2.4 Дисперсионные кривые для двухатомной одномерной цепочки
Построим дисперсионные кривые для оптических
и акустических
колебаний двухатомной одномерной цепочки атомов.
При малых значениях волнового числа
k
значения
возрастают пропорционально
модулю волнового числа
.
Пользуясь уравнением (5.41) легко установить, что максимальное значение частоты для
акустической ветви колебаний достигается при
, т. е. на границе зоны
Бриллюэна, где
. Это значение равно
. При этом групповая скорость
обращается в нуль
. Таким образом, поведение дисперсионной кривой
полностью аналогично таковому для моноатомной цепочки, рассмотренной выше, и
описывается нижней (
акустической
) ветвью (рис. 5.10, а).
Для оптической ветви при значениях волновых чисел
k
,
близких к нулю частота имеет
максимальное значение, равное
. С ростом волнового числа
значение
уменьшается (рис. 5.10, а), достигая при
своего минимального
значения
. При
фазовая скорость оптических колебаний
стремится к бесконечности, а групповая
равна нулю.
Таким образом, весь спектр разрешенных частот для цепочки, состоящей из
чередующихся атомов двух сортов с массами
M
1
и
M
2
(причем
M
1
>
M
2
), заключен в
интервалах
от 0 до
для
акустических частот;
от
до
для
оптических частот.
Между этими интервалами расположена полоса запрещенных частот в пределах от
до
(рис. 5.10).
Рис. 5.10. Дисперсионные кривые для двухатомной линейной цепочки в случаях: а −
приведенной зоны Бриллюэна (полоса запрещенных частот выделена штриховкой); б −
расширенной зоны Бриллюэна [65]
При большой разнице в массах атомов в цепочке (
M
1
>>
M
2
)
интервал частот
оптических колебаний очень узок. Все частоты оптических колебаний в этом случае
близки к предельному значению частоты
,
что следует из разложения подкоренного выражения в ряд и пренебрежения всеми
слагаемыми со степенью выше 1:
.
Дискретный набор длин волн
, распространяющихся в цепочке, состоящей из
чередующихся атомов двух сортов, может быть найден из условий цикличности
При этом должно выполняться равенство
что имеет место, когда
. Последнее приводит к выражению
, где
n
− целое число.
Отсюда
(т. к.
).
(5.50)
Из условия (5.50) можно найти интервал длин волн
. При
значение
максимальной длины волны, способной распространяться в рассматриваемой цепочке,
будет равно длине этой цепочки:
. Минимальная длина волны при
будет
. Следовательно, минимальная длина волны
, распространяющейся в
цепочке из атомов двух сортов, вдвое больше, чем в моноатомной цепочке. Число
различных длин волн
в каждой ветви спектра определяется числом дискретных
значений волнового числа
k
, расположенных в интервале от
до
, и равно
.
Поскольку ветвей колебаний в рассматриваемом случае две, то полное
число различных состояний, соответствующих акустической и оптической ветвям
спектра, как и в случае моноатомной цепочки, равно
N
– полному числу атомов в цепочке.
Дискретный (или, точнее, квазидискретный, поскольку расстояния между соседними
значениями частот очень малы) спектр частот определяется набором модулей волновых
чисел, заключенных в пределах от
до
, внутри которых находится первая зона
Бриллюэна для двухатомной цепочки.
В обеих ветвях колебаний каждому значению частоты соответствуют две волны с
волновыми числами
и
, поэтому зависимость
обычно представляется
кривыми, расположенными симметрично относительно оси в зоне Бриллюэна и
называется
приведенной зоной Бриллюэна
(рис. 5.10, а). Вместе с тем, период решетки,
равный в данном случае 2
a
определяет период функции
, равный размерам зоны
Бриллюэна:
. Это позволяет транслировать кривую
по оси
k
на
произвольное число периодов
, и строить
расширенную зону Бриллюэна
(рис. 5.10, б).
Рассмотрим, как меняется характер акустических
и оптических
колебаний
при приближении к границе зоны Бриллюэна
. Вблизи этой границы (т. е.
при
, где
) отношения амплитуд колебаний тяжелых и легких атомов
имеют вид: для акустической ветви
,
(5.51)
для оптической ветви
,
(5.52)
Выражения (5.51) и (5.52) показывают, что по мере приближения к границе зоны
Бриллюэна (т. е. при
) происходит уменьшение амплитуды колебаний легких
атомов в акустической ветви и амплитуды колебаний тяжелых атомов − в оптической.
При этом, как и при малых значениях волнового числа
k
, в акустической ветви соседние
атомы колеблются в фазе, а в оптической − в противофазе.
При переходе от цепочки, состоящей из атомов двух сортов, к моноатомной цепочке
область запрещенных частот между ветвями
и
исчезает. При этом
оптические ветви в интервалах
и
переходят в
акустические ветви в интервалах
и
соответственно. Так как
при этом меняется период трансляции, исчезают оптические ветви в интервале
и акустические ветви в интервалах
и
. Таким образом, при сближении масс атомов в цепочке спектр
акустических и оптических колебаний вырождается в две акустические ветви (рис. 5.5).
Достарыңызбен бөлісу: | 
