Колебания атомов трехмерной решетки

где 

A

к

 − амплитуда колебаний, 

 − 

единичный вектор поляризации нормальной моды, 

описывающий  направление,  в  котором  движутся  атомы,

 

− 

радиус-вектор 

j

-го  атома, 

находящегося в равновесии. 

Решая  систему  из  3

N

  уравнений  движения  и  подставляя  в  них  решения  (5.53), 

относительно 

A

к

  для  каждого  значения  волнового  вектора 

 

можно  получить  три  моды 

колебаний, которые определяют три ветви дисперсионных соотношений. 

Одна  из  трех  мод 

L

  соответствует  продольной  волне,  а  две  другие 

T

1

  и 

T

2

  – 

поперечным  волнам  (рис.  5.11).  Для  нахождения  интервала  изменения  и  определения 

числа допустимых значений 

k

 пользуются периодическими граничными условиями. 

  

 

Рис. 5.11. Дисперсионная кривая для примитивной трехмерной решетки Бравэ [59] 

  

Предположим, что кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами 

, 

, 

 (где 

, 

, 

, 

 −  векторы  трансляций 

кристаллической  решетки). 

, 

, 

 –  большие  целые  числа.  Тогда  для  смещения 

вдоль 

j

-й оси можно записать 

.

 

(5.54) 

Следовательно, разрешенные значения векторов должны удовлетворять условию 

,

 

(5.55) 

а разрешенные значения волновых чисел вдоль 

j

-й оси 

,

 

(5.56) 

где 

n

j

 – целое число. 

Разрешенные  значения  волновых  векторов,  пользуясь  соотношением  (5.56),  можно 

представить в виде 

,

 

(5.57) 

где 

 



  вектора  элементарных  трансляций  обратной  решетки  кристалла 

. Число допустимых значений волновых векторов в пределах 

первой  зоны  Бриллюэна  равно  числу  элементарных  ячеек 

N

  в  кристалле.  При  этом 

разрешенные  значения  волновых  чисел

  k

  равномерно  распределены  в 

k

  -пространстве  с 

плотностью 

.

 

Для  колебаний  трехмерной  решетки  с  базисом,  где  на  элементарную  ячейку 

приходится 

r

  атомов  и  система  имеет  3

rN

  степеней  свободы,  решение  системы  из  3

rN

 

уравнений приводит к существованию 3

r

 ветвей колебаний. В этом случае дисперсионное 

соотношение этих ветвей будет иметь вид 

.

 

(5.58) 

Три нижние ветви называют акустическими, а остальные (3

r

-3) являются оптическими 

(рис. 5.12). Среди оптических колебаний также имеются ветвь продольных 

LО

 и две ветви 

поперечных 

T

1

О

 и 

T

2

O

 колебаний. 

  

 

Рис. 5.12. Дисперсионные кривые для трехмерной решетки с базисом [59] 

 Таким  образом,  в  случае  решетки  с  базисом  движения  атомов  могут  быть 

представлены в виде суперпозиции 3

rN

 колебаний, или мод. 

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: