3 3 SABC
(определены соответственно в пунктах л и а). Следовательно,
PK .
н) Найти уравнение плоскости АВС.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В, С, име-
ет вид (см.п.9, с. 25)
|
|
|
x − xa y − ya z − zax −1
xb − xa yb − ya zb − za= 0; ⇒−2−1 xc − xa yc − ya zc − za1−1
|
y −2
3−2
4− 2
|
z −3
1−3= 0;⇒
−3−3
| x −1 y −2 z −3
−3 1 − 2= 0.
2 −6
Разложим определитель по элементам 1-й строки:
−2−3 − 2−3 1
(x −1)−(y − 2)+(z −3) = 0;
−60 −60 2
− 2(x −1)−18(y − 2)−6(z −3) = 0; − 2x + 2−18y +36−6z +18 = 0;
−2x −18y −6z +56 = 0; x +9y +3z − 28 = 0 – уравнение плоскости АВС.
о) Найти уравнение высоты PK, проведенной из вершины P, в тетраэдре
ABCP (рис. 39).
Решение. Прямая PK перпендикулярна к плоскости АВС, следовательно, направляющим вектором прямой может являться нормальный вектор плоскости n ={1;9;3} (см. п. н). Канонические уравнения прямой, проходящей через точку P, с известным направляющим вектором имеют вид
(см. п. 10, с .27) x − xP = y − yP = z − zP ;⇒ x − 4 = y − 2 = z −1 – уравнение nx ny nz 1 9 3
высоты PK.
п) Найти величину угла между ребром АР и гранью АВС в тетраэдре
АВСР (рис. 39).
Решение. Найдем уравнение прямой АР (см. уравнение прямой, проходя-
щей через две точки п.10, с. 27): x −1 = y − 2 = z −3 . Угол α (рис. 39) между
3 0 − 2
n⋅s
прямой и плоскостью вычисляется по формуле (см. п.11, с. 29) sinα =, где n s
n={1;9;3} – вектор нормали плоскости АВС (см. п. н), s={3;0;-2} – направляющий вектор прямой. Следовательно,
3⋅1+ 0⋅9 + (−2)⋅3 3 sinα = = .
32 + 02 + (−2)2 ⋅ 12 + 92 + 32 1183
р) Найти величину двугранного угла между гранями АВС и АВР в тетраэдре АВСР.
Решение. Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В,
x −1 y − 2 z −3x −1 y − 2
Р (см.п.9, с. 25): − 2 −1 3− 2 1−3= 0;⇒ −3 1
4 −1 2 − 2 1−33 0
|
z −3
− 2= 0;⇒.
− 2
|
− 2(x −1) −12(y − 2) −3(z −3) = 0;⇒ 2x +12y +3z −35 = 0.
Угол γ между плоскостями АВС и АВР вычисляется по формуле (см. п.9,
n1 ⋅n2 где n1={1;9;3} – вектор нормали плоскости АВС (см. п. н),
с. 26) cosγ =, n1 n2
n2={2;12;3} – вектор нормали плоскости АВР. Следовательно,
n1n2 1⋅2 + 9⋅12 + 3⋅3 119 cosγ = = = .
n1 n2 12 + 92 + 32 ⋅ (−2)2 + (−12)2 + (−3)2 91⋅ 157
с) Найти координаты точки пересечения медиан в треугольнике АВС.
Решается аналогично задаче 1(м). Ответ: О(0;3;1/3).
т) Найти расстояние между прямыми АВ и СР.
Решение. Прямые АВ и СР – скрещивающиеся. Две скрещивающиеся прямые можно заключить в две параллельные плоскости π1 и π2 (рис. 40). Нормальный вектор n этих плоскостей равен векторному произведению векторов АВ и СР: n = AB×CP. Координаты векторов АВ={-3;1;2}, CP={3;-2;4}.
i j k
1 − 2−3 − 2−3 1
n =−3 1 − 2 =k = 0i + 6 j+ 3k .
− 2 43 43 − 2
3 − 2 4
Запишем уравнение плоскости π1, проходящей через точку А:
0(x −1)+ 6(y − 2)+3(z −3) = 0;⇒ 6y +3z − 21= 0.
Расстояние d от точки С до плоскости π1 равно расстоянию между прямыми АВ и СР
(рис. 40), и вычисляется по формуле (см. п.9,
6 4i +3 ( 3)i − − 21 2
с. 27) d = = .
02 + 62 +32 5
у) Найти уравнение высоты АН в треугольнике АВС (рис. 40).
Решение: Проведем плоскость π1 через точку А(1;2;3) перпендикулярно к вектору ВС={3;1;-4}: 3(x-1)+(y-2)-4(z-3)=0; 3x+y-4z+7=0. π2- плоскость треугольника ABC (см. п. н): x + 9y + 3z − 28 = 0 .
Прямая AH принадлежит плоскостям π1 и π2, т. е. является линией их пересечения и, следовательно, общие уравнения прямой АН имеют вид
3x + y − 4z + 7 = 0, (см. п. 10, с. 27)
x +9y +3z − 28 = 0.
Найдем канонические уравнения нашей прямой. В п.10 на с. 28 был приведен алгоритм перехода от общих уравнений прямой к каноническим. Предлагаем читателю осуществить этот алгоритм самостоятельно, а мы решим задачу альтернативным способом. Направляющий вектор s искомой прямой АН равен векторному произведению n1 и n2 – нормальных векторов плоскостей π1 и π2:
ij k
s = n1×n2 =3 1 − 4= 39i −13j+ 26k .
1 9 3
Запишем уравнение прямой, проходящей через точку А(1;2;3), с известным направляющим вектором s={39;-13;26}:
x −1 = y − 2 = z −3; ⇒ x −1 = y − 2 = z −3 – уравнение прямой AH.
39 −13 26 3 −1 2
Замечание. Эта задача имеет частное решение. В данном случае значения координат точек А, В, С заданы так, что угол АВС прямой (см. п. г), следовательно, высота АН является катетом АВ:
x − xa = y − ya = z − za ; ⇒ x −1 = y − 2 = z −3; ⇒
xb − xa yb − ya zb − za − 2 −1 3− 2 1−3 x −1 y − 2 z −3
= = –канонические уравнения прямой АН. Сравните с ранее по-
−3 1 − 2
лученным результатом.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ТЕМЕ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
Определение вектора. Линейные операции над векторами и их свойства.
Базис. Координаты вектора. Модуль вектора.
Линейные операции над векторами в координатной форме записи. Коллинеарность векторов. Направляющие косинусы.
Координаты точки. Деление отрезка в заданном отношении.
Скалярное произведение векторов.
Применение скалярного произведения векторов.
Векторное произведение векторов.
Применение векторного произведения векторов.
Смешанное произведение векторов.
Применение смешанного произведения векторов.
Различные виды уравнений прямой на плоскости.
Угол между двумя прямыми на плоскости. Признаки параллельности, перпендикулярности прямых.
Различные виды уравнения плоскости в пространстве.
Различные виды уравнений прямой в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей и прямых, углы между ними.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М: Наука, 1966.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М: Наука, 1971.
Хохлов А.Т. Аналитическая геометрия в векторном изложении. МТИПП. –
М., 1978.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М: Наука,
1972.
Васин С.И., Иванов В.И., Орешкин О.Ф. Методические указания к изучению темы «Векторная алгебра». – М: Издательский комплекс МГУПП, 2003.
Филиппов А.Н., Орешкин О.Ф. Методические указания к изучению темы
«Кривые и поверхности второго порядка». – М: Издательский комплекс МГУПП, 2004.
Достарыңызбен бөлісу: |
