1. вектор. Определение

А(3; -4), В(-12; 17), С(8; 16). 2

жүктеу 0,67 Mb.

бет	15/16
Дата	07.01.2022
өлшемі	0,67 Mb.
	#37008

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 16

конспект лекции1

1. А(3; -4), В(-12; 17), С(8; 16). 2. А(0; 3; -4), В(-12; 1; 7), С(8; 1; 6) , Р(22; 4; -17).

Вариант № 10.
1. А(12; 4), В(-2; 8), С(0; -6). Вариант № 11.	2. А(1; 2; 4), В(-2; 8; 3), С(0; -6; 6) , Р(-2; 14; -17).
1. А(1; 4), В(-2; 2), С(-3; -6). Вариант № 12.	2. А(-1; 0; 4), В(0; 1; 7), С(-5; 2; -6) , Р(-2; -4; -1).
1. А(-4; 7), В(-1; 3), С(4; -6). Вариант № 13.	2. А(4; -2; 7), В(-4; 3; 0), С(4; 8; -6) , Р(-2; 4; -4).
1. А(1; 4), В(-2; -1), С(8; -6). Вариант № 14.	2. А(0; 1; 4), В(1; -1; -7), С(1; 8; -1) , Р(-1; 4; -17).
1. А(2; -4), В(-1; 7), С(8; 3). Вариант № 15.	2. А(4; 1; 1), В(-1; -2; 7), С(8; 3; 1) , Р(-2; 1; -17).
1. А(2; 5), В(-2; 7), С(10; -6).	2. А(-3; 2; 4), В(-2;0; 7), С(1; 0; -6) , Р(2; 4; -1).

Вариант № 16.

1. А(1; 6), В(-2; 1), С(-8; -3). 2. А(1; 12; 4), В(-2; 7; 7), С(-8; -3; 1) , Р(-2; 4; -2).

Вариант № 17.

1. А(2; -4), В(2; 0), С(-8; -5). 2. А(2; 4; -4), В(8; 1; 7), С(-1; 3; -6) , Р(-2; -5; -7).

Вариант № 18.

1. А(6; 1), В(-1; 5), С(5; -6). Вариант № 19.	2. А(6; 1; 3), В(-1; -2; 5), С(5; -6; 9) , Р(-2; 4; -1).
1. А(-3; -4), В(-12; 1), С(8; 1). Вариант № 20.	2. А(0; -3; -4), В(-1; 1; 7), С(8; -1; 6) , Р(2; 4; -8).

1. А(-2; 4), В(-2; -4), С(0; -3). 2. А(1; 0; 4), В(-2; -3; 3), С(0; -2; 6) , Р(-2; 1; -3).

Вариант № 21.

1. А(2-; -4), В(-1; -7), С(8; 1). 2. А(-2; 3; 14), В(-1; -2; 7), С(8; 0; 1) , Р(-2; 1; 7).

Вариант № 22.
1. А(-1; 3), В(-2; 7), С(0; -3). Вариант № 23.	2. А(-1; 2; 4), В(-2; 5; 7), С(1; -9; -6) , Р(3; 4; -5).
1. А(1; -4), В(-2; 1), С(-6; -6). Вариант № 24.	2. А(0; 1; -4), В(-2; 0; 7), С(-3; -6; 1) , Р(-2; 1; -7).

1. А(-2; -4), В(2; 9), С(-1; -6). 2. А(2; -2; -4), В(2; -1; 7), С(-1; 3; -6) , Р(-2; -4; 2).

Вариант № 25.

1. А(6; 1), В(-2; 5), С(5; -3). Вариант № 26.	2. А(6; -1;4), В(-1; 8; 5), С(5; -6; 2) , Р(-2; 1; -1).
1. А(3; -3), В(-12; 7), С(8; 1). Вариант № 27.	2. А(0; -3; -4), В(-1; 1; 7), С(-8; 1; 6) , Р(2; -4; -6).
1. А(2; 4), В(-2; -8), С(0; -3). Вариант № 28.	2. А(-2; 2; 4), В(-2; 1; 3), С(0; -4; 6) , Р(-2; 4; -17).
1. А(1; 3), В(-2; 1), С(-3; -4). Вариант № 29.	2. А(-1; 10; 4), В(3; 1; 7), С(-5; 6; -6) , Р(-2; -7; -1).
1. А(-4; 1), В(-1; 5), С(3; -6).	2. А(-4; -2;4), В(-4; -8; 0), С(4; 1; -6) , Р(-2; -9; -4).

Вариант № 30.

1. А(1; 14), В(-2; -1), С(3; -6). 2. А(0; -1; 4), В(1; 1; -7), С(1; 8; 3) , Р(-1; 4; -1).

РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

Задание № 1.

А Даны декартовы координаты 3-х точек: A(2;3), B(-1;5), C(2;-3).

а) Найти площадь треугольника АВС

(рис. 38). ^НРис. 38

Решение. Площадь треугольника

1

S = AB× AC (см. п. 6, с.14). Операция векторного произведения определена

2 для пространства. Перейдем от плоского случая к пространству, приписав третью нулевую координату к координатам точек: A(2;3;0), B(-1;5;0), C(2;-3;0).

Произведем необходимые вычисления: AB ={−1− 2;5−3;0 −0}={−3;2;0},

i

AC ={2 − 2;−3−3;0 −0} ={0;−6;0}. AB× AC =−3

j k

2 0= 0i + 0j+18k ;

− 6 0

1

S =AB×AC = = 9.

2 2 2

б) Найти длину высоты |AH| (рис. 38).

Решение. S = ¹BC ⋅ AH;⇒ AH = ²^S. Площадь вычислена в п. а. Вы2 BC

числим |BC| и найдем |AH|:

BC ={3;−8}, BC = 3²+8²= 73, AH .

в) Найти длину медианы |BM| (рис. 38).

Решение: Точка M делит отрезок AC пополам, используя формулы для координат середины отрезка (см. п. 1, с. 8) найдем координаты M и вычислим

|BM|: xM = xA + xC = 2 + 2 = 2, y = yA + yC = 3− 3 = 0.

2 2

BM ={3;−5}; BM =

г) Найти величину угла АВС (рис. 38).

AB ⋅ BC ⋅sin(АВС); AB ={−3;2;0} (см. п.а);

73 (см. п.б); S=9 (см. п.а); ≈ 0,584.

д) Найти уравнение высоты AH: y = k_AHx +b_AH (рис. 38).

Решение.

Найдем уравнение прямой ВС y=k_BCx+b_BC (см. уравнение прямой, про-

ходящей через две точки, п.8, с. 18): x − xb = y − yb ; x +1 = y −5 ;

x_c− x_by_c− y_b2+1 − −3 5

y .

Так как BC⊥AH , то (признак перпендикулярности прямых, п.8, с. 20)

kAH ⋅kBC = −1;⇒ kAH = 3.

Уравнение искомой прямой y = x + b_AH. Коэффициентb_AH найдем из условия, что прямая проходит через точку А b_AH;⇒ b_AH= .

Уравнение AH: y = ³x + ⁹.

8 4

е) Найти уравнение медианы ВМ (рис. 38).

Решение. Координаты точки М(2;0) определены в п. в. Имея координаты точек B(-1;5) и М(2;0), запишем уравнение прямой, проходящей через эти точ-

ки: x − xb = y − yb ;⇒ x+1 = y−5;⇒ y=− 5 x+ 10 . x_m− x_by_m− y_b2+1 0 −5 3 3

ж) Найти проекцию вектора АВ на вектор АС.

Решение. Координаты векторов AB ={−3;2} и AC ={0;−6} найдены в п.а.

Проекция вычисляется по формуле (см. п.2, с. 11)

ПрAC AB = AB⋅AC = −3⋅0 + 2(− 6) = −2.

0 + (− 6)

з) Найти работу силы ВС при перемещении из точки А в точку С.

Решение. Вектор перемещения AC ={0;−6}, вектор силы BC ={3;−8}. Работа А равна скалярному произведению вектора силы ВС на вектор перемещения АС (см. п.2, с. 11): А = BC⋅AC = 3⋅0 + (−8)⋅(− 6) = 48 .

и) Найти момент силы АС, приложенной в точке В, относительно точки А. Решение: Момент силы M вычисляется по формуле (см. п.3, с.14)

i j k

M = AB×AC;⇒ M = −3 2⁻^{3 2}⋅k =18k .

0 −6 0 − 6 0

к) Найти направляющие косинусы вектора ВС.

Решение. Направляющие косинусы вектора BC ={3;−8} вычисляются по

BC^x^{3 3}BC^y⁻⁸формулам (см. п.1, с. 9): cosα = _{= =}, cosβ = ₌.

BC 3²+8²73 BC 73

л) Найти уравнение прямой, проходящей через точку В, параллельно пря-

мой АС.

Решение. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор

AC ={0;−6}, тогда искомое уравнение запишется в виде (см. каноническое

уравнение прямой п.8, с. 17) x − xb = y − yb ⇒ x +1 = y −5 ⇒ x = −1.

AC_xAC_y0 − 6

м) Найти координаты точки пересечения медиан в треугольнике АВС

(рис. 38).

Решение. Точка пересечения медиан О делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим медиану ВМ: B(-1;5), М(2;0). Найдем координаты точки О, используя формулы (см. п.1, с.8)

x_o =1; y_o= ;⇒ O(1;5/3).

Задание № 2.

Даны декартовы координаты четырёх точек А(1;2;3), B(-2;3;1), C(1;4-3),

P(4;2;1).

а) Найти площадь треугольника ABC.

Решается аналогично задаче 1(а). Ответ: 91.

б) Найти длину высоты AH, проведенной из вершины A в треугольнике

ABC.

Решается аналогично задаче 1(б). Ответ: ¹⁸².

в) Найти длину медианы ВМ, проведенной из вершины В в треугольнике АВС.

Решается аналогично задаче 1(в). Ответ: 10 .

г) Найти величину угла АВС.

Решение. Вычислим координаты векторов ВА и ВС, образующих искомый угол: BA ={1+ 2;2−3;3−1}={3;−1;2}; BC ={1+ 2;4−3;−3−1}={3;1;−4}. Ве-

личину угла найдем, используя скалярное произведение (см. п.2, с. 11):

BA⋅BC 3⋅3+ (−1)⋅1+ 2⋅(− 4) cos(ABC) = = = 0.

BA ⋅ ^BC32 +12 + 22 ⋅ 32 +1242

Следовательно, угол АВС прямой, треугольник прямоугольный.

д) Найти уравнение медианы ВМ в треугольнике АВС.

Решается аналогично задаче 1(е). Ответ:^x⁺²₌^y⁻³₌^z⁻¹_.

−3 0 1

е) Найти проекцию вектора АВ на вектор АС.

Решается аналогично задаче 1(ж). Ответ: 7/20 .

ж) Найти работу силы ВС при перемещении из точки А в точку С.

Решается аналогично задаче 1(з). Ответ: 26.

з) Найти момент силы АС, приложенной в точке В, относительно точки P.

Решается аналогично задаче 1(и). Ответ: M ={−6;−36;12}.

и) Найти направляющие косинусы вектора ВС.

Решается аналогично задаче 1(к).

Ответ: cosα = ;cosβ = ;cosγ = .

к) Найти уравнение прямой, проходящей через точку В, параллельно пря-

мой АС.

Решается аналогично задаче 1(л).

Ответ: x + 2 = y −3 = z −1. P

0 2 −6

л) Найти объем тетраэдра ABCP

(рис. 39).

Решение. Найдем в тетраэдре три вектора, выходящих из вершины А:

AB={-3;1;-2}, AC={0;2-6}, AP={3;0;-2}.

Объем тетраэдра равен (см. п.7, с. 16)

n

V_TAB⋅AC×AP .

−3 1 −2 A

AB⋅AC×AP =0 2 −6 =12+0−18+12+0+0 = 6.

3 0 −2

1 1

⇒V_T=AB⋅AC×AP = ⋅6 =1.

6 6

м) Найти длину высоты PK, проведенной из вершины P, в тетраэдре

ABCP (рис. 39).

Решение. V_T= ¹h⋅Sосн = ¹PK ⋅S_ABC_;⇒ PK = ³^V^T. V_T=1, S_ABC= 91

жүктеу 0,67 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 16