Тепловые свойства твердых тел

жүктеу 1,25 Mb.

Pdf просмотр

бет	2/22
Дата	26.01.2022
өлшемі	1,25 Mb.
	#37247
түрі	Лекция

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22



, а



p

при



1 равно нулю. Тогда уравнение (5.21) преобразуется к виду

(5.22)

(5.23)

В выражении (5.23) в правой части присутствует знак минус, однако, т. к. частота не

может быть отрицательной, то этот знак относиться к направлению волнового вектора, т.

е. при отрицательных значениях волнового числа

, следовательно,

Проанализируем формулу (5.23):

Видно, что частота колебаний не зависит от номера атома в цепочке, а это значит,

что все атомы в ней колеблются с одной и той же частотой.

Поскольку

, то максимальное значение частоты

(при

Это условие выполняется при

. Отсюда следует, что максимальное значение

частоты соответствует волновому числу

. Длину волны

имеющей

максимальную частоту, можно определить из условия

, откуда

Таким образом, минимальная длина волны, распространяющейся вдоль одномерной

цепочки одинаковых атомов, равна удвоенному периоду цепочки.

Наиболее интересно здесь существование нижнего предела



min

, т. к. в непрерывной

упругой среде он отсутствует. Причина существования



min

состоит в том, в дискретной

среде волны с длиной меньше 2

распространяться не могут. Это наглядно видно на

изображении мгновенного профиля поперечной волны (рис. 5.4), где соседние атомы,

обозначенные кружками, движутся в противофазе.

Рис. 5.4. Мгновенный профиль поперечной волны

Максимальная частота



max

определяет собственную частоту колебаний атомов под

действием силы

, как следует из уравнения

Эта сила действует на атом в цепочке в том случае, когда соседние атомы

колеблются в противофазе с одинаковой амплитудой.

При малых значениях волнового числа (

k



(5.24)

Из формулы (5.24) следует, что при

k



0 частота колебаний линейно зависит от

волнового вектора. Эта зависимость аналогична рассмотренной выше зависимости

частоты от волнового вектора для звуковых волн, распространяющихся в непрерывной

упругой среде (в однородной струне). Как было показано для однородной струны,

скорость распространения упругой (звуковой) волны

где

– модуль Юнга

−

плотность материала струны.

Установим аналогичную зависимость для рассматриваемого здесь случая одномерной

моноатомной цепочки. Пусть

f

n,n+1

− сила, действующая на

-й атом со стороны

+1-го. В

соответствии с формулой (5.10)

Относительное смещение атомов

будет равно

, тогда

(5.25)

Плотность моноатомной цепочки равна

m/a

, таким образом, скорость распространения

звуковой волны в этом случае:

(5.26)

Следовательно, в случае низких частот дискретность цепочки не сказывается, и частота

зависит от волнового числа

k

с коэффициентом пропорциональности, равным скорости

звуковой волны, распространяющейся в цепочке

. Тогда цепочку можно

рассматривать как однородную упругую струну или стержень. С возрастанием волнового

вектора

наблюдается отклонение от линейного закона –

дисперсия частоты

. Поэтому

зависимость



(k)

называется дисперсионной (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Дисперсионная кривая для линейной цепочки одинаковых атомов [78]

Цепочка из одинаковых атомов ведет себя в отношении распространения

акустических волн как упругая струна только тогда, когда длины этих волн значительно

превышают удвоенный период цепочки 2

. Короткие волны, которым соответствует более

высокая частота колебаний частиц, распространяются медленнее, чем длинные,

вследствие инерции масс частиц, образующих цепочку.

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22