құрайтын болса, онда осы теңдеудің 
жалпы шешімі
у С у
С у
1 1
2 2
=
+
   (
С С
1
2
,
 - еркін тұрақтылар)         (4.102)
функциясы болып табылады.
Дəлелдеме

4.2-теоремаға сəйкес (4.102) функциясы (4.99) 
теңдеуінің шешімі болып табылады. Осы шешімнің жалпы 
екенін, атап айтқанда оның тарапынан берілген 
х х
у
у
0
0
=
=

х х
у
у
0
0
,
=

= ′
 
( )
х
a b
0
,

              (4.103)
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын жалғыз дербес шешімді 
айырып алуға болатынын дəлелдеу ғана қалып отыр. (4.103) 
бастапқы шарттарын (4.100) шешіміне енгізгеннен соң, 
C
1
 
жəне 
C
2
 белгісізі бар
( )
( )
( )
( )
у
С у х
С у х
у
С у х
С у х
0
1 1
0
2 2
0
0
1 1
0
2 2
0
,
=
+
′ =

+




теңдеулер жүйесіне келеміз, мұнда 
( )
( )
у
у х
у
у х
0
0
0
0
,
=
′ = ′
. Осы 
жүйенің 
( )
( )
( )
( )
( )
у х
у х
W х
у х
у х
1
0
2
0
0
1
0
2
0
=


анықтауышы 
х
х
0
=
 болғандағы 
( )
W x
 вронскиан мəніне тең. 
( )
у x
1
 жəне 
( )
у x
2
 шешімдері (
a, b
) интервалында іргелі шешімдер 
жүйесін құрайтындықтан, онда 4.4 теоремасына сəйкес 
( )
W х
0
0.

 
Сондықтан теңдеулер жүйесі 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
у
у х
у х
у
С
С
С
С
у
у х
у х
у
W х
W х
0
2
0
1
0
0
0
0
1
1
2
2
0
2
0
1
0
0
0
0
1
1
;
=
=
=
=




жалғыз шешіміне ие болады. 
( )
( )
у С у x
С у x
0
0
1
1
2
2
=
+
 шешімі (4.103) 
бастапқы шарттарын қанағаттандыратын (4.99) теңдеуінің дербес 


156
(жалғыздық теоремасына сəйкес, жалғыз) шешімі болып табыла-
ды. Теорема дəлелденді.
2-мысал
.
 4.5 теоремасы негізінде 
у
у
0
′′ + =
 теңдеуінің (1-мы-
салды қараңыз) жалпы шешімі 
у С
x С
x
1
2
sin
cos
=
+
 
функциясы 
болып табылады. 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   36   37   38   39   40   41   42   43   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау