Упругие волны смещений атомов. Фононы

Наиболее  простой  и  физически  наглядной  моделью  тепловых  колебаний  решетки 

является волновая модель. В ней нормальные колебания атомов твердого тела заменяются 

соответствующим  набором  бегущих  упругих  волн,  удовлетворяющих  циклическим 

граничным  условиям.  Циклические  граничные  условия,  определяющие,  как  было 

показано  выше  для  моделей  моноатомной  и  двухатомной  одномерных  цепочек  атомов, 

набор  разрешенных  значений  волновых  чисел,  позволяют  рассматривать  процесс 

распространения упругих волн без учета эффектов отражения на границах кристалла. 

Замена  нормальных  колебаний  совокупностью  бегущих  волн  позволяет,  с  одной 

стороны,  находить  соответствующие  им  значения  частот,  а  с  другой,  используя  идею 

квантово-волнового  дуализма  в  квантовой  механике,  −  ввести  понятие  квазичастиц, 

описывающих элементарные тепловые возбуждения в твердом теле, и приписать каждой 

такой  квазичастице  определенную  энергию  и  импульс.  Такая  модель  предполагает,  что 

энергия колебаний решетки, или энергия упругой волны, является квантовой величиной. 

Квант энергии упругой волны называют 

фононом 

(по аналогии с фотоном). В 

применении к фононам справедливы все концепции корпускулярно-волнового дуализма.  

Тепловые  колебания  атомов  в  кристаллах  можно  рассматривать  как  процесс 

термического возбуждения фононов по аналогии с термическим возбуждением фотонов, а 

теплопередачу  −  как  процесс  распространения  фононов  (так  же,  как  процесс 

распространения  электромагнитных  волн  можно  связать  с  процессом  распространения 

фотонов).  

Одним  из  экспериментальных  доказательств  квантования  упругих  волн  является 

взаимодействие  их  с  рентгеновскими  лучами  и  нейтронами:  энергия  и  импульсы 

рентгеновских  квантов  и  нейтронов  изменяются  в  результате  взаимодействия  таким 

образом,  что  эти  изменения  в  точности  соответствуют  поглощению  одного  или 

нескольких  фононов.  Измерение  этих  эффектов  позволяет  определить  зависимость 

частоты от волнового вектора, т. е. закон дисперсии. 

В соответствии с принципами квантовой механики энергию стационарных состояний 

осциллятора,  которая  соответствует  энергии  фонона,  можно  рассчитать  из  уравнения 

Шредингера [64, 74] 

, 

(5.59) 

где 

 − оператор Гамильтона, имеющий вид 

, 

(5.60) 

 − волновая функция, 

 − полная энергия осциллятора. В формуле  (5.60) 

 − 

оператор  импульса,   −  оператор  координаты, 

m

  −  масса  частицы, 

 −  собственная 

частота осциллятора   − постоянная Планка. 

Решением уравнения Шредингера являются 

собственные 

значения энергии 

, 

(5.61) 

где 

n

  − 

главное  квантовое  число

,  которое  может  принимать  целые  неотрицательные 

значения. Формула (5.61) показывает, что энергия фонона может иметь только дискретные 

значения. Полная энергия системы, представляющей собой одномерную цепь одинаковых 

атомов, с учетом потенциальной энергии в состоянии равновесия 

U

0

 может быть записана 

в виде 

. 

(5.62) 

Как видно из выражения (5.61), энергия осциллятора состоит из двух частей: 

энергии 

нулевых  колебаний

 

 (

n

=0)  и  энергии 

,  характеризующей  возбужденное 

состояние  осциллятора.  Наличие  энергии 

 связано  с  тем,  что  даже  при  температуре 

абсолютного нуля атомы совершают колебательные движения. Это утверждение связано с 

правилом  неопределенности  Гейзенберга  для  координаты 

x

  и  импульса 

p

: 

. 

Согласно  этому  соотношению  локализация  атома  в  какой-либо  точке  пространства  (

 

)  вызывает  большую  неопределенность  в  его  импульсе,  а  значит,  и  кинетической 

энергии 

 и  является  энергетически  невыгодной.  С  другой  стороны,  увеличение 

области 

 локализации  частицы  приводит  к  росту  потенциальной  энергии 

 и 

также  невыгодно  энергетически.  Таким  образом,  энергия 

 нулевых  колебаний 

представляет собой минимальное значение энергии, которую может иметь частица. 

У  твердых  тел  (металлов,  полупроводников  или  диэлектриков)  амплитуда  нулевых 

колебаний  значительно  меньше  межатомных  расстояний.  Вероятность  делокализации 

атомов  при  этом  пренебрежимо  мала,  так  что  каждый  атом  можно  рассматривать 

локализованным  в  определенной  области  пространства,  малой  по  сравнению  с  объемом 

элементарной ячейки. 

Поскольку частота колебаний оптических фононов всегда выше частоты акустических, 

то  и  энергия  первых  выше,  чем  вторых.  Поэтому  при  очень  низких  температурах 

возбуждаются только акустические фононы.  

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: