§3 Айнымалылары айырылған теңдеулер

102
у
х
х
у
Р x dx
Q y dy
0
0
( )
( )
0
+
=
∫
∫
                         (4.16)
формуласы бойынша тапқан орынды.
Мысал
. 
x
y
0
0
,
3
2
π
=
=
 бастапқы мəндерінде 
dy
xdx
y
sin
0
+
=
                                (4.17)
дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табу талап етіледі.
Шешімі
.
 (4.17) теңдеуінің жалпы интегралы
dy
xdx
С
y
sin
+
=
∫
∫
   немесе  
x
y
С
cos
2
−
+
=
   түрінде 
кескінделеді.  Мұнда  
x
y
,
3
2
π
=
=
  деп  ұйғарып,  
С =
2 3
,
 
демек 
ізделінді дербес шешім
(
)
x
у
2
2 3 cos
4
+
=
болады. Оны тікелей 
у
х
dy
xdx
y
3
2
sin
0
π
+
=
∫
∫
формуласы бойынша шығарып алуға болады.
§4. Айнымалыларды айыру
M
1
 жəне 
M
2
 функциялары тек 
х-
ке тəуелді, ал 
N
1 
жəне 
N
2
функциялары тек 
у-
ке тəуелді, атап айтқанда 
( ) ( )
( ) ( )
M x N y dx M x N y dy
1
1
2
2
0
+
=
түрінде берілген дифференциалдық теңдеудің екі жағын бірдей 

103
M N
2
1
⋅
-ге бөлу арқылы айнымалылары айырылған диф-
ференциалдық теңдеуге келтіруге болады. Келтіру процесінің 
өзін 
айнымалыларды айыру
 дейді. Бөлу нəтижесінде шығатын 
теңдеу айнымалылары айырылған
( )
( )
( )
( )
M x
N y
dx
dy
M x
N y
1
2
2
1
0
+
=
түріне келіп отыр. 
Мысал
. 
уdx хdy
0
−
=
                                  (4.18)
теңдеуін қарастырайық. 
хy
-
ке бөлген соң айнымалылары айы-
рылған
dx
dу
х
у
0
−
=
теңдеуіне келеміз. Оны интегралдау арқылы
dx
dу
С
x
x
C
х
у
ln
ln
−
= ⇒
−
=
∫
∫
                 
(4.19)
немесе 
х
C
C
у
1
ln
ln
= =
 болатыны шығады. Бұдан теңдеудің ин-
тегралы 
х
C
у
1
=
 түріне келеді.
Мысал. 
y dx уdy
2
1
0
−
−
=
                                (4.20)
теңдеуінің барлық шешімдерін табу талап етіледі.
Шешімі
.
 
у
1
= ±
 қос түзуімен шектелген жолақ ішінде 
y
dy
y
dx
у
dх
dy
y
2
2
1
;
1
−
=
=
−













104
функцияларының кем дегенде біреуі бірмəнді анықталған. 
Осы жолақ сыртында сөз етілген функциялардың бірде-біреуі 
анықталмаған. Демек (4.20) теңдеуінің барлық интегралда-
ры 
у
1
= ±
 түзулерімен шектелген жолақ ішінде жатады. (4.20) 
теңдеуін 
y
2
1
−
-
қа бөлеміз, сонда шығатын теңдеу түрі
ydy
dx
y
2
0,
1
−
=
−
мұнда айнымалылар айырылған. Интегралдау нəтижесінде шы-
ғатын теңдеу
х
y
С
2
1
−
−
=
 
немесе
х С
y
2
1
− =
−
.                              
  (4.21)
Бұл теңдеу 15-суретте бейнеленген жартышеңберлер жиын -
тығын кескіндейді. Алайда ол (4.20) теңдеуінің барлық ин тег-
ралдық сызықтарын қамти алмайды, өйткені соңғы теңдеуді
y
2
1
−
-
қа   бөлген   шақта  
у
1
=
   жəне   
у
1
= −
   шешімдерінен 
(су рет тегі 
uv 
жəне
 u
/
v
/
 
түзулері) аластаймыз.
Ескерту
. 
Мұнда жоғалған шешімдер дербес шешім болмайды. 
Өйткені дербес шешім деп кейбір бастапқы мəндердегі бірден-бір 
шешімді айтқан болатынбыз. Алайда 
у
1
=
 түзуінің əрбір нүктесі 
арқылы екі шешім өтіп отыр; мəселен (0, 1) нүктесі арқылы 
у
1
=
 түзуімен бірге 
х
y
2
1
=
−
 жартышеңбері де өтеді, ол (4.20) 
теңдеуінің тағы бір шешімін береді, бұл шешім (4.21) теңдеуінен 
С
0
=
  болғанда алынады. (4.21) теңдеуі барлық шешімдерді 
иеленбесе де, барлық дербес шешімдерді (жартышеңберлерді) 
қамтиды. 
у
1
=
 жəне 
у
1
= −
 шешімдері 
ерекше
 
деп есептеледі. 
Жалпы, 1-ретті дифференциалдық теңдеудің интегралы оның 
əрбір нүктесі арқылы, кем дегенде, тағы бір интеграл өткенде 
ерекше
 болады.

105
§5. Толық дифференциалдардағы теңдеу
Егер 
Р x у dx Q х y dy
( , )
( , )
0
+
=
                        
 (4.22)
теңдеуінің 
Р x у Q х y
( , ), ( , )
 коэффициенттері 
Q
Р
x
у
∂
∂
=
∂
∂
                                      (4.23)
шартын қанағаттандыратын болса, онда (4.22) теңдеуінің сол 
жағы кейбір 
( )
F x y
,
 
функциясының толық дифференциалы бо-
лып келеді. Мұндайда 
( )
Р x у dx Q х y dy
dF x y
( , )
( , )
,
+
=
 болып, 
(4.22) теңдеуінің жалпы интегралы 
( )
F x y
С
,
=
                                   
 (4.24)
түрінде жазылады.
Мысал
.
 
x
y
0
0
1,
1
=
=
 бастапқы мəндерінде 
х
у
х
dx
dy
х
х
2
2
1
0
−
+
+
=
                          (4.25)
дифференциалдық теңдеуінің дербес интегралын табу талап 
етіледі.
Шешімі
.
 (4.23) шарты орындалып отыр. Оның үстіне
у
Р x у
Q х y
х
х
2
1
( , ) 1
,
( , ) 1
= −
= +
  
функциялары  
т
п
Ах y
  түріндегі-
дей мүшелерге жіктеледі. Сондықтан алғашбейнені төмендегідей 
интегралдау амалымен іздестіреміз:
у 
тұрақты болғанда
у
у
dx x
х
х
2
1
;
−
= +






∫
х 
тұрақты болғанда
у
dy y
х
х
1
1
.
+
= +






∫

106
Осы өрнектерді 
у
х


 
мүшесін бір-ақ рет қана жазып) 
біріктіреміз. Шыққан 
у
х y
х
+ +
 функциясы    алғашбейне   болып, 
жалпы интегралы 
у
х y
С
х
+ + =
түрінде жазылады. 
x
y
0
0
1,
1
=
=
 бастапқы мəндерін енгізіп, 
С = 
3 
мəнін табамыз. Ізделінді дербес интеграл
у
х y
х
3.
+ + =
§6. Интегралдаушы көбейткіш
Егер 
М x у dx N х y dy
( , )
( , )
0
+
=
                     
