k
Рассмотрим в декартовой системе коор- 0 j M2
динат радиус – вектор ОМ={x, y, z}. M1 i y
Вектор ОМ можно представить в виде сум- x Рис. 9 M' мы (рис. 9)
ОМ=ОМ'+OM3=OM1+OM2+ OM3. Вектор ОМ1 коллинеарен базисному вектору i и может быть получен из него умножением на координату x, т.е. ОМ1=xi.
Аналогично, ОМ2=yj, ОМ3=zk.
Следовательно, ОМ= xi+ yj+ zk. Произвольный вектор разложили на линейную комбинацию базисных векторов. Коэффициенты при базисных векторах – координаты вектора.
Вычисление модуля вектора
Задача 1. Дан вектор а ={x, y, z}. Вычислить его модуль |a|.
Решение. Из теоремы Пифагора следует (рис. 9)
a = OM = OM' 2 + OM3 2 = OM1 2 + OM2 2 + OM3 2 = x2 + y2 + z2 .
Модуль вектора а={x; y; z} равен корню из суммы квадратов координат:
| a |= x2 + y2 + z2 .
|
Линейные операции в координатной форме записи
Задача 2. Даны векторы а={xа, yа, zа}, b={xb, yb, zb}. Вычислить координаты вектора a ± b.
Решение. а=xаi+ yаj+ zаk; b = xbi+ ybj+ zbk. Используя свойства линейных операций получим:
a ±b = (xai + yaj+ zak) ± (xbi + ybj+ zbk) = (xa ± xb )i +( ya ± yb )j+(za ± zb )k .
При сложении векторов а={xа, yа, zа}, b={xb, yb, zb} соответствующие координаты складываются: a ± b = {xa ± xb; ya ± yb;za ± zb}.
Задача 3. Дан вектор а={xа, yа, zа}. Вычислить координаты вектора λa.
Решение. а=xаi+ yаj+ zаk; λа=λ(xаi+ yаj+ zаk)= λxаi+λ yаj+ λzаk.
При умножении вектора а={xа, yа, zа} на скаляр каждая координата умножается на этот скаляр: λа={λxа; λyа; λzа}.
Пример 1. Даны векторы а={1;2;-2} и b={3;1;2}. Найти 2a-3b, |2a-3b|.
Решение. 2a={2;4;-4}, 3b={9;3;6}, 2a-3b={2;4;-4}-{9;3;6} = {-7;1;-10}.
2а −3b = 72 +12 + (−10)2 = 150.
Признак коллинеарности векторов
Если векторы а={xа; yа; zа} и b={xb; yb; zb} коллинеарны, то один из них может быть получен из второго умножением на скаляр: а=λb; ⇒
{xа; yа; zа}=λ{xb; yb; zb};⇒ xа=λxb; yа=λyb; zа=λzb; ⇒ xa = ya = za .
xb yb zb
Признак коллинеарности. Векторы а={xа; yа; zа} и b={xb; yb; zb} коллинеарны ⇔ когда их координаты пропорциональны: a = ya = za .
x
xb yb zb
|
Пример 2. При каких значениях α и β векторы a={2;α;3} и b={-3;2;β} ко-
линеарны.
Решение. Выпишем признак коллинеарности:
2 α 3
= = ⇒ α = −; β = −.
−3 2 β
Координаты точки. Вычисление координат вектора, если известны координаты концов z
Определение. Координатами точки М называются координаты радиус-
вектора ОМ. Обозначение: М(x, y, z).
Задача 4. Даны координаты точек
А(xа; yа; zа), В(xb; yb; zb). Вычислить ко- x ординаты вектора АВ.
Решение. ОА+АВ=ОВ; АВ=ОВ-ОА= {xb, yb, zb}-{xа, yа, zа}=
={xb- xа; yb- yа; zb- zа} (рис. 10).
При вычислении координат вектора АВ из координат конца В(xb; yb; zb) вычитаются координаты начала А(xа; yа; zа): АВ={xb- xа; yb- yа; zb- zа}.
Деление отрезка в заданном отношении
Задача 5. Даны координаты кон-
цов отрезка А(xа, yа, zа), В(xb, yb, zb). Точка М принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении λ=|AM|/|MB|. Найти координаты точки М(x; y; z)
(рис. 11). x
Решение. Векторы АМ и MВ коллинеарные и, следовательно, вектор
AM ={x − xa; y − ya;z − za} может быть получен из вектора
MB = {xb − x y; b − y z; b − z} умножением на скаляр |AM|/|MB|=λ:
x − xa = λ(xb − x),
AM = λ⋅MB;⇔ {x − xa; y − ya;z − za} = λ{xb − x y; b − y z; b − z} ⇔ y − ya = λ( yb − y),
z − za = λ(zb − z).
xa + λxb ya + λyb za + λzb
⇔ x = ; y = ; z = .
1+ λ 1+ λ 1+ λ
Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ=|AM|/|MB|, вычисляются по формуле M xa + λxb ; ya + λyb ; za + λzb .
1+ λ 1+ λ 1+ λ
|
Если точка М является серединой отрезка АВ, то |AM|=|MB|; λ=|AM|/|MB|=1 и координаты середины отрезка вычисляются по формуле
M xa + xb ; ya + yb ; za + zb , т.е. координаты середины равны полусумме ко 2 2 2 ординат концов.
Пример 3. Отрезок AB разделен на три равные части. Найти координаты точек A и B, если координаты точек деления С=(2;4;-1), D=(5;6;0).
Решение. Точка С является серединой отрезка АD (рис. 12). Напишем формулы для нахождения середины отрезка:
xy == xA +22xD ;; 2 = xyAA22++56; ⇒xzyAAA ===−−22.;1; A(-1;2;-2). А Рис. 12 В
C
yA + yD ⇒4 = ;
C
zC = zA + zD ; −1= zA2+ 0;
2
Точка D делит отрезок AB в отношении 2:1. Выпишем формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении:
xD = zxyAA111++++++222222zxyBB ;; ⇒50 == −2−1+2+3+232y2xBzBB;; ⇒zxyBBB ===1.88;; B(8;8;1).
yD = A B 6 = ;
zD = ; 3
Направляющие косинусы вектора
Углы, которые вектор a=OM={x; y; z} составляет с осями координат обозначаются через α, β, γ (рис. 13). Косинусы этих углов cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора.
По свойству проекции x = a cosα, y = a cosβ, z = a cosγ.
Направляющие косинусы вектора а={x; y; z} вычисляются по
формулам cosα = x ; cosβ = y ;cosγ = z . a a a
|
Возведем последние равенства в квадрат и сложим:
cos2α+ cos2β+ cos2 γ ==1.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.
|
Орт вектора
Определение. Ортом вектора а называется единичный вектор е, направлен-
ный в ту же сторону, что и a.
Орт е получается из вектора а={x, y, z} делением на |a|:
a x y z e = = ; ; = {cosα;cosβ;cosγ}. a a a a
Координатами орта являются направляющие косинусы: e = {cosα;cosβ;cosγ}.
Задачи к разделам 1-4
Даны произвольные векторы a и b . Построить векторы a+b , a-b , b -a,
-a-b , 2a, -0.5a.
Дано: |a|=3, |b |=4, |a-b |=6. Найти |a+b |.
Дано: |a|=4, |b |=5, угол между ними π/3. Найти |a+b | и |a-b |.
Дано: a={2;-3;z}, |a|=17. Найти z.
Дано: AB={2;-4;6}, A(3,-4,5). Найти координаты точки В.
Дано: AB={-4;-7;8}, В(-2,8,1). Найти координаты точки А.
Может ли вектор составлять с координатными осями углы:
a) α=450, β=600, γ=1200; b) α=450, β=1200, γ=1350; c) α=300, β=450, γ=900.
Дано: α=450, β=1350. Найти γ.
Вычислить направляющие косинусы вектора a={-3;4,7}.
Дан модуль вектора |a|=4 и углы α=450, β=600, γ=1200. Вычислить координаты вектора a.
Дано: |a|=4, α=300, β=900. Вычислить координаты вектора a.
Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с осями координат равные углы и его модуль равен 6.
Три силы M,N,P приложены к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Построить равнодействующую силу R и найти ее величину, если |M|=3, |N|=4, |P |=5.
Даны два вектора a={3;5;-1} и b ={3;5;-1}. Найти проекции на координат-
ные оси следующих векторов: 1) a+b ; 2) a-b ; 3) 2a+3b ;
4) 4a-5b .
При каких значениях x и y векторы a={x;5;-1} и b ={3;y;-1} коллинеарны.
Доказать, что ABCD трапеция, где A(1,2), B(3,5), C(1,10), D(-3,4).
Даны три точки A(-1,2,6), B(3,5,7), C(4,-1,1). Точки M и N середины отрезков AB и BC соответственно. Найти координаты вектора MN .
Отрезок AB разделен на три части, С и D точки деления. Найти координаты
С и D, если A(-4,-2,6) , B(1,-5,7).
Отрезок AB разделен на три части, С и D точки деления. Найти координаты
A и B, если C(3,-2,6), D(-1,-5,4).
Достарыңызбен бөлісу: |