СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

1. 
   ab=ba – переместительный закон.
   
2. 
   a(λb)=λ(ab) –сочетательный закон.
   

дения.

4. (a+b)c=ac+bc – распределительный закон.

Доказательство. Используя свойства проекции получим

(a + b)c = cпр_с(a + b) = cпр_сa + cпр_сb = ac + bc.

Скалярное произведение в координатной форме записи Задача 6. Даны векторы а={x_а, y_а, z_а}, b={x_b, y_b, z_b}. Вычислить ab.

Решение. а=x_аi+ y_аj+ z_аk; b = x_bi+ y_bj+ z_bk.

Используя свойства скалярного произведения получим

ab = (x_ai + y_aj+ z_ak)(x_bi + y_bj+ z_bk) = x_ax_bii + x_a y_bij+ x_az_bik ⁺ + y_ax_bji + y_a y_bjj+ y_az_bjk + z_ax_bki + z_a y_bkj+ z_az_bkk.

Вычисление скалярного произведения свелось к вычислению произведений базисных векторов. Вычислим их. ii=|i||i|cos(0^ο)=1∗1∗1=1 (рис. 9). Следовательно, скалярное произведение одноименных базисных векторов равно 1. ij=|i||j|cos(90^ο)=1*1*0=0. Произведение разноименных базисных векторов равно нулю. Следовательно, аb=x_аx_b+ y_аy_b+ z_аz_b.

Скалярное произведение векторов а={x_а, y_а, z_а}, b={x_b, y_b, z_b} равно сумме произведений соответствующих координат: аb=x_аx_b+ y_аy_b+ z_аz_b.

Применение скалярного произведения

1. 
   Вычисление угла между векторами. Из определения скалярного произведения следует, что
   

   косинус угла между двумя векторами а и b равен cosα = ab . a b

2. 
   Признак перпендикулярности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, т.к. угол между ними 90 градусов, а косинус прямого угла равен нулю.
   

перпендикулярны ⇔ когда аb=x_аx_b+ y_аy_b+ z_аz_b=0.

3. 
   Вычисление проекции. Из третьего свойства скалярного произведения
   

Пример 4. Угол между векторами а и b равен 60 градусов, |a|=3, |b|=4.

Вычислить a) a²; б) ab; c) (2a-3b)(a+4b).

Решение. a) По определению скалярного произведения a² = a a cos0⁰ = 3⋅3 = 9.

б) По определению скалярного произведения ab = a b cos60⁰ = 3⋅4⋅0,5 = 6.

с) Используя свойства скалярного произведения раскроем скобки и вычис-

лим получившиеся произведения:

(2a −3b)(a + 4b) = 2aa +8ab −3ba −12bb = 2aa + 5ab −12bb =

= 2⋅9 + 5⋅6 −12⋅4⋅4 = −144.

Пример 5. Даны точки А(2;1;3), В(-2;4;z), C(3;3;1). Векторы АВ и АС перпендикулярны. Найти а) координату z точки В; б) косинус угла АВС;

с) проекцию вектора ВС на направление вектора АС.

Решение. а) Найдем координаты векторов АВ и АС и выпишем условие их перпендикулярности: АВ={-2-2;4-1;z-3}={-4;3;z-3}, AC={1;2;-2};

б) угол АВС это угол между векторами ВА и ВС, косинус которого вычис-

ляется по формуле cos(ABC)= ^BA⋅BC. Вычислим координаты векторов ВА и

BA BC

ВС и подставим в формулу: ВА={4;-3;-1}, ВС={5;-1;-3};

c) проекция вычисляется по формуле

Задачи к разделу «Скалярное произведение»

20. 
    Н айти скалярное произведение векторов _a и b , если а) a = 2, b = 3_, угол между векторами равен 45°; б) a = 4i −3j + k , b = −5i + j + k .
    
21. 
    Найти угол между векторами _a и b , если a = 2i −3j + 3k , b = −i + 2 j + k .
    
22. 
    Ортогональны ли векторы a = i − 6 j + 3k , b = j + 2k ?
    
23. 
    Скалярное произведение векторов _a и _b равно (–3), длина вектора _b равна
    

20. 
    Найти проекцию вектора a на вектор (− 2a + 3_b), если a = 7 j + 2k , b = −3i − k .
    
21. 
    Найти проекцию вектора(− a + 2_b) на вектор b , если a = i − j + k , b = −i + 2k .
    
22. 
    Найти проекцию вектора (a + 2_b) на вектор (a −_b), если
    

20. 
    Найти взаимно ортогональные векторы среди векторов a ={1,2,−1}, b ={2, 1,− 1}, c ={6, 3,− 0}.
    
21. 
    Н айти с , если c = a −b , a = 2 , b = 3, угол между векторами _a и _b равен
    

20. 
    Н айти скалярное произведение векторов _a и b , если a = 2m − n , b = −m + 3n, m = 5, n =1, угол между векторами _m и _n равен 30°.
    
21. 
    Н айти угол между векторами _a и b , если a = 3m + n, b = 2m −3n , m = 2 ,
    

33. 
    Найти работу силы F ={2, 3,− 6} при перемещении из точки А(2,- 4,7) в точку В(-3,2,1).
    
34. 
    Найти работу равнодействующей трех сил
    

6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

1. 
   a×b= – b×a – антикоммутативность.
   
2. 
   a×(λb)=λ(a×b) –сочетательный закон.
   

3. 
   (a+b)×c=a×c+b×c – распределительный закон.
   

Задача 7. Даны векторы а={x_а, y_а, z_а}, b={x_b, y_b, z_b}. Вычислить a×b. Решение. а=x_аi+ y_аj+ z_аk; b = x_bi+ y_bj+ z_bk; a×b=(xаi+ yаj+ zаk)×(x_bi+ y_bj+ z_bk)= xаx_bi×i+ xаy_bi×j+ xаzаi×k+ yаx_bj×i+ yаy_bj×j+

+(xаy_b-yаx_b) i×j-(xаzа-zа x_b)k×i+(yа z_b- zа y_b)k×j.

Вычисление векторного произведения свелось к вычислению произведений базисных векторов. Вычислим их. |i×i|=|i||i|sin(0^ο)=1∗1∗0=0. Следовательно, векторное произведение одноименных базисных векторов равно 0.

i×j=k, т.к. 1) k перпендикулярен к a и b; 2) |i×j|=|i||j|sin(90^ο)=1∗1∗1=1=|k|;

3) Векторы i, j, k образуют правую тройку. Аналогично, i×k= -j, j×k=i.

Следовательно, a×b=(x_а y_b-y_аx_b) k-(x_а z_а-z_а x_b)j+(y_а z_b- z_а y_b)i. Для запоминания полученной формулы ее можно свернуть в определитель:

i j k

ya zaxa zaxa ya a×b =_a y_a z_a. yb zbxb zbxb yb

xb yb zb

векторах a и b, равна S◊ = a×b , a

1. 
   Рис. 16
   

2

Решение. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

2. 
   2 2
   

1. 
   ⁰
   

2

При вычислениях учитывалось, что векторное произведение одноименных векторов равно нулю и свойство антикоммутативности.

Решение. Найдем площадь треугольника АВС:

2. 
   BC 62 +12 + 42 53