  (4.26)
теңдеуінің 
M x у N х y
( , ), ( , )
 коэффициенттері 
N
M
x
у
∂
∂
=
∂
∂
                                     (4.27)
шартын қанағаттандырмаса, онда (4.26) теңдеуінің сол жағы 
кейбір функцияның толық дифференциалы бола алмайды. Бірақ 
кей кезде
(
)
Мdx Ndy
µ
+
өрнегі қандай да бір 
( )
F x y
1
,
 функциясының толық дифферен-
циалы болатындай 
( )
x y
,
µ
 көбейткішіне қол жеткізуге болады. 
Сонда жалпы интеграл 
( )
F x y
С
1
,
=
 түріне келеді. Мұндайда 
( )
x y
,
µ
 функциясын 
интегралдаушы көбейткіш
 дейді. 
Мысал
. 
уdx хdy
2
0
+
=
 дифференциалдық теңдеуінің сол 
жағы толық дифференциал болмайды. Алайда 
х
-ке көбейткен 
күнде

107
(
)
( )
х уdx хdy
d х y
2
2
+
=
жəне берілген теңдеудің жалпы интегралы 
х y С
2
=
болады.
Ескерту
. 
Кез келген дифференциалдық теңдеу əрқашан ин-
тегралдаушы көбейткішке ие болып отырады екен. Алайда оны 
іздестірудің бірден-бір ортақ тəсілі жоқ. Көптеген жағдайда он-
дай көбейткішті іздестіріп табу өз алдына бір есепке айналып, 
бастапқы интегралды шешкенмен салыстырғанда оңай еместігі 
байқалады. (4.26) теңдеуінің интегралдаушы көбейткіші қалайша 
іздестірілетінін көрсетейік. 
( )
( )
(
)
М x y dx N x y dy
,
,
0
µ
+
=
теңдеуі толық дифференциалдардағы теңдеу болу үшін 
( )
(
)
N
М
x
у
µ
µ
∂
∂
=
∂
∂
шарты немесе
М
N
N
М
x
у
у
x
µ
µ
µ
∂
∂
∂
∂
−
=
−
∂
∂
∂
∂






                    (4.28)
шарты орындалу керек. (4.28) теңдігі (4.26) теңдеуінің интеграл-
даушы көбейткіштерінің дифференциалдық теңдеуі болып табы-
лады, өйткені оның əрбір шешімін (4.26) теңдеуінің екі жағына 
бірдей көбейткеннен оны толық дифференциалдардағы теңдеуге 
айналдырады. Интегралдаушы 
( )
x y
,
µ
 көбейткішін табу үшін 
дербес туындылары бар (4.28) дифференциалдық теңдеуін ин-
тегралдау қажет. Жалпы жағдайда бұл есепті шешу əдеттегі 
дифференциалдық теңдеуді шешкеннен əлдеқайда қиын. Бірақ 
( )
x y
,
µ
 функциясының 
х
 немесе
 у 
айнымалыларының біреуіне 
ғана тəуелді болуында, есеп əжептəуір жеңілдене түседі. Осы екі 
жағдайға толығырақ тоқталайық.

108
( )
x
µ µ
=
 болсын. Онда (4.28) теңдеуі
( )
х
М
N
N
x
у
x
µ
µ
∂
∂
∂
=
−
∂
∂
∂






немесе
( )
( )
М
N
х
у
x
dx
х
N
µ
µ
∂
∂
−
∂
∂
∂
=
түріне келеді, ал одан
( )
М
N
у
x
х
dx
N
ln
,
µ
∂
∂
−
∂
∂
= ∫
атап айтқанда
( )
М
N
у
x
dx
N
х
e
µ
∂
∂
−
∂
∂
∫
=
                                (4.29)
болатыны туындайды. (
С 
тұрақтысы 0-ге тең деп алынған, 
өйткені қандай да бір интегралдаушы көбейткішіне ие болса да 
жеткілікті).
Осы жағдайда 
М
N
у
x
N
∂
∂
−
∂
∂
 
өрнегі 
у
-тен тəуелсіз екені айқын. 
Кері пікір  де  орынды:  егер 
М
N
у
x
N
∂
∂
−
∂
∂
  
өрнегі   
у
-тен  тəуелсіз 
болса, онда тек 
х
-ке тəуелді 
( )
x y
,
µ
 интегралдаушы көбейткіші 
бар болады. Ол (4.29) теңдігімен өрнектеледі.
Енді 
( )
у
µ µ
=
 болсын. Онда (4.28) теңдеуі
( )
у
М
N
М
у
у
x
µ
µ
∂
∂
∂
= −
−
∂
∂
∂







109
немесе
( )
( )
М
N
у
у
x
dу
у
М
µ
µ
∂
∂
−
∂
∂
∂
= −
түріне келеді, ал одан
( )
М
N
у
x
у
dу
М
ln
,
µ
∂
∂
−
∂
∂
= −∫
атап айтқанда
( )
М
N
у
x
dу
М
у
e
µ
∂
∂
−
∂
∂
−∫
=
                              (4.30)
болатыны  туындайды  (мұнда  
С
=0 деп  алынған).  Осы жағдайда
М
N
у
x
М
∂
∂
−
∂
∂
  
 
өрнегі   
х
-тен   тəуелсіз.  Кері  пікір  де  орынды:   егер 
М
N
у
x
М
∂
∂
−
∂
∂
  
өрнегі   
х
-тен   тəуелсіз  болса,  онда  тек  
у
-ке  тəуелді 
( )
x y
,
µ
 интегралдаушы көбейткіші бар болады жəне ол (4.30) 
теңдігімен өрнектеледі.
Қарастырылатын дербес жағдайларда (4.26) теңдеуін толық 
дифференциалдардағы теңдеуге келтіру үшін іс жүзінде 
М
N
у
x
∂
∂
−
∂
∂
 
өрнегін құрып, оның 
N-
ге қатынасын алады. 
Егер бұл қатынас 
у
-тен тəуелсіз болса, онда интегралдаушы 
көбейткішті табу үшін (4.29)  формуласын  қолдану  керек;  қарсы 
жағдайда 
М
N
у
x
∂
∂
−
∂
∂
 
өрнегінің 
М-
ге қатынасын  алады.   Егер  бұл 

110
қатынас 
х
-тен тəуелсіз болса, онда 
х
-тен тəуелсіз 
( )
x y
,
µ
 инте-
гралдаушы көбейткіші бар болады жəне оны (4.30) формуласы 
бойынша есептеп табуға болады.
Мысал.
 
(
)
( )
уdx хdy
d х y
2
2
+
=
 дифференциалдық теңдеуінің 
интегралдаушы көбейткішін тауып, теңдеуді интегралдау талап 
етіледі.
Шешімі. 
(
)
М
N
ху
у
x
М
х
у
2
2
2 1
∂
∂
−
−
+
∂
∂ =
−
өрнегі 
х 
пен 
у
-ке тəуелді. 
(
)
(
)
М
N
ху
у
x
N
х
х
ху
2
2
2 1
2
1
∂
∂
−
−
+
−
∂
∂ =
= −
+
қатынасы 
х
-ке ғана тəуелді. Олай болса 
( )
y
x
,
µ
 интегралдаушы 
көбейткіші (4.29) формуласы бойынша іздестіріледі:
( )
dx
x
x
х
e
e
x
2
2ln
2
1
.
µ
− ∫
−
=
=
=
Тедеудің екі жағын 
x
2
1
-қа көбейтеміз, сонда
у
dx
у
dy
х
х
2
2
1
1
0,
−
+
+
=












немесе
xdy ydx
dx у dy
х
2
2
0.
−
+
+
=
xdy ydx
y
d
х
х
2
−
=  
 
 
 болғандықтан, интегралдау нəтижесінде 
жалпы интеграл   
y
у
С
х
х
3
3
3
+
+ =
  немесе  
х
хy
у Сх
2
3
3
3
0
+
+
−
=
түрінде табылады.

111

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: