1. вектор. Определение


k Рассмотрим в декартовой системе коор- 0 j M



жүктеу 0,67 Mb.
бет4/16
Дата07.01.2022
өлшемі0,67 Mb.
#37008
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
конспект лекции1

k

Рассмотрим в декартовой системе коор- 0 j M2



динат радиус – вектор ОМ={x, y, z}. M1 i y

Вектор ОМ можно представить в виде сум- x Рис. 9 M' мы (рис. 9)

ОМ=ОМ'+OM3=OM1+OM2+ OM3. Вектор ОМ1 коллинеарен базисному вектору i и может быть получен из него умножением на координату x, т.е. ОМ1=xi.

Аналогично, ОМ2=yj, ОМ3=zk.

Следовательно, ОМ= xi+ yj+ zk. Произвольный вектор разложили на линейную комбинацию базисных векторов. Коэффициенты при базисных векторах – координаты вектора.

Вычисление модуля вектора

Задача 1. Дан вектор а ={x, y, z}. Вычислить его модуль |a|.

Решение. Из теоремы Пифагора следует (рис. 9)

a = OM = OM' 2 + OM3 2 = OM1 2 + OM2 2 + OM3 2 = x2 + y2 + z2 .


Модуль вектора а={x; y; z} равен корню из суммы квадратов координат:

| a |= x2 + y2 + z2 .

Линейные операции в координатной форме записи

Задача 2. Даны векторы а={xа, yа, zа}, b={xb, yb, zb}. Вычислить координаты вектора a ± b.

Решение. а=xаi+ yаj+ zаk; b = xbi+ ybj+ zbk. Используя свойства линейных операций получим:

a ±b = (xai + yaj+ zak) ± (xbi + ybj+ zbk) = (xa ± xb )i +( ya ± yb )j+(za ± zb )k .

При сложении векторов а={xа, yа, zа}, b={xb, yb, zb} соответствующие координаты складываются: a ± b = {xa ± xb; ya ± yb;za ± zb}.

Задача 3. Дан вектор а={xа, yа, zа}. Вычислить координаты вектора λa.

Решение. а=xаi+ yаj+ zаk; λа=λ(xаi+ yаj+ zаk)= λxаi yаj+ λzаk.

При умножении вектора а={xа, yа, zа} на скаляр каждая координата умножается на этот скаляр: λа=xа; λyа; λzа}.

Пример 1. Даны векторы а={1;2;-2} и b={3;1;2}. Найти 2a-3b, |2a-3b|.

Решение. 2a={2;4;-4}, 3b={9;3;6}, 2a-3b={2;4;-4}-{9;3;6} = {-7;1;-10}.

2а −3b = 72 +12 + (−10)2 = 150.

Признак коллинеарности векторов

Если векторы а={xа; yа; zа} и b={xb; yb; zb} коллинеарны, то один из них может быть получен из второго умножением на скаляр: а=λb; ⇒

{xа; yа; zа}=λ{xb; yb; zb};⇒ xаxb; yаyb; zаzb; ⇒ xa = ya = za .

xb yb zb


Признак коллинеарности. Векторы а={xа; yа; zа} и b={xb; yb; zb} коллинеарны ⇔ когда их координаты пропорциональны: a = ya = za .

x

xb yb zb

Пример 2. При каких значениях α и β векторы a={2;α;3} и b={-3;2;β} ко-

линеарны.

Решение. Выпишем признак коллинеарности:

2 α 3


= = ⇒ α = −; β = −.

−3 2 β


Координаты точки. Вычисление координат вектора, если известны координаты концов z

Определение. Координатами точки М называются координаты радиус-

вектора ОМ. Обозначение: М(x, y, z).

Задача 4. Даны координаты точек



А(xа; yа; zа), В(xb; yb; zb). Вычислить ко- x ординаты вектора АВ.

Решение. ОА+АВ=ОВ; АВ=ОВ-ОА= {xb, yb, zb}-{xа, yа, zа}=

={xb- xа; yb- yа; zb- zа} (рис. 10).

При вычислении координат вектора АВ из координат конца В(xb; yb; zb) вычитаются координаты начала А(xа; yа; zа): АВ={xb- xа; yb- yа; zb- zа}.



Деление отрезка в заданном отношении

Задача 5. Даны координаты кон-



цов отрезка А(xа, yа, zа), В(xb, yb, zb). Точка М принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении λ=|AM|/|MB|. Найти координаты точки М(x; y; z)

(рис. 11). x

Решение. Векторы АМ и MВ коллинеарные и, следовательно, вектор

AM ={x xa; y ya;z za} может быть получен из вектора

MB = {xb x y; b y z; b z} умножением на скаляр |AM|/|MB|=λ:

x xa = λ(xb x),



AM = λ⋅MB;⇔ {x xa; y ya;z za} = λ{xb x y; b y z; b z} ⇔ y ya = λ( yb y),

z za = λ(zb z).



xa + λxb ya + λyb za + λzb

x = ; y = ; z = .

