Тепловые свойства твердых тел

Из  формулы  (5.23)  следует,  что  частота 



  должна  быть  периодической  функцией 

,  причем  область  периодичности  заключена  в  пределах 

. 

 

при 

где 

 – целое число (

 = 

 1, 

 2, 

 3 …). Поскольку 

 − целое 

число,  то  разрешены  не  все  значения  волновых  чисел 

k

.  Таким  образом,  в  цепочке  из 

атомов  могут  распространяться  колебания  не  с  любыми  значениями  длины  волны, 

значениям  волнового  вектора 

.  Найти  этот  набор  можно,  если  задать  циклические 

граничные  условия  (

граничные  условия  Борна

–

Кармана)

,  которые  позволяют 

рассматривать  процесс  распространения  упругих  волн  без  учета  эффектов  отражения  на 

границах кристалла. 

Ясно, что силы, действующие на атомы в середине моноатомной цепочки, отличаются 

от  сил,  действующих  на  ее  концах,  это  приводит  к  тому,  что  положения  равновесия  на 

концах цепочки нарушаются. Неэквивалентность в положении атома внутри цепочки и на 

ее границах исчезает, если соединить противоположные концы цепочки в кольцо. В этом 

случае  смещение 

-го  атома  будет  эквивалентно  смещению 

-го  (полный  обход 

цепочки).  Эту  эквивалентность  можно  продолжать  до  бесконечности.  Для  цепочки  из 

N

атомов циклические граничные условия записываются в виде: 

(5.27) 

.  Отсюда  следует,  что  равенство  (5.27) 

выполняется

при условии, что 

 – целое число. 

Таким  образом, 

, 

где 

  –  длина  цепочки.  Следовательно,  волновые 

числа меняются дискретно с шагом 

, или 

.  

из  условия 

,  видим,  что  область  изменения  значений 

n

лежит  в  пределах

.  Число  же  разрешенных  значений  длин  волн  (

)  равно 

полному числу атомов в цепочке. Набор волновых чисел 

k

n

 определяет полный набор мод 

нормальных  колебаний,  распространяющихся  в  рассматриваемой  цепочке.  Каждому 

волновому числу соответствует определенная частота 



k

.  



k

  достаточно  рассмотреть  область  значений 

волновых чисел 

 от нуля до 

. Полученные значения частот 



, лежащие в пределах от 



max

 

частотный  спектр  колебаний  одномерной 

. 

Следовательно,  колебательное  движение  частиц  одномерной  моноатомной  цепочки 



  и  волновых  чисел 

, находящимися в области 

,  которую  называют 

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: