| первой зоной Бриллюэна
, а предельные значения
k
max
−
границей зоны
. Внутри зоны Бриллюэна сосредоточены все физически реальные значения
частот и волновых чисел.
Максимальное значение длины волы
, распространяющейся в цепочке, можно
найти из разности между соседними значениями волновых чисел
k
.
.
(5.28)
Таким образом, все возможные значения длин волн лежат в пределах от
min
= 2
a
до
max
= Na
.
Подводя итог вышесказанному, можно констатировать, что зависимость частоты
колебаний от волнового числа
k
для дискретной цепочки атомов является нелинейной и
периодической, причем границе зоны Бриллюэна соответствуют предельные значения
частоты. Если учесть, что частоты волн пропорциональны их энергии, то из
существования области разрешенных частот следует существование областей
разрешенных энергий волн.
Рассмотрим вопрос о скоростях распространения волны: фазовой, определяющей
скорость смещения фазы, и групповой, определяющей перенос вещества (энергии).
Фазовая скорость определяется соотношением
,
(5.29)
где
Т
− период колебаний.
Рассмотрим случай малых значений волнового числа (
k
0), или больших длин волн.
,
(5.30)
где
− скорость распространения акустической волны в однородной упругой среде
(струне). Уравнение (5.30) показывает, что при уменьшении волнового числа
k
фазовая
скорость стремится к постоянной величине, равной скорости распространения звука в
упругой однородной среде.
На границе зоны Бриллюэна при значении волнового числа
.
(5.31)
Таким образом, в пределах изменения волнового числа
k
от 0 до
/a
фазовая скорость
убывает от
до
, т. е. изменяется незначительно.
Теперь перейдем к рассмотрению групповой скорости распространения волны,
которая определяется равенством
.
(5.32)
Учитывая зависимость частоты колебаний от волнового вектора (5.23), получим
.
(5.33)
Вновь рассмотрим предельные случаи. При малых значениях волновых чисел
k
(
k
0)
получим аналогичную фазовой скорости зависимость
т. е. при малых
значениях волновых чисел фазовая и групповая скорости волн, распространяющихся в
одномерной моноатомной цепочке атомов, одинаковы.
Совершенно иначе, нежели фазовая скорость, ведет себя групповая скорость при
приближении к границе зоны Бриллюэна. При
групповая скорость стремится к
нулю и на самой границе
. Следовательно, при малых
k
значения фазовой и
групповой скоростей совпадают и равны скорости распространения акустической волны
. На границе зоны Бриллюэна групповая скорость обращается в нуль (рис. 5.6), переноса
вещества нет, что соответствует возникновению стоячей волны, когда соседние атомы
движутся в противофазе.
Рис. 5.6. Зависимости фазовой и групповой скоростей от волнового числа [57]
Из формулы (5.23) следует, что зависимость частоты от волнового вектора есть
функция периодическая с периодом
. Можно показать, что в пределах первой зоны
Бриллюэна заключены не только все возможные значения частот
волн,
распространяющихся в решетке, но и то, что смещения атомов при распространении
волны всегда можно описать с помощью значений волновых векторов, заключенных в
пределах первой зоны.
Пусть
k
/
волновой вектор, лежащий вне первой зоны Бриллюэна. Тогда в этой зоне
ему будет соответствовать вектор
,
где
n
/
− целое число, показывающее на
сколько периодов
k
/
удален от
k
. Рассмотрим смещение двух соседних атомов цепочки под
действием волны с волновым вектором
k
/
.
,
т. к.
. Аналогично
Полученное выражение для смещения
n
-го атома под действием упругой волны с
волновым числом
k
/
совпадает с уравнением (5.20), полученным для смещения
n
-го атома
под действием волны с волновым числом
k
. Таким образом, смещения атомов всегда
можно описать с помощью значений
k
, лежащих в пределах первой зоны Бриллюэна.
В качестве доказательства приведенного утверждения рассмотрим пример (рис. 5.7):
Рис. 5.7. Волна, изображенная сплошной линией, содержит ту же информацию,
что и волна, изображенная пунктиром [59]
Пусть
Вектору
k
соответствует длина волны
.
Для вектора
k
/
длина волны
.
Таким образом, волна с длиной, равной 4
a
, содержит ту же информацию о смещениях, что
и волна с длиной, равной 4
a
/5. Об этом же фактически свидетельствует и существование
min
– волны, при распространении которой соседние атомы колеблются в противофазе и с
одинаковыми амплитудами. Итак, область значений от
-
/a
до
/a
включает в себя все
независимые значения exp(
ika
).
Достарыңызбен бөлісу: | 