1+ λ 1+ λ 1+ λ


Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ=|AM|/|MB|, вычисляются по формуле Mxa + λxb ; ya + λyb ; za + λzb .

 1+ λ 1+ λ 1+ λ 



Если точка М является серединой отрезка АВ, то |AM|=|MB|; λ=|AM|/|MB|=1 и координаты середины отрезка вычисляются по формуле

Mxa + xb ; ya + yb ; za + zb , т.е. координаты середины равны полусумме ко 2 2 2  ординат концов.

Пример 3. Отрезок AB разделен на три равные части. Найти координаты точек A и B, если координаты точек деления С=(2;4;-1), D=(5;6;0).

Решение. Точка С является серединой отрезка АD (рис. 12). Напишем формулы для нахождения середины отрезка:

xy == xA +22xD ;; 2 = xyAA22++56; ⇒xzyAAA ===−−22.;1; A(-1;2;-2). А Рис. 12 В

C

yA + yD ⇒4 = ;



C

zC = zA + zD ; −1= zA2+ 0;

2

Точка D делит отрезок AB в отношении 2:1. Выпишем формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении:



xD = zxyAA111++++++222222zxyBB ;; 50 == −2−1+2+3+232y2xBzBB;; ⇒zxyBBB ===1.88;; B(8;8;1).

yD = A B 6 = ;

zD = ;  3

Направляющие косинусы вектора

Углы, которые вектор a=OM={x; y; z} составляет с осями координат обозначаются через α, β, γ (рис. 13). Косинусы этих углов cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора.



По свойству проекции x = a cosα, y = a cosβ, z = a cosγ.

Направляющие косинусы вектора а={x; y; z} вычисляются по

формулам cosα = x ; cosβ = y ;cosγ = z . a a a

Возведем последние равенства в квадрат и сложим:

cos2α+ cos2β+ cos2 γ ==1.



Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.



Орт вектора

Определение. Ортом вектора а называется единичный вектор е, направлен-

ный в ту же сторону, что и a.

Орт е получается из вектора а={x, y, z} делением на |a|:



a x y z e = =  ; ;  = {cosα;cosβ;cosγ}. a a a a

Координатами орта являются направляющие косинусы: e = {cosα;cosβ;cosγ}.


Задачи к разделам 1-4


  1. Даны произвольные векторы a и b . Построить векторы a+b , a-b , b -a,

-a-b , 2a, -0.5a.

  1. Дано: |a|=3, |b |=4, |a-b |=6. Найти |a+b |.

  2. Дано: |a|=4, |b |=5, угол между ними π/3. Найти |a+b | и |a-b |.

  3. Дано: a={2;-3;z}, |a|=17. Найти z.

  4. Дано: AB={2;-4;6}, A(3,-4,5). Найти координаты точки В.

  5. Дано: AB={-4;-7;8}, В(-2,8,1). Найти координаты точки А.

  6. Может ли вектор составлять с координатными осями углы:

a) α=450, β=600, γ=1200; b) α=450, β=1200, γ=1350; c) α=300, β=450, γ=900.

  1. Дано: α=450, β=1350. Найти γ.

  2. Вычислить направляющие косинусы вектора a={-3;4,7}.

  3. Дан модуль вектора |a|=4 и углы α=450, β=600, γ=1200. Вычислить координаты вектора a.

  4. Дано: |a|=4, α=300, β=900. Вычислить координаты вектора a.

  5. Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с осями координат равные углы и его модуль равен 6.

  6. Три силы M,N,P приложены к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Построить равнодействующую силу R и найти ее величину, если |M|=3, |N|=4, |P |=5.



  1. Даны два вектора a={3;5;-1} и b ={3;5;-1}. Найти проекции на координат-

ные оси следующих векторов: 1) a+b ; 2) a-b ; 3) 2a+3b ;

4) 4a-5b .



  1. При каких значениях x и y векторы a={x;5;-1} и b ={3;y;-1} коллинеарны.

  2. Доказать, что ABCD трапеция, где A(1,2), B(3,5), C(1,10), D(-3,4).

  3. Даны три точки A(-1,2,6), B(3,5,7), C(4,-1,1). Точки M и N середины отрезков AB и BC соответственно. Найти координаты вектора MN .

  4. Отрезок AB разделен на три части, С и D точки деления. Найти координаты

С и D, если A(-4,-2,6) , B(1,-5,7).

  1. Отрезок AB разделен на три части, С и D точки деления. Найти координаты

A и B, если C(3,-2,6), D(-1,-5,4).



жүктеу 0,67 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау