n={A;B} (рис. 23)
Вектор n перпендикулярный к прямой называется вектором нормали. Возьмем произвольную точку М(x, y), принадлежащую
нашей прямой. Для того чтобы точка М находилась на прямой необходимо и достаточно, чтобы векторы М0М={x-x0;y-y0} и n={A;B} были перпендикулярны.
Выпишем признак перпендикулярности векторов:
M M n0 ⋅ = 0;⇔ A x( − x0) + B y( − y0) = 0.
Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0; y0) перпендикулярно вектору n={A;B}, имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)=0.
Общее уравнение прямой. В уравнении прямой, проходящей через точку
М0(x0, y0) перпендикулярно вектору n={A;B} A(x-x0)+B(y-y0)=0 раскроем скобки
и переобозначим комбинацию констант: Ax+By-Аx0-Вy0=0; С=-Аx0-Вy0;⇒ Ax+By+С=0. Полученное уравнение называется общим уравнением прямой.
Общее уравнение прямой имеет вид Ax+By+С=0, где А, В – координаты вектора нормали n={A;B}.
Угол между прямыми. Признаки коллинеарности и перпендикулярности прямых
Определение. Углом между двумя прямыми называется меньший из углов, которые они образуют.
Рассмотрим прямые, заданные различными видами уравнений.
Прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами s1: y=k1x+b1; s2: y=k2x+b2. Угол между прямыми (рис. 24) равен ϕ=α2 -α1 и, следовательно,
tgϕ = tg(α2 −α1 )= tgα2 − tgα1 = k2 − k1 .
1+ tgα1 tgα2 1+ k1k2
Чтобы величина угла не зависела от нумерации прямых, выражение для тангенса нужно брать по модулю.
Тангенс угла между прямыми s1: y=k1x+b1; s2: y=k2x+b2 вычисляется по
формуле tgϕ =k2 − k1.
1+ k1k2
|
Из полученной формулы следуют признаки параллельности и перпендикулярности прямых.
Прямые параллельны, если угол между ними равен 0о, тангенс нуля равен нулю, следовательно, k1=k2.
Признак параллельности. Прямые s1: y=k1x+b1; s2: y=k2x+b2 параллельны
⇔ когда равны угловые коэффициенты, т.е. k1=k2.
|
Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90о, тангенс 90о
неопределен, а это согласно формуле будет, если k1k2 = -1.
Признак перпендикулярности. Прямые s1: y=k1x+b1; s2: y=k2x+b2 перпендикулярны ⇔ k1k2 = -1.
Пример 9. Дана прямая y=2x-5 и точка А(1;2). А) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно исходной прямой.
Б) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно исходной прямой.
Решение. А) Будем искать уравнение прямой в виде y=k1x+b1. Из признака параллельности прямых следует, что угловой коэффициент исходной прямой 2 равен угловому коэффициенту искомой прямой, т.е. k1=2 и уравнение искомой прямой принимает вид y=2x+b1. Коэффициент b1 найдем из условия, что прямая проходит через точку А(1;2): 2=2*1+b1; b1=0. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно исходной прямой, имеет вид y=2x.
Б) Будем искать уравнение прямой в виде y=k2x+b2. Из признака перпендикулярности прямых следует, что произведение угловых коэффициентов равно –1, т.е. 2k2= -1; k2= - 0,5 и уравнение искомой прямой принимает вид y=-0,5x+b2. Коэффициент b2 найдем из условия, что прямая проходит через точку А(1;2): 2= -0,5*1+b2; b2=2,5. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно исходной прямой, имеет вид
y=-0,5x+2,5
*
Прямые заданы каноническими уравнениями
x − x1 y − y1 x − x2 y − y2
s1 : = ; s2 : = . В этом l1 m1 l2 m2
случае угол ϕ между прямыми равен углу между направляющими векторами s1={l1;m1} и s2={l2;m2} или смежному с ним углу (рис. 25). Косинус угла ϕ равен модулю косинуса угла между векторами и вычисляется по формуле
Достарыңызбен бөлісу: |